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摘 要：以高中数学人教A版必修一第三章《函数的应用》起始课为例，探讨高中数学章节起始课的“基本套路”，让学生初步建立起对本章知识和方向的整体把握，重视学习方法的引导，渗透基本的研究学习方法，激发学生的学习兴趣，同时指出在教学中使用绘图和计算工具的必要性，加强知识连贯的学习过程以及与小节教学的区别。
关键词：高中数学；章节起始课；函数的应用
高中数学人教A版教材，在每一章的开头都有一页图文并茂的内容：一段话——章引言，道出本章所要研究的主要内容以及大致的研究思路；图片——章头图，往往展示本章内容的应用等，其目的在于激发学生的学习兴趣，引导学生对整体知识的把握，渗透数学思想方法等。章节起始课的教学通常包括章引言和本章正文第一小节的内容。然而，不少教师对章引言、章头图的作用认识不足，教学中，或随便说几句，或干脆跳过，以至于感叹第一小节的内容太少或简单。因此，我认为，章节起始课有必要作为一种课型认真地加以研究。下面以《函数的应用》教学为例，与大家共研。
一、 教材分析
本节课所用教材为人教A版必修一，内容为第三章《函数的应用》起始课。
本章通过学习函数的零点和用二分法求方程近似解的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题。
对函数与方程的关系的认识过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则。函数与方程是初等数学的基础，也是连接初等数学与高等数学的桥梁，函数的零点是为了研究方程的根而产生的概念，它是方程的根在动态的函数视野下的名称。此外，函数与方程还是中学数学重要思想方法之一。因此，本节课具有承前启后的作用。
二、 学情分析
学生在掌握了基本初等函数的图象和性质后，对函数本身已非常熟悉，但只停留在对函数本身的研究和掌握，根据以往的学习经验知道建立函数模型在实际生活问题中的应用，但对其作为工具来解决方程问题还比较陌生。
本班是普通中学的普通班，学生对二次函数的图象并不是那么得心应手，所以在教学过程中还需要有些指导。而对图形计算器的使用还在初始阶段，对基本的操作有所了解，能按部就班完成基本的作图和运算，但对数据和图形的主动分析还有待提高。
三、 教学目标设置
1. 通过实际问题，感受指数函数的增长，增强函数的应用意识；
2. 通过历史的追溯，了解中外数学发展史上方程求解漫长而曲折的过程，感受数学文化；
3. 理解函数零点的概念，能转化方程问题与函数问题，并选择适当的方法求函数的零点；
4. 经历从特殊到一般的探究过程，掌握函数的零点与方程的根的关系；
5. 借助信息技术的使用，增强解决数学问题的兴趣和能力。
教学重点：本章知识的结构和逻辑关系及函数的零点
教学难点：函数的图象作图及分析
四、 教学过程
引言：大家知道哲学的三大终极问题是：我是谁？我从哪里来？我将要到哪里去？今天对于函数，我们同样问这三个问题：函数是什么？函数从哪里来？函数将能干什么？实际上，在我们前面第一章的学习中，我们已经明确函数的概念，也就是“函数是什么？”；第二章研究的基本初等函数中指数函数和对数函数等产生的背景就是函数的来源；今天开始，我们反过来看函数去向哪里，能为我们解决哪些问题。这就是第三章《函数的应用》。
（一） 实例发现
在开课之前看段视频，关于澳大利亚兔子入侵的灾难故事。
这就是外来生物入侵带来的灾难。在短短60年时间，兔子的数量从24只增加到40亿只，这是一个急速的增长，想想我们能用哪个函数模型来刻画这个增长剧烈的过程？——指数函数。这就是我们所说的“指数爆炸”。十九世纪中期，兔子在澳大利亚的自然和生态条件都很适宜的条件下，迅速繁殖，数量激增，成为澳大利亚的灾难。经过大量数据测算，我们建立了当时兔子的种群数量y随时间x变化的增长模型为：y=241 52x；另外我们假设在此期间兔子的天敌的数量y随时间x的增长模型为：y=300x 1000假设兔子数量大约是天敌数量的100倍时，则基本能够达到生物链中的理想平衡状态。那么从兔子进入澳大利亚开始，如果按照上述函数模型，不考虑其他自然和人为因素，问：
