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摘要：alpha稳定分布是一种广义的高斯分布，在不同参数系下的表达式不同，可以得出三种参数系各自不同的作用，即：参数系是为了消除S参数系特征函数的不连续；参数系主要是便于理论推导与应用。因此通过三种参数系之间的关系来进行转换，就可以产生出标准参数系下符合alpha穩定分布的随机变量。
关键词：alpha稳定分布；高斯分布；参数系；特征函数
1 引言
alpha 稳定分布[1-4]最早是Levy提出的，他根据中心极限定理，推导出当一个变量是由无数个且存在有限方差的分量构成时，那么此类随机变量可近似看成服从高斯分布。即存在一个比中心极限定理更一般的定理即广义中心极限定理。因此，根据广义中心极限定理可知，alpha稳定分布是唯一的能够形成独立同分布随机变量之和的极限分布。服从alpha稳定分布的的随机变量，是不具有二阶及以上统计量的。而由于本文研究的超声波信号是一种非高斯的，可能含有尖峰脉冲的信号，传统的高斯分布模型下的算法严重退化，甚至到了出错的地步，这时候利用alpha稳定分布对其进行重新建模就显得很有必要。
本文从alpha稳定分布模型的定义和性质方面，讨论了alpha稳定分布在三种标准参数系下的定义，以及它们各自在计算机仿真下的产生。
2 alpha稳定分布的定义
在信号处理领域，通常是根据特征函数来定义alpha 稳定分布[5-6]的。alpha 稳定分布具有三种不同的参数系，即标准参数系、以及参数系。这些参数系的定义如下。
如果随机变量存在参数，，和实数的特征函数，公式1、2如下：
（1）
（2）
此时定义随机变量服从S参数下的alpha稳定分布。是特征指数，它表示的是alpha稳定分布的拖尾程度，具体来说，当的值越小，拖尾就越长，脉冲特性越强，反之亦然。当时就是我们常用的高斯分布，所以alpha稳定分布是一种更广义上的高斯分布；是对称参数，表征 alpha 分布的对称性，当时，alpha 稳定分布是对称的，此时即为；是分散系数，表征的是alpha稳定分布的分散程度，它与高斯分布中的方差类似，在高斯情况下，的大小为高斯分布方差的一半。
为了消除S参数系下特征函数的非连续性，参数下的特征函数3、4如下：
（3）
（4）
这个特征函数在、的所有值均联合连续，但有一点不足的是不再具有位置参数的意义，但是其它两个参数、与S参数系下对应参数相同。
参数系主要是利用理论分析和推导，其特征函数5、6如下：
（5）
（6）
3 alpha稳定分布的基本性质
特征函数是研究alpha 稳定分布的一个有用工具，利用它可以得出稳定分布的重要性质，下面介绍了一些它的性质。
四个参数及每个参数引起的概率密度函数和随机变量曲线[7-9]的变化是不同的。
alpha稳定分布中的特征因子描述了概率密度函数的甩尾厚度。即：的值越小其概率密度函数曲线的拖尾越厚，脉冲强度越强，反之亦然。
（1）是稳定分布中的对称参数，取值范围是，表示的是随机变量分布的对称程度。当时，随机变量呈对称分布，当时，随机变量是左倾斜分布的，当时，随机变量是右倾斜分布的。
（2）alpha稳定分布的分散系数为，表示的是随机变量的样本值偏离其平均值的程度，相当于高斯分布的方差。其中值越大，样本的值越发散。
（3）Alpha稳定分布位置参数，当时表示中值，当时表示的时均值。
4 alpha稳定分布的产生
根据alpha 稳定分布的概率密度函数和特征函数的对应关系式11：
（11）
因为S参数系下特征函数在时不连续，因此可采用直接数值积法来计算概率密度函数值。具体是：为了消除S参数系下的不连续性，首先对参数系下的特征函数进行数值积分，然后利用两个参数系下参数的变换关系，便可计算出S参数系下的概率密度函数。
由以上的alpha稳定分布随机变量产生的方法，生成了1000个点、四种不同参数组合的稳定分布随机变量。如图1、2、3和4所示。
从图中可以发现，当的值越小，样本的脉冲性越明显。
5 总结
（1）alpha稳定分布在不同参数系下的表达式不同，可以得出三种参数系各自不同的作用，即：参数系是为了消除S参数系特征函数的不连续；参数系主要是便于理论推导与应用。
（2）的值越小其概率密度函数曲线的拖尾越厚，脉冲强度越强，反之亦然；是稳定分布中的对称参数；是分散系数；是位置参数；
（3）当的值越小，样本的脉冲性越明显。
参考文献：
[1]彭成，王平波，刘旺锁，Alpha 稳定分布序列的数值仿真方法[J]，声学技术，2014（05）：473-476
[2]孟磊，稳定分布噪声下的盲多用户检测算法研究[D]，成都：西南交通大学，2013
[3]王丽萍，稳定分布噪声下的时延估计与滤波方法的研究[D]，扬州：扬州大学，2009
[4]李旭涛，Alpha 稳定分布模型及其应用研究[D]，武汉：华中科技大学，2006
[5]刘文红，脉冲噪声下时间延迟估计方法及应用的研究[D]，大连：大连理工大
学，2007
[6]Jacovitti G，Scarano G，Discrete time techniques for time delay estimation[J]，Signal Processing IEEE Transactions，1993（2）：525-533
