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杜客君老师的题为“由特殊化想到的解题方法” ［1］一文, 读后很受启发,并联想到笔者1987年编的教材《中学数学教材教法》笫二章笫71页的“严谨性与量力性相结合” 中对一道课本题的证法,笔者还想补充几种证法,以便开阔数学教师与中学生的证题思路.
1 从杂志上的一道题谈特殊化、类比与普遍化
文［1］中的例1是:己知abc=1, 求1ab+a+1+1bc+b+1+1ac+c+1的值, 若将例1特殊化, 从数值特殊化到命题特殊化即可得出例2．
例2 已知ab=1,求1a+1+1b+1=?按特殊化取值a=b=1, 1a+1+1b+1=11+1+11+1=12+12=1.也可得命题的特殊化, 华罗庚教授说的: “要善于退,足够地退,退到最原始而又不失去重要性的地方是学好数学的一个决窍.”
什么是特殊化呢？ 所谓特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中的一个较小集合, 或仅仅一个对象.［2］ 简言之, 特殊化是从一般命题过渡到特殊命题的一种思维方法. 普遍化与特殊化是相互联系, 不可分割的．
又按命题的普遍化得例3
例3已知abcd=1, 求证:1abc+ab+a+1+1bcd+bc+b+1+1cda+cd+c+1+1dab+da+d+1=1.
什么是普遍化呢？普遍化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该较小集合的更大的集合. ［3］
事实上, 从特殊化到一般化是通过类比来实现的.“类比就是一种相似.” 它是从一种特殊到另一种特殊的推理．
要类比, 必须有类比对象(或叫类比概念), 从已知条件ab=1到abc=1再到abcd=1是类比对象, 而结论的1a+1+1b+1=1到1ab+a+1+1bc+b+1+1ac+c+1=1再到1abc+ab+a+1+1bcd+bc+b+1+1cda+cd+c+1+1dab+da+d+1=1也是类比对象, 再仔细分析, 要想得到精确的类比, 由两个分式的和为1再到三个分式的和为1, 再到四个分式的和为1, 最后,就是n个分式的和为1．
但是类比不是证明, “类比就是相似比较.”G•波利亚又说“如果把这种猜测的似真性当作肯定性, 那将是愚蠢的, 但是忽视这种似真的猜测将是同样愚蠢甚至更为愚蠢”［4］, 又说“清晰的类比较模糊的相似更有价值”．
波利亚说：“找出一个既有趣又好下手的新问题并不那么容易,这需要经验、鉴别力和好运气.但是,当我们成功地解决了一个好问题之后,我们应当去寻找更多的好问题.好问题同某种蘑菇有些相像,它们都成堆地生长.找到一个以后,你应当在周围找找；很可能在附近就有几个.”
G•波利亚说:“在求解所提出问题的过程中,我们经常可以利用一个较简单的类比问题的解答;我们可能利用它的方法或者可能利用它的结果,或者可能三者同时利用.”［5］
下面来证明用类比方法来发现的一系列命题．
先看例2的证明.
方法1 (直接通分法)
(b+1)（a+1）(b+1)+(a+1)(b+1)(a+1)
=(b+1)ab+(a+b)+1+(a+1)ab+(a+b)+1
=1+a+b+1ab+(a+b)+1=ab+(a+b)+1ab+(a+b)+1=1.
方法2 (间接通分法)
当第一个分式的分子、分母同时乘以b有间接通分的功能bb(a+1)+1b+1=bab+b+1b+1=b1+b+1b+1=b+1b+1=1．
方法3 第一个分式分母中用ab来替换1, 第二个分式的分子、分母同乘以a，
1a+1+1b+1=1a+ab+1b+1=1a(1+b)+aa(b+1)=a(b+1)a(1+b)=1.
方法4 由已知条件ab=1可推出a=1b,并进行代入,可得
1a+1+1b+1=11b+1+1b=bb+1+1b+1=1．
用类比来思考问题,例1［1］也至少有4种证明方法,在此仅给出提示,详细证明由读者完成．
证法1 (直接通分法)留给读者完成．
证法2 (间接通分法)笫一个分式的分子与分母同乘以c, 第二个分式的分子与分母同乘以ac,第三个分式中的1用abc替换．
证法3: 当已知条件abc=1可推出bc=1a,第二个分式中的bc用1a代替.
