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【摘要】“创造真善美之人格”是教育家陶行知的教育目标。学生全面、持续、和谐的发展是达到实现“真善美”的重要表现。“数学表达”是实现数学教育整体目标的一个重要方式，数学表达的过程不仅是核心素养提升的过程，也是孕育真善美的过程。
【关键词】真善美、数学表达、核心素养
真、善、美，是文明社会的三大特点。“真”是未经人为的东西，指本原、本性等。培根说：“我认为善的定义就是有利于人类”。马克思认为，“美就是人的生命活力的自由能动的表现”。狄德罗又说：“真、善、美是紧密结合在一起的。在真或善之上加上某种罕见的、令人注目的情景，真就变成美了，善也就变成美了。”可见，真、善、美之间的和谐统一，是人类追求的社会价值和目标。
数学是人类文化的重要组成部分，数学表达是数学教育的追求目标，是数学核心素养形成的关键因素。数学表达主要是个体通过文字、符号、图示和动作等数学语言，把思考及想法进行分享和交流，让数学思维看得见。数学不仅需要有条理、有思维的表达，更需要在数学表达中追求真善美，达到学生求真、向善、尚美的全面育人的功效，体现数学表达的真正价值。
一、数学教学中孕育真善美
（一）知识的学习---真
爱因斯坦说：“数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性。”数学知识的学习需要求“真”和严谨的治学态度，而数学表达则更要关注表达内容的准确性、完整性以及真实性。因此，教师要帮助学生准确使用数学语言表达数学知识，撒下“真”的种子。
例如，对于程序性知识，要让学生说清楚“先怎么样”“再怎么样”“最后怎么样”……在教学两位数加两位数时，当学生根据例题列出算式34 16时，先引导学生用小棒摆一摆或者计数器拨一拨，在摆和拨的过程中已经通过动作语言潜移默化地展现了思考过程。然后帮助学生结合小棒或者计数器用完整的文字语言表达算法并理解算理，“先算个位上的4 6，再算十位上的30 10，最后满十要进一。”在这样的数学知识学习过程中，教师让学生充分体验到了数学表达的精准、精炼以及严谨，提升了表达能力，让知识的学习成为“真”学习。
（二）技能的理解---善
古代思想家孟子提出“性善论”，强调了教育的可能性，是我们实施“向善”教育的依据。学生对技能的理解也是“向善”的一种表现方式。教师要引导学生积极主动参与知识的探索过程，在数学表达的过程中促进学生对数学技能形成的理解，拨下“善”的种子。
例如，在教学《用列表的策略整理条件和问题》以及《用画图的策略整理条件和问题》之前，学生已经运用列表及画图的方法解决过一些数学问题，积累了列表和画图的方法经验。列表和画图的方式整理条件和问题也是数学表达方式，通过表格和图示将自己的思维过程表达出来。因此在教学列表和画图策略，可以使学生进一步完善数学表达的过程（线段图的完整性）、深入表达的层次（列表格的逻辑性），逐步掌握解决问题的思路和方法，使学生在学习中形成运用策略解决问题的意识。因此，教师可以通过学生的数学表达，及时了解学生是否掌握相关策略以及能否灵活应用策略进行迁移应用解决实际问题。
（三）能力的提升---美
苏霍姆林斯基说过：“所有能使孩子得到美的享受、美的快乐和美的满足的东西，都具有一种奇特的教育力量”。学生表达能力的提升，学习信心的增长是数学表达中追求“尚美”的体现。埋下“美”的种子，静待花开，体验收获成功的喜悦。
