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Steiner定理 在△ABC中,∠B和∠C的平分线BD与CE相等,则AB=AC.
文[1]对这一几何名题拓广为:
拓广定理 如图1,在△ABC中,设BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的n≥2等分角线中的任意两条相应的分角线段,则AB≥AC的充要条件是BD≥CE.
认真拜读发现,文[1]对充分性的证明事实上只证明了:
当BD>CE时,AB>AC或AB=AC;
当BD=CE时,AB=AC或AB>AC.
所以,文[1]在用反证法证明必要性(即:如果AB≥AC,则BD≥CE)时的推理(即:假设不然,即BD 但文[1]的探索精神是不容磨灭的,其实只需小作改进,便可获得如下更完备的结论及完美的证明.
再拓广定理 如图1,在△ABC中,设∠ABC、∠ACB的任意分角线BD、CE满足∠DBC=λ∠ABC,∠ECB=λ∠ACB(其中λ∈[WTHZ]R[WTBX],0<λ<1).则
(1)BD=CE的充要条件是AB=AC;
(2)BD>CE的充要条件是AB>AC;
(3)BD 注 以上三个充要条件其实等价于:
当AB=AC时, BD=CE;
当AB>AC时, BD>CE;
当AB 为了证明再拓广定理,不妨先给出以下引理和定义:
文[1]对这一几何名题拓广为:
拓广定理 如图1,在△ABC中,设BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的n≥2等分角线中的任意两条相应的分角线段,则AB≥AC的充要条件是BD≥CE.
认真拜读发现,文[1]对充分性的证明事实上只证明了:
当BD>CE时,AB>AC或AB=AC;
当BD=CE时,AB=AC或AB>AC.
所以,文[1]在用反证法证明必要性(即:如果AB≥AC,则BD≥CE)时的推理(即:假设不然,即BD
再拓广定理 如图1,在△ABC中,设∠ABC、∠ACB的任意分角线BD、CE满足∠DBC=λ∠ABC,∠ECB=λ∠ACB(其中λ∈[WTHZ]R[WTBX],0<λ<1).则
(1)BD=CE的充要条件是AB=AC;
(2)BD>CE的充要条件是AB>AC;
(3)BD
当AB=AC时, BD=CE;
当AB>AC时, BD>CE;
当AB