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摘要：本文分别采用m值法的幂级数解（即规范公式和表格）和杆件有限元方法对某工程项目的水平受荷PHC桩的内力和位移进行分析计算，并与试桩成果进行了对比。文章对基于SAP2000通用有限元程序的m值法求解水平受荷桩的内力和变形进行了验证，并对该方法的扩展应用提出了展望。同时，也指出在沿海软土地区PHC桩的水平承载力相对于其竖向承载力比例很低，在设计中应加以重视。
关键词： PHC桩，软土，单桩水平承载力，水平受荷桩，m值法，土弹簧，桩-土共同作用模型
Abstract: This article presents two methods of analyzing deformation and internal forces of laterally loaded single pile. These methods are based on m-method, the first one is analytic solution (equations and tables from design codes), and the other one is applying FEM program. Solutions are also compared with the on-site test results. The Pile-Soil FEM modeling using SAP2000 program based on the m-method is verified and further application is briefly described. The author points out that the capacity of laterally loaded pile is very load in the soft soil site and designer should pay attention to this fact.
Key words: PHC Pile, soft soil, lateral bearing capacity, laterally loaded single pile， m-method, soil spring, pile-soil interaction modeling
中图分类号：U656.1+14文献标识码： A文章编号：2095-2104（2012）
前言
桩水平承载力和位移的影响因素包括桩身截面抗弯刚度、材料强度、桩侧土质条件、桩的入土深度、桩顶约束条件等等。在珠江三角洲地区普遍存在着含水量大、压缩性高、承载力低的深厚淤泥或淤泥质土，同时也广泛分布有松散砂土等工程性状差的软弱土层。而该地区广泛采用的高强预应力混凝土管桩（PHC）桩直径多在400mm~600mm之间，桩身的抗弯刚度和抗弯承载力相对较低。相对其竖向承载力来说，PHC桩的单桩水平承载力低，在某些情况下桩基础的水平承载力会成为桩基设计的决定性因素。
工程概况
某工程位于珠海市海滨，场地原为围海而成的鱼塘，场地地貌为滨海平原，地下水位浅。场地在钻探前经填土整平，并采用真空预压对场地进行地基处理。经过固结排水后，原有淤泥/淤泥质土层的工程性状得到一定的提高，但仍属于高压缩性的软土。本场地土层的主要物理力学性质指标如表1。拟建建筑物为总高17层的大型酒店项目，由于建筑方案原因，主体塔楼下没有地下室，且局部存在较高的单侧覆土，主体结构及基础需承担较大的单侧土体压力。为此作者在设计阶段对该场地的PHC桩单桩水平承载力进行了计算和试桩检测。计算方法包括采用《建筑桩基技术规范》（JGJ 94-2008）（以下简称《桩基规范》）中的公式和基于SAP2000的杆件有限元方法。
表格 1场地岩土层主要物理力学指标