证法 笫一个分式的分子、分母中的1用abc替换, 笫三个分式的分母中的ac用1b替换, 而c用1ab来替换．
再来看上述例3的证法,在此仅给出提示,详细由读者完成.
证法1 (直接通分法)留给读者完成．
证法2 (间接通分法)各分式中笫一个分式分母中的abcd=1替换, 笫三个分式乘以ac,笫四个分式乘以abc．
证法3: 用替换d=1abc,cad=1b,cd=1ab．
所以原式是成立的．
2从思维发散性还可以得出的新的命题
例4 已知abc=1,证明aab+a+1+bbc+b+1+cac+c+1=1．
从思维发散性看, 条件相同, 结论不同的数学题是发散的, 即不可能是唯一的. 用特殊化思维来看, 令a=b=c=1时, 例4的发现及证明是显然的. 若令a=2,b=1,c=12也是满足题设所要求的, 读者可自己验证一下.
验证两遍, 甚至于100遍也不等于证明, 类比方法可以帮助我们探索到证明的方法.
从特殊化到一般化是通过类比来实现的.“类比就是一种相似.” 它是从一种特殊到另一种特殊的推理. 建立类比概念是从特殊命题到一般命题(或从一般命题到特殊命题)的关键.已知条件ab=1到abc=1再到abcd=1是类比对象, 而结论的aa+1+bb+1=1到aab+a+1+bbc+b+1+cac+c+1=1再到aabc+ab+a+1+bbcd+bc+b+1+ccda+cd+c+1+ddab+da+d+1=1也是类比对象,
从两个分式之和为1到三个分式之和为1再到四个分式之和为1,最后到n个分式之和为1也都是类比概念. “清晰的类比较模糊的相似更有价值”
简述例4的证明,详细步骤读者自己完成．
证法1 (直接通分法)留给读者完成．
证法2 (间接通分法) 笫一个分式中的1可用abc替换, 则笫一个分式中的分母有公因式a, 又有公因式bc+b+1, 这恰恰是第二个分式的分母, 再观察笫三个分式, 只要分子、分母同乘以b, 也可以达到三个分式间接通分的目的．
证明3:(间接通分法)bc=1a,c=1ab,第二个分式中bc用1a替换,第三个分式中c用1ab替换,就能得到证明.
根据“具体问题要具体分析”, 类比还可以得出几种证明方法, 读者不妨自己试试看．
试问, 用特殊化还可以得出什么命题呢？
例5 已知ab=1, 求证:aa+1+bb+1=1.
证法1 (直接通分法) 略.
证法2 (间接通分法)第一个分式中的1用ab替换aa+1+bb+1=aa+ab+bb+1=1.
看来间接通分法比直接通分法简洁、漂亮.
证法3 用1b替换a,aa+1+bb+1=a1b+1+bb+1=abb+1+bb+1=ab+b.b+1=1.
无论是用ab替换1, 或者是用1b替换a, 都是间接通分, 它都比直接通分法是具有创造性, 什么是创造性思维呢？是新颖的、独特的、有价值的(智力价值、理论价值、经济价值) 的思维才是创造性思维. 对学生来说, 一般不是对某种新东西的发现、发明与创造的成就, 而只是对已知东西的再发现, 如上面的间接通分也可以看作是创造性思维．
创造性思维是思维活动的一种, 它对问题的思考不是直接从头脑中已有的思维形式和思维方法去找答案, 而是从问题的本身去进行分析, 进行一系列探索性思维活动, 将已有的思维形式和思维方法去大跨度地迁移, 从可供选择的途径中筛选出解决问题的新办法．
例6已知abcd=1,求证:aabc+ab+a+1+bbcd+bc+b+1+ccda+cd+c+1+ddab+da+d+1=1．
证明2 (间接通分法) 证明中笫一个分式中的1用abcd替换, 笫三个分式乘以ab, 第四个分式乘以abc,aabc+ab+a+1+bbcd+bc+b+1+ccda+cd+c+1+ddab+da+d+1
=aabc+ab+a+abcd+bbcd+bc+b+1+abcabcd+bcd+bc+b+abcdab2cd+ab.cd+b2c2+bc
=aa(bc+b+1+bcd)+bbcd+bc+b+1+abc.a(acdb+bcd+bc+b)+abcda(bcd+bc+b+1)
=1bc+b+1+bcd+bbcd+bc+b+1+bcbcd+bc+b+1+bcdbcd+bc+b+1=1.
