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【摘要】在数学学习上要想提高学习成绩，一方面要加强数学基础知识的学习，更重要的一方面是要掌握数学基本思想和基本方法的正确运用。其中，特殊化思想在解题中的作用，特别是解决选择、填空题中的作用是巨大的。
【关键词】特殊值；应用
Specialized thought in problem solving application
Qin Ping
【Abstract】In mathematics study, if wants to improve the academic record, on the one hand must strengthen mathematics elementary knowledge the study, more important, on the one hand is must grasp the mathematics basic philosophy and the essential method correct utilization. And, the specialized thought in the problem solving function, specially solves the choice, to fill up in the topic the function is huge.
【Key words】Special value; Using
在数学学习上要想提高学习成绩，一方面要加强数学基础知识的学习，更重要的一方面
是要掌握数学基本思想和基本方法的正确运用。其中，特殊化思想在解题中的作用，特别是
解决选择、填空题中的作用是巨大的。在处理具有普遍性的数学问题时，若能充分挖掘隐藏
于其中或与之相关的特殊值、特殊式、特殊点、特殊位置、特殊关系等，就可以巧妙利用这
些特殊因素进行论证，使问题顺利获解，达到事半功倍的效果。
1 利用特殊值解选择题
例一、（2007湖北）若数列{an}满足an+1a2=p(p为正常数，n∈N*), 则称{an}为“等比方数列”。甲：数列{an}是等比方数列。乙：数列{an}是等比数列，则（）
(A)甲是乙的充分但不必要条件
（B）甲是乙的必要但不充分条件
（C）甲是乙的充要条件
（D）甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
分析：显然乙甲正确，故不选（D）。由于这类选择题有且只有一个正确答案，因此只要由
特殊值否定另外两个错误支，余者即为正确答案。取数列{an}为1，2，4，-8，-16，32……则可
排除（A）和（C），故选(B)。
例二、集合M={（x,y)/(x-1)2+y21,y0},集合N={（x,y)/y-｜x-a｜+1}，则由M
∩N构成的图形的面积为π8时，a的值为（）
A. 1-22；B. 1+22；C. 1-22或1+1-22;D. 0或2
分析：由于集合N中含有字母a，导致y-｜x-a｜+1对应的图形位置不定，故可考虑取特殊
值，不妨令a=0,则N={(x,y)/y-｜x｜+1},则M∩N构成的图形如图中阴影部分所示，
S阴影=S扇形OAB=12•π4•12=π8，从而排除A、B、C，故选D。
说明：特殊值法解选择题是一种淘汰法，只能验证某个答案错误，不能肯定其正确。若选择
支中有“以上结论都不正确”的选择题不宜使用特殊值法。
2 利用特殊值解填空题
例三、若（4x2-2x-1)2=a0+a1x+a2x2+……+a2nx2n
则a0+a2+a4+…+a2n=
分析：令x=1得：a0+a1+a2+……+a2n=1
令x=-1得：a0-a1+a2-……+a2n=5n
两式相加可求得a0+a2+a4+…+a2n=5n+12
这是特殊值在二项式定理中的应用。
例四、已知O为△ABC的外心，且｜AC→｜=4,｜AB→｜=2,则AO→•BC→=
分析：令｜AC→｜、｜AB→｜为直角△ABC的两直角边，则O为斜边BC的中点，此时｜AO→｜=5，｜BC→｜=25，｜BO→=5
则ocs<AO→，BC→≥cos∠AOB=｜AO→｜2+｜BO→｜2-｜AB→｜2
2｜AO→｜•｜BO→=35
∴AO→•BC→=5×25×36=6
3 利用特殊值证明曲线过定点
例五、证明：圆系x2+y2-2cosθ•x+2sinθ•y=0(θ∈R)过定点，并求定点坐标。
分析：令θ=0得方程x2+y2-2x=0
令θ=π2 得方程x2+y2+2y=0
联立得两交点O(0，0），A（1，-1）
将0(0,0)代入圆系方程显然恒成立
将A（1，-1）代入圆系方程得sinθ＝cosθ＝１关于θ不恒成立
故圆系过定点O（0，0）
例六、过点(0,-13)的动直线l交椭圆x22+y2=1于A、B两点，试问：在坐标平面上
是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在求出点T坐标，若不存在，说明理由。
分析：当1∥x轴时，以AB为直径的圆：
x2+y+132=432
当l⊥x轴时，以AB为直径的圆：x2+y2=1
取立得x=0,y=1，即两圆相切于点(0,1),因此，所求的点T如果存在，只能是(0,1)，事实上，点T(0,1)就是所求的点。
证明略。
4 用于探索寻求结论
例七、设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x轴交于点Q，过Q点的直线l交抛物线于
A、B两点。设直线FA、FB的斜率为kFA、kFB，探究kFA与kFB之间的关系并说明理由。
分析：不妨令p=2,kl=12,则F(1,0),Q(-1,0)。1：y=12(x+1)
设A（x1,y1),B(x2,y2)
由y=12(x+1)及y2=4x得x2-14x+1=0 ∴x1x2=1
kFA=y1x1-1=x1+12(x1-1)
kFB=y2x2-1=x2+12(x2-1)=x1x2+x12(x1x2-x1)
=1+x12（1-x1)=-x1+12(x1-1）
∴kFA+kFB=0
详细解答略。
【关键词】特殊值；应用
Specialized thought in problem solving application
Qin Ping
【Abstract】In mathematics study, if wants to improve the academic record, on the one hand must strengthen mathematics elementary knowledge the study, more important, on the one hand is must grasp the mathematics basic philosophy and the essential method correct utilization. And, the specialized thought in the problem solving function, specially solves the choice, to fill up in the topic the function is huge.