桩水平承载力的计算方法
m值法简介
桩在水平荷载作用下的内力和位移计算模式按照桩相对刚度的不同分为刚性桩和弹性桩。PHC桩的长径比较大，相对刚度小，一般情况下属于弹性桩，其受荷模式犹如竖放在土中的弹性地基梁。在工程上通常采用弹性地基反力法，即假定土为弹性体，用梁的弯曲理论来求桩的位移和内力。一般建筑工程中桩顶允许水平位移为6mm~10mm，此时，桩身任一点的土抗力与桩身侧向位移之间可近似视为线性关系，一般认为水平地基系数则随深度而增加。入土深度-地基系数之间的数量关系常简化为三种情况，可分别采用m法、k法和C值法计算。其中m值法假定桩周土体的水平抗力系数随深度按比例系数m线性增长，该方法的图式比较简单，被多个设计规范中采纳，且相关规范根据试验和工程经验给出了各类土体的m值。应注意该值仅对应单桩在地面处某一给定水平位移量。对于受水平荷载的桩可建立弹性桩受荷后的弹性挠曲微分方程，并采用幂级数解法求解微分方程，规范则对根据相应的边界条件编制计算公式和表格。和普通的Winkler弹性地基梁求解類似，水平受荷桩也可采用有限差分法或有限元法等方法进行数学上或是物理上的近似，从而获得内力和位移的数值解。
《桩基规范》规定的m值法计算公式
对于计算水平受荷桩，《桩基规范》在5.7节和附录C给出了基于m值法的桩身变形和内力计算方法，对于单桩水平承载力，《桩基规范》的5.7节中规定可采用下式计算：
（1）
其中为桩的水平变形系数，该值与桩身抗弯刚度（公式中考虑了混凝土弹性模量的折减）、考虑桩周部分土体受力的桩身计算宽度和桩侧土的m值有关，而则与桩的约束程度有关，则是桩顶的允许水平位移。其中m值取主要影响深度米范围内土层的值，对于多层土则按照换算前后地基系数图形面积在hm深度内相等的原则进行m值的换算，一般建筑工程中取6~10mm。公式（1）中的0.75属于折减系数，而《桩基规范》的附录C给出的求单桩受单位水平力作用下的位移计算公式则没有考虑该折减系数。同样，广东省标准《建筑地基基础设计规范》（DBJ15-31-2003）给出的求单桩水平承载力特征值公式（10.2.23）与本文所列的公式（1）基本一致，只是没有乘上0.75的系数。
m值法的通用有限元程序实现
在采用SAP2000对水平受荷桩建模时，桩身采用平面杆单元模拟，而土体对桩的作用则采用沿杆长度分布的线弹簧模拟。桩的建模及计算与一般的Winkler地基梁模型大致相同，两者最大的区别在于水平受荷桩按m值法计算时土弹簧的刚度k不为常量，而是随着桩周土体的m值的不同和入土深度变化。SAP2000程序中的线弹簧刚度对于每根杆仅能输入一个常量，因此需要在建模时人工对桩身进行细分，并对每段细分的杆指定相应的线弹簧刚度。假定细分的杆长度为di(m)，相应的m值为mi(kN/m4)，由土面算起的第n段杆对应的线弹簧刚度以杆中心的值代表，其值按下式求解：
（2）
至于分段输入线弹簧的细分长度，经试算取为0.5m左右较合适，且可以根据土层的分布情况进行调整，令单元内的土体为单一的m值。同时要注意，《桩基规范》对桩身刚度有折减要求，在建模时也应该据此对杆的刚度乘上相应的刚度系数，令程序最终求得的桩身的EI值与《桩基规范》计算一致。由于SAP2000与EXCEL程序间可以很好的进行数据交互，人工细分杆件后输入各杆件对应的土体线弹簧刚度是相当方便快捷的。
为了验证基于SAP2000有限元程序水平受荷桩的分析计算方法，本文作者采用《实用桩基工程手册》的算例8-1进行了计算对比。该算例的钢管桩外径600mm，壁厚12mm，入土24m，砂质地基m=2000kN/m4，桩顶受水平力H0=150kN，力矩M0=450kNm。为了配合算例中输出位移和内力的深度，在SAP2000建模时桩身分成0.48m长的杆段输入线弹簧值。《实用桩基工程手册》和有限元模型得到的桩身位移和弯矩值列表对比如下：
表格 2 《实用桩基工程手册》算例8-1中桩的位移及内力对比
