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Heron问题:如图1,有人从点P出发,要到河l中打水,然后回到家里Q,问他应在哪里打水,才能使所走的路程最短.
这个问题的数学提法是:
设P,Q是直线l外同侧两定点,要在l上找一点A,使PA + AQ达到最小.
换句话说,如果点B是l上另一点,必有PB + BQ > PA + AQ.
解决办法:作点P关于l的对称点P′,连接P′Q交l于点A,则点A即为所求(证明略).
也可作点Q关于l的对称点Q′,连接PQ′与l交点仍然是A(证明略),则点A即为所求(证明略).
这个问题也可用光线来说明:一束光从点P射到平面镜l上的点A,那么它一定朝点Q的方向射出,使入射角∠1等于反射角∠2,光线走的是最短线.如图2.这件事是1世纪希腊科学家Heron(海伦)发现的,故称Heron问题[1].
人民教育出版社传统初中教材及新课程改革教材,以及其他版本的初中教材,基本都有以此问题为背景的例题､练习题､习题或章复习参考题[2]~[5].故近年来,以此问题为背景的中考题也频频出现在各地中考数学试卷上,只是问题情境变换了而已.
解决此类问题的关键:从不同问题情境中,提炼出数学模型——Heron问题,然后加以解决.Heron问题模型可归纳为以下三点:
(1) 定直线l(实际上是对称轴)同侧两定点P,Q.
(2) 在定直线l上找一点A.
(3) 使PA + AQ最小.
例1 已知等腰直角三角形ABC中,AB⊥AC,AB = AC,E是AC上的点,且AE = 1,CE = 2,点P是BC上的一个动点,连接AP,PE,求AP + PE的最小值.
分析 如图3,(1)定直线BC同侧两定点A,E;(2)P为BC上一点;(3)使AP + PE的值最小,是Heron问题.
解答 作点A关于直线BC的对称点D ,连接DE,交BC于点P,点P即为所求,如图4.实际得正方形ABDC,且 AP + PE = DP + PE = DE = = =.
例2 正方形ABDC的边长为3,E在AC上,且AE = 1,P为BC上任意一点,则PE + PA的最小值为____.
分析 由例1解答显然.答案:.
例3 (2005年河南省中考)(非实验区)如图5,梯形ABCD中,AD∥BC,AB = CD = AD = 1,∠B = 60°,直线MN为梯形ABCD的对称轴,P为MN上一点,那么PC + PD的最小值为____.
分析 虽然问题情境为等腰梯形,但本质上仍是Heron问题.
解答 连接AC交MN于P,P即为所求,如图5.PC + PD = PC + PA = AC.
过C作CE⊥AD, 交AD延长线于E,则∠EDC = 60°,DE =,CE =,AE = AD + DE =,所以,AC === .
例4 已知:⊙O的半径为R,C,D是直径AB同侧圆周上的两点,的度数为96°, 的度数为36°,动点P在AB上,求CP + PD的最小值.
解答 作点D关于直线AB的对称点D′,由圆的性质,D′仍在⊙O上,连接CD′交AB于P,则P即为所求,如图6. = ,∠BOD′= 36°,∠BOC = 180° - 96° = 84°,所以∠COD′ = 120°.同例3类似作辅助线,得CP + PD = CP + PD′ = CD′ =R.
例5 如图7,A为马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.[5]
分析 设草地边所在直线为l,河边所在直线为l′.可以把直线l,l′分别看做是Heron问题中的定直线.对于直线l,两定点为A,B;对于直线l′,两定点为A′,B.
解答 如图8,设草地边所在直线为l,河边所在直线为l′.作A关于直线l的对称点A′,再作A′关于直线l′的对称点A″,连接A″B,交l′于D,连接A′D交l于C,连接AC,则牧马人这一天所走的最短路线为AC + CD + DB = A′C + CD + DB = A′D + DB = A″D + DB = A″B.
例6 (2006年北京市中考)(课标A卷)已知抛物线y = ax2 + bx + c与y轴交于点A(0,3),与x轴分别交于B(1,0),C(5,0)两点.
(1) 求此抛物线解析式;
(2) 若D为线段OA的一个三等分点,求直线DC的解析式;
(3) 若一个动点P从OA中点M出发,先到达x轴上的某点(设为点E),再到达抛物线的对称轴上的某点(设为点F),最后运动到点A,求使点P运动的总路径最短的点E､点F的坐标,并求出这个最短总路径的长.
答案(1) y =x2 -x + 3;(2)y = - x + 1或y = - x + 2;(3)E(2,0),F3, ,.
此题从历史故事及实际应用引入,既教会了来龙去脉(证明),又教会了在不同背景图形中的应用,还增强了应试能力,最后拓广到关于两条直线上找点的最短问题.
类似问题还可以推广到其他三类:
(1) 设P,Q是直线l外同侧两定点,要在l上找一点A,使|PA-AQ|达到最大.
(2) 设P,Q是直线l外异侧两定点,要在l上找一点A,使PA + AQ达到最小.