两个问题主要涉及的数学问题：建立方程和探究方程是否有根、根是多少，以及不同增长的函数模型。分析问题的本质，是解决这个方程的根的問题。在本章里，我们将借助函数建立数学模型，并通过函数来解决这个方程问题。
[设计意图]让学生感受指数函数的爆炸式增长，能和一次函数从感知上比较增长速度；在理解题意和寻求等量关系的过程中，体会数学的应用性。问题分别针对方程是否有根、有几个根、根是多少以及不同增长的函数模型。
[学生活动]通过独立思考，建立方程；借助图形计算器，求解方程，展示方程的根。
问题：x=17年的时候能够达到理想平衡状态，那之后呢？为什么主持人朱广权还说是澳大利亚的灾难呢？这时候，方程欠我们一个动态的解释，我们寻求与方程相对应的函数来解决。
我们发现：方程的根是图象与x轴交点的横坐标。
我们把使f（x）=0的实数x的值叫做y=f（x）的零点。
（二） 学以致用
例1 借助图形计算器求解并记录函数f（x）=x3 2x2 10x-20的零点。
[学生活动]分别有学生通过几何作图和代数解方程的方式求解零点。
为了求函数的零点，我们解的这个方程可是非同一般，它是数学家斐波那契挑战完成的一道宫廷数学竞赛题，当然没有计算器，在当时的数学条件下进行到小数点后面6位，成绩斐然。他的手动解法，将是我们下节课探索的问题。 我们今天站在巨人的肩膀上了解各种各样方程的解法，比如本章我们将根据函数的性质用二分法求解方程的近似解，选修22中还将用牛顿迭代法求方程的近似解，现在我们甚至手持计算器似乎可以无所不能了，但在数学发展史上，方程的求解却经历了漫长而艰辛的过程。我们可以通过一个简单的视频来了解一下：
播放中外历史上方程求解发展的解说视频
视频中所提到的数学家们，都为数学发展和人类进步做出了巨大的贡献，再来定格一下。
中國：《九章算术》（50—100）、赵爽、祖冲之（429—500）、王孝通、秦九韶（1208—1261）、杨辉（1238—1298）、朱世杰（1249—1341）等在方程解法研究上都有突出的贡献，特别是数值求解，远远领先于西方国家。但在字母表达和公式求解通法上略逊色一点。
世界：花拉子米；塔尔塔利亚；卡尔达诺；韦达；费拉里；拉格朗日；阿贝尔。
当然这些过程都不是一帆风顺的。欧洲文艺复兴时期，数学活动也非常普遍而且高大上。数学家们常常以竞赛和挑战的形式巩固自己的学术地位。而塔尔塔利亚和卡尔达诺还曾经为三次方程解法的知识产权问题产生过深深的矛盾。在导学案后面的资料里有所介绍。
解方程就能解一切，而函数也是y的一次方程。所以当五次以上方程及指数方程、对数方程等不能用大数运算求解的时候，数学家们转而把f（x）=0的问题与y=f（x）联系起来，寻求几何的解法。当求不出具体的根的时候，退而求其次，能圈定根的一个范围也好。所以本章我们对函数的应用主要包括两个方面：一是运用函数思想解决现实生活中的一些简单问题；二是利用函数的图象和性质解决方程的根的相关问题。
[设计意图]通过图形计算器的使用，使学生能够迅速建立方程与函数之间的联系，并积极解决未知问题，获得成就感；通过历史的追溯，了解中外数学发展史上方程求解漫长而曲折的过程，感受数学文化。让学生感知科学的发展和进步都不是一蹴而就的，一个看似小小的进步都经历了几代人的努力。激发学生的探索热情和学习兴趣，了解数学文化，感知数学之美。
例2 不用图形计算器，你能判断方程2x 3x-7=0有实根吗？
[学生活动]解决问题，积极展示
生甲：方程变形为2x=-3x 7，即是求函数y=2x与y=-3x 7的交点的横坐标
[设计意图]在解题的过程中，进一步体会数形结合思想和函数与方程的思想，培养解决实际问题的能力。
问题：既然这个方程有根，那么根是正是负？在哪个区间范围？再进一步，能求出根吗？
这将是我们本章后面所要研究的通过函数的性质用二分法求解方程的近似解，高中阶段我们还将在选修2-2中用牛顿迭代法求方程的近似解。
（三） 课堂小结：
结合前面的学习目标，从知识、技能、思想方法几个方面，
总结本节课我的收获：
还有一些疑惑：
[学生活动]反思总结，积极交流
函数应用：1. 解决实际问题；2. 求解方程的根。
思想方法：1. 函数与方程的思想；2. 数形结合思想。
图形计算器的使用，便捷了我们的分析和计算，提升了解决问题的能力。