例如，在三年级教学用估算解决实际问题，要让学生说清楚思考过程，就需要学生在表达的时候有条理、有依据，想清楚了再讲，并通过相互评价不断改进自己的表达。比如，面对“西瓜每箱48元，买4箱西瓜，带200元够吗？”实际问题时，要培养学生用“因为……所以……”的语言形式去表达和交流。学生起初也许只会表达;“即使把48元估成50，也比200小，200元钱当然不够买。”这样的表达不够完整和清晰。这时，就需要在生生评价以及自我评价中改进自己的语言形式，让表达更清晰，更条理，即：“把48看作50，因为50×4=200，所以48×4的结果一定小于200，也就是200元是购买4箱西瓜的。”学生在这样的数学表达中不断调整和优化，不仅提升了表达能力，也提升了解决问题的能力，增强学习数学的信心。
二、学科育人中孕育真善美
（一）数学思维的发展---真
史宁中教授认为：基于核心素养的教学，要求教师要抓住知识的本质，培养学生的数学思维能力。而抓住知识的本质就是抓住数学知识的“真”。教师在挖掘数学知识本质内涵的同时，更要善于通过数学表达促使学生有深度、有逻辑地展开数学思考，帮助学生有条理地表达自己的观点。
例如，四年级下册第39页的第7题（如图1），当学生算出左边各题的积并填好表格后，教师可以引导学生观察填写的数据并说说发现。有的学生能明白其中的道理，但是他会这样表达自己的想法：“左边算式添一个0，积就添1个0;左边算式添2个0，积也添了2个0。”学生就没有抓住这道题的本质是两个乘数同时变化而引起的积的变化规律，即表达“两个乘数都乘10，积就要乘100;一个乘数乘10，另一个乘数乘20，积就要乘200。”此题是积的变化规律的拓展延伸，促使学生更深入理解乘数末尾有0的乘法的简便算法，感受知识之间的联系。因此，数学表达是基于学生知识理解和数学思维基础上进行的交流和分享，對于数学知识的本质内涵理解是强有力的催化剂，促进数学思维的生长。
（二）过程方法的积淀---善
英国著名学者怀海特提出数学的“善”是指模式的研究对于人类活动的积极意义。数学知识中蕴藏的过程方法，都与学生各个领域的问题解决密切相关，因此，过程方法的理解和掌握，对于弘扬数学之善必然有促进作用。
比如，在教学五年级《和与积的奇偶性》时，可以先探索和的奇偶性，引导学生经历举例、猜想、验证等活动，从简单入手，由两个数和的奇偶性再到多个数和的奇偶性，鼓励每个学生大胆表述自己的发现，同时结合自己的例子，有根有据地表达对相关规律的理解。学生经历了探究过程，掌握了规律探究的方法，积累了活动经验，为后续探究积的奇偶性提供了方法支撑。因此，在探索数学规律的过程中要坚持数学事实，运用方法去探究规律，不能用已知的规律反推需要探究的规律，这样就违背了数学的伦理，就与数学“善”的一面背道而驰了。 （三）学科情感的升华---美
在数学课堂教学过程中，教师关注的不应只是学生是否掌握知识技能，更应关注学生在课堂中的真实情感，是否喜欢上数学学科，是否增加对数学学科的情感，这是数学育人的“美”。
比如，五年级下册第104页的“动手做”（如图2）是让学生依照给出的步骤用直尺画出弯曲的线，最后围成一个图形。从表面上看只要简单地画直线，但实际上却是在表达数学的美。学生只有在深入探究后，才会感受到它的趣味性，发现曲与直的辩证关系，从而满足学生的好奇心，发现数学的内在之美，增加对数学的情感。
三、课堂伦理中孕育真善美
（一）人格品质---真
德国教育家斯普朗格说“教育之为教育，正在于它是一个人格心灵的‘唤醒’，这是教育的核心所在”。课堂上，教师要关爱学生，给予足够的耐心，让学生感受到老师对他的关心和心理上的关爱。
比如，在教学二年级《认识乘法》（如图3）时，要让学生学会用三句话的方式表达图的意思。如果有学生一开始表达不完整、不清楚或者有误时，教师不能立马让其他同学来表达，而放弃了这位学生的表达机会。这时教师要给予这位学生足够的耐心，真诚呵护，慢慢地引导他学会用三句话的方式将图的意思表达出来，“有5群小鸡，每群4只，一共有多少只？”数学课堂上要关注每一位学生，营造心理安全，鼓励学生大胆表达观点，不怕说错或说不清楚，不仅让学生感受到师生之间的心灵激荡，也能造就敢于表现，勤于思考的人格品质。
（二）社会交往---善