[7]宋爱民，邱天爽，佟祉谏，对称稳定分布的相关熵及其在时间延迟估计上的应用[J]，电子与信息学报，2011（02）：494-498
关键词：alpha稳定分布；高斯分布；参数系；特征函数
1 引言
alpha 稳定分布[1-4]最早是Levy提出的，他根据中心极限定理，推导出当一个变量是由无数个且存在有限方差的分量构成时，那么此类随机变量可近似看成服从高斯分布。即存在一个比中心极限定理更一般的定理即广义中心极限定理。因此，根据广义中心极限定理可知，alpha稳定分布是唯一的能够形成独立同分布随机变量之和的极限分布。服从alpha稳定分布的的随机变量，是不具有二阶及以上统计量的。而由于本文研究的超声波信号是一种非高斯的，可能含有尖峰脉冲的信号，传统的高斯分布模型下的算法严重退化，甚至到了出错的地步，这时候利用alpha稳定分布对其进行重新建模就显得很有必要。
本文从alpha稳定分布模型的定义和性质方面，讨论了alpha稳定分布在三种标准参数系下的定义，以及它们各自在计算机仿真下的产生。
2 alpha稳定分布的定义
在信号处理领域，通常是根据特征函数来定义alpha 稳定分布[5-6]的。alpha 稳定分布具有三种不同的参数系，即标准参数系、以及参数系。这些参数系的定义如下。
如果随机变量存在参数，，和实数的特征函数，公式1、2如下：
（1）
（2）
此时定义随机变量服从S参数下的alpha稳定分布。是特征指数，它表示的是alpha稳定分布的拖尾程度，具体来说，当的值越小，拖尾就越长，脉冲特性越强，反之亦然。当时就是我们常用的高斯分布，所以alpha稳定分布是一种更广义上的高斯分布；是对称参数，表征 alpha 分布的对称性，当时，alpha 稳定分布是对称的，此时即为；是分散系数，表征的是alpha稳定分布的分散程度，它与高斯分布中的方差类似，在高斯情况下，的大小为高斯分布方差的一半。
为了消除S参数系下特征函数的非连续性，参数下的特征函数3、4如下：
（3）
（4）
这个特征函数在、的所有值均联合连续，但有一点不足的是不再具有位置参数的意义，但是其它两个参数、与S参数系下对应参数相同。
参数系主要是利用理论分析和推导，其特征函数5、6如下：
（5）
（6）
3 alpha稳定分布的基本性质
特征函数是研究alpha 稳定分布的一个有用工具，利用它可以得出稳定分布的重要性质，下面介绍了一些它的性质。
四个参数及每个参数引起的概率密度函数和随机变量曲线[7-9]的变化是不同的。
alpha稳定分布中的特征因子描述了概率密度函数的甩尾厚度。即：的值越小其概率密度函数曲线的拖尾越厚，脉冲强度越强，反之亦然。
（1）是稳定分布中的对称参数，取值范围是，表示的是随机变量分布的对称程度。当时，随机变量呈对称分布，当时，随机变量是左倾斜分布的，当时，随机变量是右倾斜分布的。
（2）alpha稳定分布的分散系数为，表示的是随机变量的样本值偏离其平均值的程度，相当于高斯分布的方差。其中值越大，样本的值越发散。
（3）Alpha稳定分布位置参数，当时表示中值，当时表示的时均值。
4 alpha稳定分布的产生
根据alpha 稳定分布的概率密度函数和特征函数的对应关系式11：
（11）
因为S参数系下特征函数在时不连续，因此可采用直接数值积法来计算概率密度函数值。具体是：为了消除S参数系下的不连续性，首先对参数系下的特征函数进行数值积分，然后利用两个参数系下参数的变换关系，便可计算出S参数系下的概率密度函数。
由以上的alpha稳定分布随机变量产生的方法，生成了1000个点、四种不同参数组合的稳定分布随机变量。如图1、2、3和4所示。
从图中可以发现，当的值越小，样本的脉冲性越明显。
5 总结
（1）alpha稳定分布在不同参数系下的表达式不同，可以得出三种参数系各自不同的作用，即：参数系是为了消除S参数系特征函数的不连续；参数系主要是便于理论推导与应用。
（2）的值越小其概率密度函数曲线的拖尾越厚，脉冲强度越强，反之亦然；是稳定分布中的对称参数；是分散系数；是位置参数；
（3）当的值越小，样本的脉冲性越明显。
参考文献：
[1]彭成，王平波，刘旺锁，Alpha 稳定分布序列的数值仿真方法[J]，声学技术，2014（05）：473-476
[2]孟磊，稳定分布噪声下的盲多用户检测算法研究[D]，成都：西南交通大学，2013
[3]王丽萍，稳定分布噪声下的时延估计与滤波方法的研究[D]，扬州：扬州大学，2009
[4]李旭涛，Alpha 稳定分布模型及其应用研究[D]，武汉：华中科技大学，2006
[5]刘文红，脉冲噪声下时间延迟估计方法及应用的研究[D]，大连：大连理工大
学，2007
[6]Jacovitti G，Scarano G，Discrete time techniques for time delay estimation[J]，Signal Processing IEEE Transactions，1993（2）：525-533
[7]宋爱民，邱天爽，佟祉谏，对称稳定分布的相关熵及其在时间延迟估计上的应用[J]，电子与信息学报，2011（02）：494-498