证明3 用替换d=1abc,bcd=1a,acd=1b,cd=1ab.
aabc+ab+a+1+b1a+bc+b+1+c1b+1ab+c+1+1abc1c+1bc+1abc+1
=aabc+ab+a+1+ababc+ab+a+1+abca+1+abc+ab+1abc+ab+a+1
=a+ab+abc+1abc+ab+a+1=1
所以原等式成立
综上所述, 我们引出了创造性思维的定义, 既从特殊化、类比和普遍化中可发现很多命题, 又从发散性思维中构造出很多命题, 既开阔了教师的思维, 更开阔了学生的思维, “类比不但有发现真理、认识真理的认识论基础,而且还有证明真理的方法论意义.”又说“客观事物之间的相似性和差异性是类比推理的逻辑基础,相似性的存在提供了类比的可能性,而差异性的存在又限制着类比的范围.如果强调了事物之间的相似性而忽视其差异性,那么就会把类比视为万能的“法宝”到处乱用;反之,如果片面地强调事物之间的差异性而忽视其相似性,那么就会陷入“不可知论”的泥坑.［6］”
首先我们看历史上类比在科学研究上起什么作用, 荷兰物理学家与数学家惠更斯在比较声与光现象之后, 证明了这两种现象具有一系列相同的性质: 声与光都具有一种直线传播规律, 反射规律, 折射规律和干扰规律, 使他从声波的概念用类比思想方法推理而获得光波的概念, 用类比思维和数学计算发现海王星的科学家开普勒称类比是自己“最好的老师” 和“自然秘密的参加者” 哲学家康德说:“每当理智缺乏可靠的论证的思路时, 类比这方法往能指引我们前进.”数学家拉普拉斯说:“甚至在数学里, 发现真理的主要工具也是归纳与类比.”
其次, 数学的创造, 发现过程, 有两个方面的精髓: 内容与结果; 思想与方法. 高斯说:“凡有自尊心的建筑师, 在瑰丽的大厦建成之后, 决不会把脚手架留在那里.” 这就是说结果留下, 方法如同脚手架要拆走, 恰恰是类比的思想方法要留在学生的脑子里. 类比的思想方法就是脚手架, 素质教育要培养开拓型, 创新型人才, 必须学会类比的思想方法.G•波利亚也说过类似的话:“解答的最终形式会被记下来, 可是原来那个善变的方案和有利或不利的证据多半或完全被忘掉了. 人们可以看得见留下来的是建立起来的大厦, 但是建立大厦所需要的脚手架都被搬走了” 为了使学生知其然, 又知其所以然, 一定要在教学过程中, 再现脚手架, 它是数学本质, 数学实质的再现．
参考文献
［1］ 杜客君. 由特殊化想到的解题方法［J］. 中学数学杂志,2011,(8)：51．
［2］ G•波利亚.怎样解题［M］.北京：科学出版社,1982:190．
［3］ G•波利亚.怎样解题［M］. 北京：科学出版社,1982:107．
［4］ G•波利亚.怎样解题［M］. 北京：科学出版社,1984:43．
［5］ G•波利亚.怎样解题［M］. 北京：科学出版社,1982:43．
［6］ 傅世球.中学数学教学的艺术［M］.长沙:湖南教育出版社,19895∶73．
作者简介：傅世球,1941年3月生, 湖南省麻阳县人,1963年8月毕业于贵州大学数学系, 曾任怀化学院数学系副主任、退休后曾任吉首大学特聘教授. 1993年被评为全国教育系统劳动模范, 同年享受国务院特殊津贴,1994年获曾宪梓教育基金三等奖. 出版《中学数学教学的艺术》、《初等数论》、《构造法解数学题》、《数学教学艺术导论》、《中学数学思维策略与解题技巧》等26部书. 在《课程. 教材. 教法》、《数学通报》、《数学教育学报》、《中学数学杂志》等全国39家杂志社发表数学教研论文140篇.