“教学过程是师生双方有目的有计划地以教材为中介，通过教师的教和学生的学共同完成预定任务的统一活动过程。”教师必须从学生的需要出发，通过师生间、生生间平等的互动、提问、追问、质疑等一系列表达形式的展开，来促进课堂的“社会化”交往。
例如，三年級《周长是多少》安排了“拼一拼”、“比一比”、“画一画”和“量一量”四个环节。在“拼一拼”中，教师收集学生不同的拼法，通过对不同拼法进行交流互动，发现虽然正方形个数相同，但是拼出的图形周长可能相同，也可能不同。在“画一画”中，教师可以将学生不同的画法结构性地呈现，让学生相互评价，体会不同画法之间的联系。再通过师生交流互动，引导学生感受有序列举画法的思想方法，优化自己的思维方式。因此，课堂教学应以数学表达为载体，积极地进行师生交往互动，促进师生和生生合作，培养学生课堂“社会化”交往的适应能力。
（三）差异发展---美
尊重学生差异性发展充分体现了教学行为伦理的基本价值取向。课堂中每位学生的表达能力是不同的，表达层次也就会不同。教学中要关注学生个体差异，尊重学生数学表达上的差异，满足适应学生个性发展的需要。
例如，在教学六年级下册第28页的例2（如图4）时，有学生能够用画图的策略找到答案;有学生能够用列表的策略找到答案;有学生能够用假设的策略找到答案;甚至还有学生能用“（5×10-42）÷（5-3）”或方程表达出结果。学生用画图、列举、假设等策略方法表达结果是必须掌握的，但用算式或者方程表达出结果是高标要求，不需要所有学生都理解和掌握。因此，对于学生不同层次的表达，我们要给予肯定和鼓励，这是人文的关怀，要让每位学生“各美其美，美美与共”。
追求真善美是素质教育的最高境界。高效地完成数学教育教学任务，培养学生数学学科核心素养和立德树人目标，必须充分研究并把握真善美的本质，探寻数学教学、学科育人及课堂伦理中求真、向善、尚美的实施策略及价值，在数学学科的教育教学中，运用“数学表达”来孕育更多的“真善美”，以达预期目标。
注：本文系江苏省中小学教学研究第十二期课题《城郊结合部小规模学校小学数学习的困难及对策研究》阶段性成果（课题立项号2017JK12-L077）
【关键词】真善美、数学表达、核心素养
真、善、美，是文明社会的三大特点。“真”是未经人为的东西，指本原、本性等。培根说：“我认为善的定义就是有利于人类”。马克思认为，“美就是人的生命活力的自由能动的表现”。狄德罗又说：“真、善、美是紧密结合在一起的。在真或善之上加上某种罕见的、令人注目的情景，真就变成美了，善也就变成美了。”可见，真、善、美之间的和谐统一，是人类追求的社会价值和目标。
数学是人类文化的重要组成部分，数学表达是数学教育的追求目标，是数学核心素养形成的关键因素。数学表达主要是个体通过文字、符号、图示和动作等数学语言，把思考及想法进行分享和交流，让数学思维看得见。数学不仅需要有条理、有思维的表达，更需要在数学表达中追求真善美，达到学生求真、向善、尚美的全面育人的功效，体现数学表达的真正价值。
一、数学教学中孕育真善美
（一）知识的学习---真
爱因斯坦说：“数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性。”数学知识的学习需要求“真”和严谨的治学态度，而数学表达则更要关注表达内容的准确性、完整性以及真实性。因此，教师要帮助学生准确使用数学语言表达数学知识，撒下“真”的种子。
例如，对于程序性知识，要让学生说清楚“先怎么样”“再怎么样”“最后怎么样”……在教学两位数加两位数时，当学生根据例题列出算式34 16时，先引导学生用小棒摆一摆或者计数器拨一拨，在摆和拨的过程中已经通过动作语言潜移默化地展现了思考过程。然后帮助学生结合小棒或者计数器用完整的文字语言表达算法并理解算理，“先算个位上的4 6，再算十位上的30 10，最后满十要进一。”在这样的数学知识学习过程中，教师让学生充分体验到了数学表达的精准、精炼以及严谨，提升了表达能力，让知识的学习成为“真”学习。