（四）作业布置：
1. 教材P88，练习1、2；
2. 讨论函数f（x）=|x2-2x-3|-a的零点个数；
3. 查找史料，以小组为单位，搜集整理中国数学史上对方程求解做出卓越贡献的人物事迹。
关键词：高中数学；章节起始课；函数的应用
高中数学人教A版教材，在每一章的开头都有一页图文并茂的内容：一段话——章引言，道出本章所要研究的主要内容以及大致的研究思路；图片——章头图，往往展示本章内容的应用等，其目的在于激发学生的学习兴趣，引导学生对整体知识的把握，渗透数学思想方法等。章节起始课的教学通常包括章引言和本章正文第一小节的内容。然而，不少教师对章引言、章头图的作用认识不足，教学中，或随便说几句，或干脆跳过，以至于感叹第一小节的内容太少或简单。因此，我认为，章节起始课有必要作为一种课型认真地加以研究。下面以《函数的应用》教学为例，与大家共研。
一、 教材分析
本节课所用教材为人教A版必修一，内容为第三章《函数的应用》起始课。
本章通过学习函数的零点和用二分法求方程近似解的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题。
对函数与方程的关系的认识过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则。函数与方程是初等数学的基础，也是连接初等数学与高等数学的桥梁，函数的零点是为了研究方程的根而产生的概念，它是方程的根在动态的函数视野下的名称。此外，函数与方程还是中学数学重要思想方法之一。因此，本节课具有承前启后的作用。
二、 学情分析
学生在掌握了基本初等函数的图象和性质后，对函数本身已非常熟悉，但只停留在对函数本身的研究和掌握，根据以往的学习经验知道建立函数模型在实际生活问题中的应用，但对其作为工具来解决方程问题还比较陌生。
本班是普通中学的普通班，学生对二次函数的图象并不是那么得心应手，所以在教学过程中还需要有些指导。而对图形计算器的使用还在初始阶段，对基本的操作有所了解，能按部就班完成基本的作图和运算，但对数据和图形的主动分析还有待提高。
三、 教学目标设置
1. 通过实际问题，感受指数函数的增长，增强函数的应用意识；
2. 通过历史的追溯，了解中外数学发展史上方程求解漫长而曲折的过程，感受数学文化；
3. 理解函数零点的概念，能转化方程问题与函数问题，并选择适当的方法求函数的零点；
4. 经历从特殊到一般的探究过程，掌握函数的零点与方程的根的关系；
5. 借助信息技术的使用，增强解决数学问题的兴趣和能力。
教学重点：本章知识的结构和逻辑关系及函数的零点
教学难点：函数的图象作图及分析
四、 教学过程
引言：大家知道哲学的三大终极问题是：我是谁？我从哪里来？我将要到哪里去？今天对于函数，我们同样问这三个问题：函数是什么？函数从哪里来？函数将能干什么？实际上，在我们前面第一章的学习中，我们已经明确函数的概念，也就是“函数是什么？”；第二章研究的基本初等函数中指数函数和对数函数等产生的背景就是函数的来源；今天开始，我们反过来看函数去向哪里，能为我们解决哪些问题。这就是第三章《函数的应用》。
（一） 实例发现
在开课之前看段视频，关于澳大利亚兔子入侵的灾难故事。
这就是外来生物入侵带来的灾难。在短短60年时间，兔子的数量从24只增加到40亿只，这是一个急速的增长，想想我们能用哪个函数模型来刻画这个增长剧烈的过程？——指数函数。这就是我们所说的“指数爆炸”。十九世纪中期，兔子在澳大利亚的自然和生态条件都很适宜的条件下，迅速繁殖，数量激增，成为澳大利亚的灾难。经过大量数据测算，我们建立了当时兔子的种群数量y随时间x变化的增长模型为：y=241 52x；另外我们假设在此期间兔子的天敌的数量y随时间x的增长模型为：y=300x 1000假设兔子数量大约是天敌数量的100倍时，则基本能够达到生物链中的理想平衡状态。那么从兔子进入澳大利亚开始，如果按照上述函数模型，不考虑其他自然和人为因素，问：
两个问题主要涉及的数学问题：建立方程和探究方程是否有根、根是多少，以及不同增长的函数模型。分析问题的本质，是解决这个方程的根的問题。在本章里，我们将借助函数建立数学模型，并通过函数来解决这个方程问题。
