方程思想在数列中有着广泛的应用，尤其是在解决数列中由递推关系求通项公式的某些问题时，若先由已知的递推关系寻找出an+1和an新的关系式，再把an+1和an看作未知数，则能通过解方程组求出的表达式—通项公式。这种以方程思想为指导的方法简捷且程序性强，易于操作。
　　类型I an+1=Man+f(n)（其中M为不等于1的常数，f(n)是关于n的函数式）
　　此类题目,可由an+1=Man+f(n)和an=Man-1+f(n-1)运算得到an+1和an的另一关系式，再视n为已知数，an+1和an为未知数，通过解方程组求出an的表达式。
　　例1：已知数列{an}满足a1=2，an+1=3an+4求数列{an}通项公式。
　　解：因为an+1=3an+4,an=3an-1+4(n>1),
　　所以an+1-an=3(an-an-1),
　　所以{an+1-an}是以a2-a1=2a1+4=8为首项，以3为公比的等比数列。
　　解an+1-an=8·3n-1an+1=3an+4得an=4·3n-1-2.
　　所以数列{an}通项公式为an=4·3n-1-2.
　　例2：已知数列{an}满足a1=2，an+1=3an+2n+3，求数列{an}通项公式。
　　解：因为an+1=3an+2n+3，an=3an-1+2(n-1)+3(n>1),
　　所以an+1-an=3(an-an-1)+2.
　　令bn=an+1-an,则bn=3bn-1+2,且b1=9.
　　利用题目1的解法可得；bn=10·3n-1-1,
　　即an+1-an=10·3n-1-1.
　　解an+1-an=10·3n-1-1an+1=3an+2n+3得an=5·3n-1-n-2
　　所以数列{an}通项公式为an=5·3n-1-n-2.
　　例3：已知数列{an}满足a1=■，且对任意正整数n都有an+1=■an+(■)n+1，求数列{an}通项公式。
　　解：因为an+1=■an+(■)n+1,
　　所以an=■an-1+(■)n(n>1),
　　所以■an=■·■an-1+(■)n+1,
　　于是得an+1-■an=■(an-■an-1),
　　所以数列{an-■an-1}是以a2-a1=-■为首项，■为公比的等比数列。
　　所以an+1-■an=■·（■）n.
　　解an+1-■an=■·（■）n+1an+1=■an+（■）n+1得an=3·(■)n-2·(■)n,
　　所以数列{an}的通项公式为an=3·(■)n-2(■)n.
　　类型II an+1=Tan+San-1(T、S是常數且T≠1).
　　例4：已知数列{an}满足a1=1，a2=2，且对任意正整数n都有an+2=2an+1+3an求数列{an}通项公式。
　　此类题目可由an+1=Tan+San-1变形得到an+1和an的两个不同的关系式，再视n为已知数，an+1和an为未知数，通过解方程组求出an的表达式。
　　解：an+2=2an+1+3an可变形为an+2+an+1=3(an+1+an),
　　容易求得数列{an+1+an}的通项公式an+1+an=3n.
　　an+2=2an+1+3an又可变形为an+2-3an+1=-(an+1-3an),
　　容易求得数列{an+1-3an}的通项公式an+1-3an=(-1)n.
　　解an+1+an=3nan+1-3an=(-1)n得an=■.
　　所以数列{an}的通项公式为an=■.
　　上述方法中，方程思想起到了关键作用，在探寻解题方法的时候，合理运用数学思想，能够拓宽解题视野，提高解题能力。
　　
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