1 从杂志上的一道题谈特殊化、类比与普遍化
文［1］中的例1是:己知abc=1, 求1ab+a+1+1bc+b+1+1ac+c+1的值, 若将例1特殊化, 从数值特殊化到命题特殊化即可得出例2．
例2 已知ab=1,求1a+1+1b+1=?按特殊化取值a=b=1, 1a+1+1b+1=11+1+11+1=12+12=1.也可得命题的特殊化, 华罗庚教授说的: “要善于退,足够地退,退到最原始而又不失去重要性的地方是学好数学的一个决窍.”
什么是特殊化呢？ 所谓特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中的一个较小集合, 或仅仅一个对象.［2］ 简言之, 特殊化是从一般命题过渡到特殊命题的一种思维方法. 普遍化与特殊化是相互联系, 不可分割的．
又按命题的普遍化得例3
例3已知abcd=1, 求证:1abc+ab+a+1+1bcd+bc+b+1+1cda+cd+c+1+1dab+da+d+1=1.
什么是普遍化呢？普遍化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该较小集合的更大的集合. ［3］
事实上, 从特殊化到一般化是通过类比来实现的.“类比就是一种相似.” 它是从一种特殊到另一种特殊的推理．
要类比, 必须有类比对象(或叫类比概念), 从已知条件ab=1到abc=1再到abcd=1是类比对象, 而结论的1a+1+1b+1=1到1ab+a+1+1bc+b+1+1ac+c+1=1再到1abc+ab+a+1+1bcd+bc+b+1+1cda+cd+c+1+1dab+da+d+1=1也是类比对象, 再仔细分析, 要想得到精确的类比, 由两个分式的和为1再到三个分式的和为1, 再到四个分式的和为1, 最后,就是n个分式的和为1．
但是类比不是证明, “类比就是相似比较.”G•波利亚又说“如果把这种猜测的似真性当作肯定性, 那将是愚蠢的, 但是忽视这种似真的猜测将是同样愚蠢甚至更为愚蠢”［4］, 又说“清晰的类比较模糊的相似更有价值”．
波利亚说：“找出一个既有趣又好下手的新问题并不那么容易,这需要经验、鉴别力和好运气.但是,当我们成功地解决了一个好问题之后,我们应当去寻找更多的好问题.好问题同某种蘑菇有些相像,它们都成堆地生长.找到一个以后,你应当在周围找找；很可能在附近就有几个.”
G•波利亚说:“在求解所提出问题的过程中,我们经常可以利用一个较简单的类比问题的解答;我们可能利用它的方法或者可能利用它的结果,或者可能三者同时利用.”［5］
下面来证明用类比方法来发现的一系列命题．
先看例2的证明.
方法1 (直接通分法)
(b+1)（a+1）(b+1)+(a+1)(b+1)(a+1)
=(b+1)ab+(a+b)+1+(a+1)ab+(a+b)+1
=1+a+b+1ab+(a+b)+1=ab+(a+b)+1ab+(a+b)+1=1.
方法2 (间接通分法)
当第一个分式的分子、分母同时乘以b有间接通分的功能bb(a+1)+1b+1=bab+b+1b+1=b1+b+1b+1=b+1b+1=1．
方法3 第一个分式分母中用ab来替换1, 第二个分式的分子、分母同乘以a，
1a+1+1b+1=1a+ab+1b+1=1a(1+b)+aa(b+1)=a(b+1)a(1+b)=1.
方法4 由已知条件ab=1可推出a=1b,并进行代入,可得
1a+1+1b+1=11b+1+1b=bb+1+1b+1=1．
用类比来思考问题,例1［1］也至少有4种证明方法,在此仅给出提示,详细证明由读者完成．
证法1 (直接通分法)留给读者完成．
证法2 (间接通分法)笫一个分式的分子与分母同乘以c, 第二个分式的分子与分母同乘以ac,第三个分式中的1用abc替换．
证法3: 当已知条件abc=1可推出bc=1a,第二个分式中的bc用1a代替.