[设计意图]让学生感受指数函数的爆炸式增长，能和一次函数从感知上比较增长速度；在理解题意和寻求等量关系的过程中，体会数学的应用性。问题分别针对方程是否有根、有几个根、根是多少以及不同增长的函数模型。
[学生活动]通过独立思考，建立方程；借助图形计算器，求解方程，展示方程的根。
问题：x=17年的时候能够达到理想平衡状态，那之后呢？为什么主持人朱广权还说是澳大利亚的灾难呢？这时候，方程欠我们一个动态的解释，我们寻求与方程相对应的函数来解决。
我们发现：方程的根是图象与x轴交点的横坐标。
我们把使f（x）=0的实数x的值叫做y=f（x）的零点。
（二） 学以致用
例1 借助图形计算器求解并记录函数f（x）=x3 2x2 10x-20的零点。
[学生活动]分别有学生通过几何作图和代数解方程的方式求解零点。
为了求函数的零点，我们解的这个方程可是非同一般，它是数学家斐波那契挑战完成的一道宫廷数学竞赛题，当然没有计算器，在当时的数学条件下进行到小数点后面6位，成绩斐然。他的手动解法，将是我们下节课探索的问题。 我们今天站在巨人的肩膀上了解各种各样方程的解法，比如本章我们将根据函数的性质用二分法求解方程的近似解，选修22中还将用牛顿迭代法求方程的近似解，现在我们甚至手持计算器似乎可以无所不能了，但在数学发展史上，方程的求解却经历了漫长而艰辛的过程。我们可以通过一个简单的视频来了解一下：
播放中外历史上方程求解发展的解说视频
视频中所提到的数学家们，都为数学发展和人类进步做出了巨大的贡献，再来定格一下。
中國：《九章算术》（50—100）、赵爽、祖冲之（429—500）、王孝通、秦九韶（1208—1261）、杨辉（1238—1298）、朱世杰（1249—1341）等在方程解法研究上都有突出的贡献，特别是数值求解，远远领先于西方国家。但在字母表达和公式求解通法上略逊色一点。
世界：花拉子米；塔尔塔利亚；卡尔达诺；韦达；费拉里；拉格朗日；阿贝尔。
当然这些过程都不是一帆风顺的。欧洲文艺复兴时期，数学活动也非常普遍而且高大上。数学家们常常以竞赛和挑战的形式巩固自己的学术地位。而塔尔塔利亚和卡尔达诺还曾经为三次方程解法的知识产权问题产生过深深的矛盾。在导学案后面的资料里有所介绍。
解方程就能解一切，而函数也是y的一次方程。所以当五次以上方程及指数方程、对数方程等不能用大数运算求解的时候，数学家们转而把f（x）=0的问题与y=f（x）联系起来，寻求几何的解法。当求不出具体的根的时候，退而求其次，能圈定根的一个范围也好。所以本章我们对函数的应用主要包括两个方面：一是运用函数思想解决现实生活中的一些简单问题；二是利用函数的图象和性质解决方程的根的相关问题。
[设计意图]通过图形计算器的使用，使学生能够迅速建立方程与函数之间的联系，并积极解决未知问题，获得成就感；通过历史的追溯，了解中外数学发展史上方程求解漫长而曲折的过程，感受数学文化。让学生感知科学的发展和进步都不是一蹴而就的，一个看似小小的进步都经历了几代人的努力。激发学生的探索热情和学习兴趣，了解数学文化，感知数学之美。
例2 不用图形计算器，你能判断方程2x 3x-7=0有实根吗？
[学生活动]解决问题，积极展示
生甲：方程变形为2x=-3x 7，即是求函数y=2x与y=-3x 7的交点的横坐标
[设计意图]在解题的过程中，进一步体会数形结合思想和函数与方程的思想，培养解决实际问题的能力。
问题：既然这个方程有根，那么根是正是负？在哪个区间范围？再进一步，能求出根吗？
这将是我们本章后面所要研究的通过函数的性质用二分法求解方程的近似解，高中阶段我们还将在选修2-2中用牛顿迭代法求方程的近似解。
（三） 课堂小结：
结合前面的学习目标，从知识、技能、思想方法几个方面，
总结本节课我的收获：
还有一些疑惑：
[学生活动]反思总结，积极交流
函数应用：1. 解决实际问题；2. 求解方程的根。
思想方法：1. 函数与方程的思想；2. 数形结合思想。
图形计算器的使用，便捷了我们的分析和计算，提升了解决问题的能力。
（四）作业布置：
1. 教材P88，练习1、2；
2. 讨论函数f（x）=|x2-2x-3|-a的零点个数；
3. 查找史料，以小组为单位，搜集整理中国数学史上对方程求解做出卓越贡献的人物事迹。