【Key words】Special value; Using
在数学学习上要想提高学习成绩，一方面要加强数学基础知识的学习，更重要的一方面
是要掌握数学基本思想和基本方法的正确运用。其中，特殊化思想在解题中的作用，特别是
解决选择、填空题中的作用是巨大的。在处理具有普遍性的数学问题时，若能充分挖掘隐藏
于其中或与之相关的特殊值、特殊式、特殊点、特殊位置、特殊关系等，就可以巧妙利用这
些特殊因素进行论证，使问题顺利获解，达到事半功倍的效果。
1 利用特殊值解选择题
例一、（2007湖北）若数列{an}满足an+1a2=p(p为正常数，n∈N*), 则称{an}为“等比方数列”。甲：数列{an}是等比方数列。乙：数列{an}是等比数列，则（）
(A)甲是乙的充分但不必要条件
（B）甲是乙的必要但不充分条件
（C）甲是乙的充要条件
（D）甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
分析：显然乙甲正确，故不选（D）。由于这类选择题有且只有一个正确答案，因此只要由
特殊值否定另外两个错误支，余者即为正确答案。取数列{an}为1，2，4，-8，-16，32……则可
排除（A）和（C），故选(B)。
例二、集合M={（x,y)/(x-1)2+y21,y0},集合N={（x,y)/y-｜x-a｜+1}，则由M
∩N构成的图形的面积为π8时，a的值为（）
A. 1-22；B. 1+22；C. 1-22或1+1-22;D. 0或2
分析：由于集合N中含有字母a，导致y-｜x-a｜+1对应的图形位置不定，故可考虑取特殊
值，不妨令a=0,则N={(x,y)/y-｜x｜+1},则M∩N构成的图形如图中阴影部分所示，
S阴影=S扇形OAB=12•π4•12=π8，从而排除A、B、C，故选D。
说明：特殊值法解选择题是一种淘汰法，只能验证某个答案错误，不能肯定其正确。若选择
支中有“以上结论都不正确”的选择题不宜使用特殊值法。
2 利用特殊值解填空题
例三、若（4x2-2x-1)2=a0+a1x+a2x2+……+a2nx2n
则a0+a2+a4+…+a2n=
分析：令x=1得：a0+a1+a2+……+a2n=1
令x=-1得：a0-a1+a2-……+a2n=5n
两式相加可求得a0+a2+a4+…+a2n=5n+12
这是特殊值在二项式定理中的应用。
例四、已知O为△ABC的外心，且｜AC→｜=4,｜AB→｜=2,则AO→•BC→=
分析：令｜AC→｜、｜AB→｜为直角△ABC的两直角边，则O为斜边BC的中点，此时｜AO→｜=5，｜BC→｜=25，｜BO→=5
则ocs<AO→，BC→≥cos∠AOB=｜AO→｜2+｜BO→｜2-｜AB→｜2
2｜AO→｜•｜BO→=35
∴AO→•BC→=5×25×36=6
3 利用特殊值证明曲线过定点
例五、证明：圆系x2+y2-2cosθ•x+2sinθ•y=0(θ∈R)过定点，并求定点坐标。
分析：令θ=0得方程x2+y2-2x=0
令θ=π2 得方程x2+y2+2y=0
联立得两交点O(0，0），A（1，-1）
将0(0,0)代入圆系方程显然恒成立
将A（1，-1）代入圆系方程得sinθ＝cosθ＝１关于θ不恒成立
故圆系过定点O（0，0）
例六、过点(0,-13)的动直线l交椭圆x22+y2=1于A、B两点，试问：在坐标平面上
是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在求出点T坐标，若不存在，说明理由。
分析：当1∥x轴时，以AB为直径的圆：
x2+y+132=432
当l⊥x轴时，以AB为直径的圆：x2+y2=1
取立得x=0,y=1，即两圆相切于点(0,1),因此，所求的点T如果存在，只能是(0,1)，事实上，点T(0,1)就是所求的点。
证明略。
4 用于探索寻求结论
例七、设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x轴交于点Q，过Q点的直线l交抛物线于
A、B两点。设直线FA、FB的斜率为kFA、kFB，探究kFA与kFB之间的关系并说明理由。
分析：不妨令p=2,kl=12,则F(1,0),Q(-1,0)。1：y=12(x+1)
设A（x1,y1),B(x2,y2)
由y=12(x+1)及y2=4x得x2-14x+1=0 ∴x1x2=1
kFA=y1x1-1=x1+12(x1-1)
kFB=y2x2-1=x2+12(x2-1)=x1x2+x12(x1x2-x1)
=1+x12（1-x1)=-x1+12(x1-1）
∴kFA+kFB=0
详细解答略。