证法 笫一个分式的分子、分母中的1用abc替换, 笫三个分式的分母中的ac用1b替换, 而c用1ab来替换．
再来看上述例3的证法,在此仅给出提示,详细由读者完成.
证法1 (直接通分法)留给读者完成．
证法2 (间接通分法)各分式中笫一个分式分母中的abcd=1替换, 笫三个分式乘以ac,笫四个分式乘以abc．
证法3: 用替换d=1abc,cad=1b,cd=1ab．
所以原式是成立的．
2从思维发散性还可以得出的新的命题
例4 已知abc=1,证明aab+a+1+bbc+b+1+cac+c+1=1．
从思维发散性看, 条件相同, 结论不同的数学题是发散的, 即不可能是唯一的. 用特殊化思维来看, 令a=b=c=1时, 例4的发现及证明是显然的. 若令a=2,b=1,c=12也是满足题设所要求的, 读者可自己验证一下.
验证两遍, 甚至于100遍也不等于证明, 类比方法可以帮助我们探索到证明的方法.
从特殊化到一般化是通过类比来实现的.“类比就是一种相似.” 它是从一种特殊到另一种特殊的推理. 建立类比概念是从特殊命题到一般命题(或从一般命题到特殊命题)的关键.已知条件ab=1到abc=1再到abcd=1是类比对象, 而结论的aa+1+bb+1=1到aab+a+1+bbc+b+1+cac+c+1=1再到aabc+ab+a+1+bbcd+bc+b+1+ccda+cd+c+1+ddab+da+d+1=1也是类比对象,
从两个分式之和为1到三个分式之和为1再到四个分式之和为1,最后到n个分式之和为1也都是类比概念. “清晰的类比较模糊的相似更有价值”
简述例4的证明,详细步骤读者自己完成．
证法1 (直接通分法)留给读者完成．
证法2 (间接通分法) 笫一个分式中的1可用abc替换, 则笫一个分式中的分母有公因式a, 又有公因式bc+b+1, 这恰恰是第二个分式的分母, 再观察笫三个分式, 只要分子、分母同乘以b, 也可以达到三个分式间接通分的目的．
证明3:(间接通分法)bc=1a,c=1ab,第二个分式中bc用1a替换,第三个分式中c用1ab替换,就能得到证明.
根据“具体问题要具体分析”, 类比还可以得出几种证明方法, 读者不妨自己试试看．
试问, 用特殊化还可以得出什么命题呢？
例5 已知ab=1, 求证:aa+1+bb+1=1.
证法1 (直接通分法) 略.
证法2 (间接通分法)第一个分式中的1用ab替换aa+1+bb+1=aa+ab+bb+1=1.
看来间接通分法比直接通分法简洁、漂亮.
证法3 用1b替换a,aa+1+bb+1=a1b+1+bb+1=abb+1+bb+1=ab+b.b+1=1.
无论是用ab替换1, 或者是用1b替换a, 都是间接通分, 它都比直接通分法是具有创造性, 什么是创造性思维呢？是新颖的、独特的、有价值的(智力价值、理论价值、经济价值) 的思维才是创造性思维. 对学生来说, 一般不是对某种新东西的发现、发明与创造的成就, 而只是对已知东西的再发现, 如上面的间接通分也可以看作是创造性思维．
创造性思维是思维活动的一种, 它对问题的思考不是直接从头脑中已有的思维形式和思维方法去找答案, 而是从问题的本身去进行分析, 进行一系列探索性思维活动, 将已有的思维形式和思维方法去大跨度地迁移, 从可供选择的途径中筛选出解决问题的新办法．
例6已知abcd=1,求证:aabc+ab+a+1+bbcd+bc+b+1+ccda+cd+c+1+ddab+da+d+1=1．
证明2 (间接通分法) 证明中笫一个分式中的1用abcd替换, 笫三个分式乘以ab, 第四个分式乘以abc,aabc+ab+a+1+bbcd+bc+b+1+ccda+cd+c+1+ddab+da+d+1
=aabc+ab+a+abcd+bbcd+bc+b+1+abcabcd+bcd+bc+b+abcdab2cd+ab.cd+b2c2+bc
=aa(bc+b+1+bcd)+bbcd+bc+b+1+abc.a(acdb+bcd+bc+b)+abcda(bcd+bc+b+1)
=1bc+b+1+bcd+bbcd+bc+b+1+bcbcd+bc+b+1+bcdbcd+bc+b+1=1.