从上述对比结果可见，有限元方法与采用幂级数解的算例8-1求得的位移和内力吻合得较好，特别是内力偏差很小，因此可以认为采用基于SAP2000的杆系有限元方法代替《桩基规范》的查表法进行水平受荷桩的分析是可行的。
计算结果对比
图1为该项目场地的典型地质柱状图，及拟采用的各土层的m值(MN/m4)，项目采用的PHC桩桩径500mm，AB型桩，壁厚125mm，保护层厚度按40mm计算，柴油锤沉桩，桩端持力层为强风化花岗岩层，估算桩长约43m。计算宽度，，求的，相应的桩换算埋深，查表求得，桩顶位移，则按公式（1）求得的单桩水平承载力特征值，弯矩最大值发生在埋深2.39m处，最大弯矩值为。若不考虑公式（1）中的折减系数，桩顶水平力应为59.9kN
采用SAP2000进行该桩的水平受荷分析得到，桩顶水平力为44.9kN时，桩顶位移7.3mm，其最大弯矩距土面2.5m，对应的弯矩值为61.25kNm。有限元方法得到的内力计算值与用《桩基规范》查表得到的值相差不大，但是桩顶位移则仅为《桩基规范》计算值（）的73%，差距明显。但实际上运用公式（1）求水平承载力特征值时乘上了0.75的折减系数。由于计算中采用的土弹簧刚度和桩身刚度均为线弹性，换算得到的对应于桩顶位移的桩顶水平力应为61.5kN。可见在不考虑折减系数的情况下，两种方法得到的桩顶位移结果或是内力值的偏差均较小。
静载试验结果对比
在该项目的桩基设计正式开展前对上述条件下的桩进行了单桩水平静载实验，该桩在试验荷载加载至60kN时，桩顶水平位移为7.51mm，由于试验条件的限制，并没有得到位移为10mm时对于的检测结果。按照试桩结果，采用广东省标准《建筑地基基础检测规范》（DBJ 15-60-2008）的（15.4.1-1）式对桩周土的m值进行了计算，其中由于桩肯定属于，且桩顶自由的桩，水平位移系数，因此求得。该值比理论计算所取的m值要大。由于试验得到的位移明显小于10mm，该情况下m值必然比规范推荐值大。由于岩土工程的复杂性，理论计算和现场静载试验有较大的差距是可以理解的，但是其数量级吻合，理论计算仍具有相当的参考价值。
结论
相近条件下PHC桩的单桩抗压静载极限值可超过5600kN，相应的特征值可取2800kN，水平和竖直方向的承载力存在着非常大的差异。在本项目中如取60kN作为单桩水平承载力特征值，而抗压承载力特征值取2400kN的话，单桩的水平承载力仅为竖向承载力的2.5%，仅比通常情况下7度区建筑物的底层剪重比稍大。可见在沿海软土地区，特别是缺乏硬壳层的场地上有必要对桩基础的水平承载力进行详细的分析计算。
尽管随着计算方法的发展，众多的研究者应用大型通用有限元程序，建立三维桩-土模型对水平受荷的桩进行分析，桩身和土体甚至可以采用考虑弹塑性的单元进行模拟，可考虑桩-土接触面的滑移和开裂等非线性影响。这些有限元模型分析的有效性和准确性非常依赖于符合实际的本构模型的确定，在目前条件下工程实用性有限。对于通常的工业民用建筑物来说，《桩基规范》推荐的m值法仍是主流的设计方法，除了可以利用规范中的计算公式和表格进行水平受荷桩的位移和内力分析计算外，以m值法为基础的桩-土有限元分析也是一个可行方式。作者采用基于SAP2000有限元程序的m值法杆件有限元分析具有容易掌握，方便易行的特点，对于分层土体的应用更是简便。而SAP2000作为一个通用有限元程序，广泛应用于土木建筑结构的分析，并且该程序具有开放的开发接口，因此除了本文提到的简单桩-土分析实例外，通过一定的扩展，可以采用该程序对复杂条件下的桩-土模型进行分析，如考虑承台、地下室墙体、桩基和土的协同工作等。
参考文献：
[1] 建筑桩基技术规范 JGJ 94-2008[S]. 北京：中国建筑工业出版社2008.
[2] 建筑地基基础设计规范 DBJ15-31-2003[S]. 北京：中国建筑工业出版社2003.