（二）技能的理解---善
古代思想家孟子提出“性善论”，强调了教育的可能性，是我们实施“向善”教育的依据。学生对技能的理解也是“向善”的一种表现方式。教师要引导学生积极主动参与知识的探索过程，在数学表达的过程中促进学生对数学技能形成的理解，拨下“善”的种子。
例如，在教学《用列表的策略整理条件和问题》以及《用画图的策略整理条件和问题》之前，学生已经运用列表及画图的方法解决过一些数学问题，积累了列表和画图的方法经验。列表和画图的方式整理条件和问题也是数学表达方式，通过表格和图示将自己的思维过程表达出来。因此在教学列表和画图策略，可以使学生进一步完善数学表达的过程（线段图的完整性）、深入表达的层次（列表格的逻辑性），逐步掌握解决问题的思路和方法，使学生在学习中形成运用策略解决问题的意识。因此，教师可以通过学生的数学表达，及时了解学生是否掌握相关策略以及能否灵活应用策略进行迁移应用解决实际问题。
（三）能力的提升---美
苏霍姆林斯基说过：“所有能使孩子得到美的享受、美的快乐和美的满足的东西，都具有一种奇特的教育力量”。学生表达能力的提升，学习信心的增长是数学表达中追求“尚美”的体现。埋下“美”的种子，静待花开，体验收获成功的喜悦。
例如，在三年级教学用估算解决实际问题，要让学生说清楚思考过程，就需要学生在表达的时候有条理、有依据，想清楚了再讲，并通过相互评价不断改进自己的表达。比如，面对“西瓜每箱48元，买4箱西瓜，带200元够吗？”实际问题时，要培养学生用“因为……所以……”的语言形式去表达和交流。学生起初也许只会表达;“即使把48元估成50，也比200小，200元钱当然不够买。”这样的表达不够完整和清晰。这时，就需要在生生评价以及自我评价中改进自己的语言形式，让表达更清晰，更条理，即：“把48看作50，因为50×4=200，所以48×4的结果一定小于200，也就是200元是购买4箱西瓜的。”学生在这样的数学表达中不断调整和优化，不仅提升了表达能力，也提升了解决问题的能力，增强学习数学的信心。
二、学科育人中孕育真善美
（一）数学思维的发展---真
史宁中教授认为：基于核心素养的教学，要求教师要抓住知识的本质，培养学生的数学思维能力。而抓住知识的本质就是抓住数学知识的“真”。教师在挖掘数学知识本质内涵的同时，更要善于通过数学表达促使学生有深度、有逻辑地展开数学思考，帮助学生有条理地表达自己的观点。
例如，四年级下册第39页的第7题（如图1），当学生算出左边各题的积并填好表格后，教师可以引导学生观察填写的数据并说说发现。有的学生能明白其中的道理，但是他会这样表达自己的想法：“左边算式添一个0，积就添1个0;左边算式添2个0，积也添了2个0。”学生就没有抓住这道题的本质是两个乘数同时变化而引起的积的变化规律，即表达“两个乘数都乘10，积就要乘100;一个乘数乘10，另一个乘数乘20，积就要乘200。”此题是积的变化规律的拓展延伸，促使学生更深入理解乘数末尾有0的乘法的简便算法，感受知识之间的联系。因此，数学表达是基于学生知识理解和数学思维基础上进行的交流和分享，對于数学知识的本质内涵理解是强有力的催化剂，促进数学思维的生长。
（二）过程方法的积淀---善
英国著名学者怀海特提出数学的“善”是指模式的研究对于人类活动的积极意义。数学知识中蕴藏的过程方法，都与学生各个领域的问题解决密切相关，因此，过程方法的理解和掌握，对于弘扬数学之善必然有促进作用。
比如，在教学五年级《和与积的奇偶性》时，可以先探索和的奇偶性，引导学生经历举例、猜想、验证等活动，从简单入手，由两个数和的奇偶性再到多个数和的奇偶性，鼓励每个学生大胆表述自己的发现，同时结合自己的例子，有根有据地表达对相关规律的理解。学生经历了探究过程，掌握了规律探究的方法，积累了活动经验，为后续探究积的奇偶性提供了方法支撑。因此，在探索数学规律的过程中要坚持数学事实，运用方法去探究规律，不能用已知的规律反推需要探究的规律，这样就违背了数学的伦理，就与数学“善”的一面背道而驰了。 （三）学科情感的升华---美