证明3 用替换d=1abc,bcd=1a,acd=1b,cd=1ab.
aabc+ab+a+1+b1a+bc+b+1+c1b+1ab+c+1+1abc1c+1bc+1abc+1
=aabc+ab+a+1+ababc+ab+a+1+abca+1+abc+ab+1abc+ab+a+1
=a+ab+abc+1abc+ab+a+1=1
所以原等式成立
综上所述, 我们引出了创造性思维的定义, 既从特殊化、类比和普遍化中可发现很多命题, 又从发散性思维中构造出很多命题, 既开阔了教师的思维, 更开阔了学生的思维, “类比不但有发现真理、认识真理的认识论基础,而且还有证明真理的方法论意义.”又说“客观事物之间的相似性和差异性是类比推理的逻辑基础,相似性的存在提供了类比的可能性,而差异性的存在又限制着类比的范围.如果强调了事物之间的相似性而忽视其差异性,那么就会把类比视为万能的“法宝”到处乱用;反之,如果片面地强调事物之间的差异性而忽视其相似性,那么就会陷入“不可知论”的泥坑.［6］”
首先我们看历史上类比在科学研究上起什么作用, 荷兰物理学家与数学家惠更斯在比较声与光现象之后, 证明了这两种现象具有一系列相同的性质: 声与光都具有一种直线传播规律, 反射规律, 折射规律和干扰规律, 使他从声波的概念用类比思想方法推理而获得光波的概念, 用类比思维和数学计算发现海王星的科学家开普勒称类比是自己“最好的老师” 和“自然秘密的参加者” 哲学家康德说:“每当理智缺乏可靠的论证的思路时, 类比这方法往能指引我们前进.”数学家拉普拉斯说:“甚至在数学里, 发现真理的主要工具也是归纳与类比.”
其次, 数学的创造, 发现过程, 有两个方面的精髓: 内容与结果; 思想与方法. 高斯说:“凡有自尊心的建筑师, 在瑰丽的大厦建成之后, 决不会把脚手架留在那里.” 这就是说结果留下, 方法如同脚手架要拆走, 恰恰是类比的思想方法要留在学生的脑子里. 类比的思想方法就是脚手架, 素质教育要培养开拓型, 创新型人才, 必须学会类比的思想方法.G•波利亚也说过类似的话:“解答的最终形式会被记下来, 可是原来那个善变的方案和有利或不利的证据多半或完全被忘掉了. 人们可以看得见留下来的是建立起来的大厦, 但是建立大厦所需要的脚手架都被搬走了” 为了使学生知其然, 又知其所以然, 一定要在教学过程中, 再现脚手架, 它是数学本质, 数学实质的再现．
参考文献
［1］ 杜客君. 由特殊化想到的解题方法［J］. 中学数学杂志,2011,(8)：51．
［2］ G•波利亚.怎样解题［M］.北京：科学出版社,1982:190．
［3］ G•波利亚.怎样解题［M］. 北京：科学出版社,1982:107．
［4］ G•波利亚.怎样解题［M］. 北京：科学出版社,1984:43．
［5］ G•波利亚.怎样解题［M］. 北京：科学出版社,1982:43．
［6］ 傅世球.中学数学教学的艺术［M］.长沙:湖南教育出版社,19895∶73．
作者简介：傅世球,1941年3月生, 湖南省麻阳县人,1963年8月毕业于贵州大学数学系, 曾任怀化学院数学系副主任、退休后曾任吉首大学特聘教授. 1993年被评为全国教育系统劳动模范, 同年享受国务院特殊津贴,1994年获曾宪梓教育基金三等奖. 出版《中学数学教学的艺术》、《初等数论》、《构造法解数学题》、《数学教学艺术导论》、《中学数学思维策略与解题技巧》等26部书. 在《课程. 教材. 教法》、《数学通报》、《数学教育学报》、《中学数学杂志》等全国39家杂志社发表数学教研论文140篇.