[3] 建筑地基基础检测规范 DBJ 15-60-2008[S]. 北京：中国建筑工业出版社2008.
[4] 史佩棟. 实用桩基工程手册[M]. 北京：中国建筑工业出版社1999.
[5] 赵明华. 桥梁桩基计算与检测[M]. 北京：人民交通出版社2000.
[6] 戴自航，陈林靖. 多层地基中水平荷载桩计算m法的两种数值解[J]. 岩土工程学报, 2007, 29(5):690-696.
[7] 周万清, 蔡健, 林奕禧, 黄良机. 纵横向荷载作用下PHC管桩的有限元分析[J]. 广西大学学报:自然科学版, 2011, 36(1):187-193.
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。
关键词： PHC桩，软土，单桩水平承载力，水平受荷桩，m值法，土弹簧，桩-土共同作用模型
Abstract: This article presents two methods of analyzing deformation and internal forces of laterally loaded single pile. These methods are based on m-method, the first one is analytic solution (equations and tables from design codes), and the other one is applying FEM program. Solutions are also compared with the on-site test results. The Pile-Soil FEM modeling using SAP2000 program based on the m-method is verified and further application is briefly described. The author points out that the capacity of laterally loaded pile is very load in the soft soil site and designer should pay attention to this fact.
Key words: PHC Pile, soft soil, lateral bearing capacity, laterally loaded single pile， m-method, soil spring, pile-soil interaction modeling
中图分类号：U656.1+14文献标识码： A文章编号：2095-2104（2012）
前言
桩水平承载力和位移的影响因素包括桩身截面抗弯刚度、材料强度、桩侧土质条件、桩的入土深度、桩顶约束条件等等。在珠江三角洲地区普遍存在着含水量大、压缩性高、承载力低的深厚淤泥或淤泥质土，同时也广泛分布有松散砂土等工程性状差的软弱土层。而该地区广泛采用的高强预应力混凝土管桩（PHC）桩直径多在400mm~600mm之间，桩身的抗弯刚度和抗弯承载力相对较低。相对其竖向承载力来说，PHC桩的单桩水平承载力低，在某些情况下桩基础的水平承载力会成为桩基设计的决定性因素。
工程概况
某工程位于珠海市海滨，场地原为围海而成的鱼塘，场地地貌为滨海平原，地下水位浅。场地在钻探前经填土整平，并采用真空预压对场地进行地基处理。经过固结排水后，原有淤泥/淤泥质土层的工程性状得到一定的提高，但仍属于高压缩性的软土。本场地土层的主要物理力学性质指标如表1。拟建建筑物为总高17层的大型酒店项目，由于建筑方案原因，主体塔楼下没有地下室，且局部存在较高的单侧覆土，主体结构及基础需承担较大的单侧土体压力。为此作者在设计阶段对该场地的PHC桩单桩水平承载力进行了计算和试桩检测。计算方法包括采用《建筑桩基技术规范》（JGJ 94-2008）（以下简称《桩基规范》）中的公式和基于SAP2000的杆件有限元方法。