(3)设P,Q是直线l外异侧两定点,要在l上找一点A,使|PA - AQ|达到最大.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
这个问题的数学提法是:
设P,Q是直线l外同侧两定点,要在l上找一点A,使PA + AQ达到最小.
换句话说,如果点B是l上另一点,必有PB + BQ > PA + AQ.
解决办法:作点P关于l的对称点P′,连接P′Q交l于点A,则点A即为所求(证明略).
也可作点Q关于l的对称点Q′,连接PQ′与l交点仍然是A(证明略),则点A即为所求(证明略).
这个问题也可用光线来说明:一束光从点P射到平面镜l上的点A,那么它一定朝点Q的方向射出,使入射角∠1等于反射角∠2,光线走的是最短线.如图2.这件事是1世纪希腊科学家Heron(海伦)发现的,故称Heron问题[1].
人民教育出版社传统初中教材及新课程改革教材,以及其他版本的初中教材,基本都有以此问题为背景的例题､练习题､习题或章复习参考题[2]~[5].故近年来,以此问题为背景的中考题也频频出现在各地中考数学试卷上,只是问题情境变换了而已.
解决此类问题的关键:从不同问题情境中,提炼出数学模型——Heron问题,然后加以解决.Heron问题模型可归纳为以下三点:
(1) 定直线l(实际上是对称轴)同侧两定点P,Q.
(2) 在定直线l上找一点A.
(3) 使PA + AQ最小.
例1 已知等腰直角三角形ABC中,AB⊥AC,AB = AC,E是AC上的点,且AE = 1,CE = 2,点P是BC上的一个动点,连接AP,PE,求AP + PE的最小值.
分析 如图3,(1)定直线BC同侧两定点A,E;(2)P为BC上一点;(3)使AP + PE的值最小,是Heron问题.
解答 作点A关于直线BC的对称点D ,连接DE,交BC于点P,点P即为所求,如图4.实际得正方形ABDC,且 AP + PE = DP + PE = DE = = =.
例2 正方形ABDC的边长为3,E在AC上,且AE = 1,P为BC上任意一点,则PE + PA的最小值为____.
分析 由例1解答显然.答案:.
例3 (2005年河南省中考)(非实验区)如图5,梯形ABCD中,AD∥BC,AB = CD = AD = 1,∠B = 60°,直线MN为梯形ABCD的对称轴,P为MN上一点,那么PC + PD的最小值为____.
分析 虽然问题情境为等腰梯形,但本质上仍是Heron问题.
解答 连接AC交MN于P,P即为所求,如图5.PC + PD = PC + PA = AC.
过C作CE⊥AD, 交AD延长线于E,则∠EDC = 60°,DE =,CE =,AE = AD + DE =,所以,AC === .
例4 已知:⊙O的半径为R,C,D是直径AB同侧圆周上的两点,的度数为96°, 的度数为36°,动点P在AB上,求CP + PD的最小值.
解答 作点D关于直线AB的对称点D′,由圆的性质,D′仍在⊙O上,连接CD′交AB于P,则P即为所求,如图6. = ,∠BOD′= 36°,∠BOC = 180° - 96° = 84°,所以∠COD′ = 120°.同例3类似作辅助线,得CP + PD = CP + PD′ = CD′ =R.
例5 如图7,A为马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.[5]
分析 设草地边所在直线为l,河边所在直线为l′.可以把直线l,l′分别看做是Heron问题中的定直线.对于直线l,两定点为A,B;对于直线l′,两定点为A′,B.
解答 如图8,设草地边所在直线为l,河边所在直线为l′.作A关于直线l的对称点A′,再作A′关于直线l′的对称点A″,连接A″B,交l′于D,连接A′D交l于C,连接AC,则牧马人这一天所走的最短路线为AC + CD + DB = A′C + CD + DB = A′D + DB = A″D + DB = A″B.
例6 (2006年北京市中考)(课标A卷)已知抛物线y = ax2 + bx + c与y轴交于点A(0,3),与x轴分别交于B(1,0),C(5,0)两点.
(1) 求此抛物线解析式;
(2) 若D为线段OA的一个三等分点,求直线DC的解析式;
(3) 若一个动点P从OA中点M出发,先到达x轴上的某点(设为点E),再到达抛物线的对称轴上的某点(设为点F),最后运动到点A,求使点P运动的总路径最短的点E､点F的坐标,并求出这个最短总路径的长.
答案(1) y =x2 -x + 3;(2)y = - x + 1或y = - x + 2;(3)E(2,0),F3, ,.
此题从历史故事及实际应用引入,既教会了来龙去脉(证明),又教会了在不同背景图形中的应用,还增强了应试能力,最后拓广到关于两条直线上找点的最短问题.
类似问题还可以推广到其他三类:
(1) 设P,Q是直线l外同侧两定点,要在l上找一点A,使|PA-AQ|达到最大.
(2) 设P,Q是直线l外异侧两定点,要在l上找一点A,使PA + AQ达到最小.
(3)设P,Q是直线l外异侧两定点,要在l上找一点A,使|PA - AQ|达到最大.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”