在数学课堂教学过程中，教师关注的不应只是学生是否掌握知识技能，更应关注学生在课堂中的真实情感，是否喜欢上数学学科，是否增加对数学学科的情感，这是数学育人的“美”。
比如，五年级下册第104页的“动手做”（如图2）是让学生依照给出的步骤用直尺画出弯曲的线，最后围成一个图形。从表面上看只要简单地画直线，但实际上却是在表达数学的美。学生只有在深入探究后，才会感受到它的趣味性，发现曲与直的辩证关系，从而满足学生的好奇心，发现数学的内在之美，增加对数学的情感。
三、课堂伦理中孕育真善美
（一）人格品质---真
德国教育家斯普朗格说“教育之为教育，正在于它是一个人格心灵的‘唤醒’，这是教育的核心所在”。课堂上，教师要关爱学生，给予足够的耐心，让学生感受到老师对他的关心和心理上的关爱。
比如，在教学二年级《认识乘法》（如图3）时，要让学生学会用三句话的方式表达图的意思。如果有学生一开始表达不完整、不清楚或者有误时，教师不能立马让其他同学来表达，而放弃了这位学生的表达机会。这时教师要给予这位学生足够的耐心，真诚呵护，慢慢地引导他学会用三句话的方式将图的意思表达出来，“有5群小鸡，每群4只，一共有多少只？”数学课堂上要关注每一位学生，营造心理安全，鼓励学生大胆表达观点，不怕说错或说不清楚，不仅让学生感受到师生之间的心灵激荡，也能造就敢于表现，勤于思考的人格品质。
（二）社会交往---善
“教学过程是师生双方有目的有计划地以教材为中介，通过教师的教和学生的学共同完成预定任务的统一活动过程。”教师必须从学生的需要出发，通过师生间、生生间平等的互动、提问、追问、质疑等一系列表达形式的展开，来促进课堂的“社会化”交往。
例如，三年級《周长是多少》安排了“拼一拼”、“比一比”、“画一画”和“量一量”四个环节。在“拼一拼”中，教师收集学生不同的拼法，通过对不同拼法进行交流互动，发现虽然正方形个数相同，但是拼出的图形周长可能相同，也可能不同。在“画一画”中，教师可以将学生不同的画法结构性地呈现，让学生相互评价，体会不同画法之间的联系。再通过师生交流互动，引导学生感受有序列举画法的思想方法，优化自己的思维方式。因此，课堂教学应以数学表达为载体，积极地进行师生交往互动，促进师生和生生合作，培养学生课堂“社会化”交往的适应能力。
（三）差异发展---美
尊重学生差异性发展充分体现了教学行为伦理的基本价值取向。课堂中每位学生的表达能力是不同的，表达层次也就会不同。教学中要关注学生个体差异，尊重学生数学表达上的差异，满足适应学生个性发展的需要。
例如，在教学六年级下册第28页的例2（如图4）时，有学生能够用画图的策略找到答案;有学生能够用列表的策略找到答案;有学生能够用假设的策略找到答案;甚至还有学生能用“（5×10-42）÷（5-3）”或方程表达出结果。学生用画图、列举、假设等策略方法表达结果是必须掌握的，但用算式或者方程表达出结果是高标要求，不需要所有学生都理解和掌握。因此，对于学生不同层次的表达，我们要给予肯定和鼓励，这是人文的关怀，要让每位学生“各美其美，美美与共”。
追求真善美是素质教育的最高境界。高效地完成数学教育教学任务，培养学生数学学科核心素养和立德树人目标，必须充分研究并把握真善美的本质，探寻数学教学、学科育人及课堂伦理中求真、向善、尚美的实施策略及价值，在数学学科的教育教学中，运用“数学表达”来孕育更多的“真善美”，以达预期目标。
注：本文系江苏省中小学教学研究第十二期课题《城郊结合部小规模学校小学数学习的困难及对策研究》阶段性成果（课题立项号2017JK12-L077）