表格 1场地岩土层主要物理力学指标
桩水平承载力的计算方法
m值法简介
桩在水平荷载作用下的内力和位移计算模式按照桩相对刚度的不同分为刚性桩和弹性桩。PHC桩的长径比较大，相对刚度小，一般情况下属于弹性桩，其受荷模式犹如竖放在土中的弹性地基梁。在工程上通常采用弹性地基反力法，即假定土为弹性体，用梁的弯曲理论来求桩的位移和内力。一般建筑工程中桩顶允许水平位移为6mm~10mm，此时，桩身任一点的土抗力与桩身侧向位移之间可近似视为线性关系，一般认为水平地基系数则随深度而增加。入土深度-地基系数之间的数量关系常简化为三种情况，可分别采用m法、k法和C值法计算。其中m值法假定桩周土体的水平抗力系数随深度按比例系数m线性增长，该方法的图式比较简单，被多个设计规范中采纳，且相关规范根据试验和工程经验给出了各类土体的m值。应注意该值仅对应单桩在地面处某一给定水平位移量。对于受水平荷载的桩可建立弹性桩受荷后的弹性挠曲微分方程，并采用幂级数解法求解微分方程，规范则对根据相应的边界条件编制计算公式和表格。和普通的Winkler弹性地基梁求解類似，水平受荷桩也可采用有限差分法或有限元法等方法进行数学上或是物理上的近似，从而获得内力和位移的数值解。
《桩基规范》规定的m值法计算公式
对于计算水平受荷桩，《桩基规范》在5.7节和附录C给出了基于m值法的桩身变形和内力计算方法，对于单桩水平承载力，《桩基规范》的5.7节中规定可采用下式计算：
（1）
其中为桩的水平变形系数，该值与桩身抗弯刚度（公式中考虑了混凝土弹性模量的折减）、考虑桩周部分土体受力的桩身计算宽度和桩侧土的m值有关，而则与桩的约束程度有关，则是桩顶的允许水平位移。其中m值取主要影响深度米范围内土层的值，对于多层土则按照换算前后地基系数图形面积在hm深度内相等的原则进行m值的换算，一般建筑工程中取6~10mm。公式（1）中的0.75属于折减系数，而《桩基规范》的附录C给出的求单桩受单位水平力作用下的位移计算公式则没有考虑该折减系数。同样，广东省标准《建筑地基基础设计规范》（DBJ15-31-2003）给出的求单桩水平承载力特征值公式（10.2.23）与本文所列的公式（1）基本一致，只是没有乘上0.75的系数。
m值法的通用有限元程序实现
在采用SAP2000对水平受荷桩建模时，桩身采用平面杆单元模拟，而土体对桩的作用则采用沿杆长度分布的线弹簧模拟。桩的建模及计算与一般的Winkler地基梁模型大致相同，两者最大的区别在于水平受荷桩按m值法计算时土弹簧的刚度k不为常量，而是随着桩周土体的m值的不同和入土深度变化。SAP2000程序中的线弹簧刚度对于每根杆仅能输入一个常量，因此需要在建模时人工对桩身进行细分，并对每段细分的杆指定相应的线弹簧刚度。假定细分的杆长度为di(m)，相应的m值为mi(kN/m4)，由土面算起的第n段杆对应的线弹簧刚度以杆中心的值代表，其值按下式求解：
（2）
至于分段输入线弹簧的细分长度，经试算取为0.5m左右较合适，且可以根据土层的分布情况进行调整，令单元内的土体为单一的m值。同时要注意，《桩基规范》对桩身刚度有折减要求，在建模时也应该据此对杆的刚度乘上相应的刚度系数，令程序最终求得的桩身的EI值与《桩基规范》计算一致。由于SAP2000与EXCEL程序间可以很好的进行数据交互，人工细分杆件后输入各杆件对应的土体线弹簧刚度是相当方便快捷的。
为了验证基于SAP2000有限元程序水平受荷桩的分析计算方法，本文作者采用《实用桩基工程手册》的算例8-1进行了计算对比。该算例的钢管桩外径600mm，壁厚12mm，入土24m，砂质地基m=2000kN/m4，桩顶受水平力H0=150kN，力矩M0=450kNm。为了配合算例中输出位移和内力的深度，在SAP2000建模时桩身分成0.48m长的杆段输入线弹簧值。《实用桩基工程手册》和有限元模型得到的桩身位移和弯矩值列表对比如下：
表格 2 《实用桩基工程手册》算例8-1中桩的位移及内力对比
从上述对比结果可见，有限元方法与采用幂级数解的算例8-1求得的位移和内力吻合得较好，特别是内力偏差很小，因此可以认为采用基于SAP2000的杆系有限元方法代替《桩基规范》的查表法进行水平受荷桩的分析是可行的。
计算结果对比
图1为该项目场地的典型地质柱状图，及拟采用的各土层的m值(MN/m4)，项目采用的PHC桩桩径500mm，AB型桩，壁厚125mm，保护层厚度按40mm计算，柴油锤沉桩，桩端持力层为强风化花岗岩层，估算桩长约43m。计算宽度，，求的，相应的桩换算埋深，查表求得，桩顶位移，则按公式（1）求得的单桩水平承载力特征值，弯矩最大值发生在埋深2.39m处，最大弯矩值为。若不考虑公式（1）中的折减系数，桩顶水平力应为59.9kN
采用SAP2000进行该桩的水平受荷分析得到，桩顶水平力为44.9kN时，桩顶位移7.3mm，其最大弯矩距土面2.5m，对应的弯矩值为61.25kNm。有限元方法得到的内力计算值与用《桩基规范》查表得到的值相差不大，但是桩顶位移则仅为《桩基规范》计算值（）的73%，差距明显。但实际上运用公式（1）求水平承载力特征值时乘上了0.75的折减系数。由于计算中采用的土弹簧刚度和桩身刚度均为线弹性，换算得到的对应于桩顶位移的桩顶水平力应为61.5kN。可见在不考虑折减系数的情况下，两种方法得到的桩顶位移结果或是内力值的偏差均较小。
静载试验结果对比
在该项目的桩基设计正式开展前对上述条件下的桩进行了单桩水平静载实验，该桩在试验荷载加载至60kN时，桩顶水平位移为7.51mm，由于试验条件的限制，并没有得到位移为10mm时对于的检测结果。按照试桩结果，采用广东省标准《建筑地基基础检测规范》（DBJ 15-60-2008）的（15.4.1-1）式对桩周土的m值进行了计算，其中由于桩肯定属于，且桩顶自由的桩，水平位移系数，因此求得。该值比理论计算所取的m值要大。由于试验得到的位移明显小于10mm，该情况下m值必然比规范推荐值大。由于岩土工程的复杂性，理论计算和现场静载试验有较大的差距是可以理解的，但是其数量级吻合，理论计算仍具有相当的参考价值。
结论
相近条件下PHC桩的单桩抗压静载极限值可超过5600kN，相应的特征值可取2800kN，水平和竖直方向的承载力存在着非常大的差异。在本项目中如取60kN作为单桩水平承载力特征值，而抗压承载力特征值取2400kN的话，单桩的水平承载力仅为竖向承载力的2.5%，仅比通常情况下7度区建筑物的底层剪重比稍大。可见在沿海软土地区，特别是缺乏硬壳层的场地上有必要对桩基础的水平承载力进行详细的分析计算。
尽管随着计算方法的发展，众多的研究者应用大型通用有限元程序，建立三维桩-土模型对水平受荷的桩进行分析，桩身和土体甚至可以采用考虑弹塑性的单元进行模拟，可考虑桩-土接触面的滑移和开裂等非线性影响。这些有限元模型分析的有效性和准确性非常依赖于符合实际的本构模型的确定，在目前条件下工程实用性有限。对于通常的工业民用建筑物来说，《桩基规范》推荐的m值法仍是主流的设计方法，除了可以利用规范中的计算公式和表格进行水平受荷桩的位移和内力分析计算外，以m值法为基础的桩-土有限元分析也是一个可行方式。作者采用基于SAP2000有限元程序的m值法杆件有限元分析具有容易掌握，方便易行的特点，对于分层土体的应用更是简便。而SAP2000作为一个通用有限元程序，广泛应用于土木建筑结构的分析，并且该程序具有开放的开发接口，因此除了本文提到的简单桩-土分析实例外，通过一定的扩展，可以采用该程序对复杂条件下的桩-土模型进行分析，如考虑承台、地下室墙体、桩基和土的协同工作等。
参考文献：
[1] 建筑桩基技术规范 JGJ 94-2008[S]. 北京：中国建筑工业出版社2008.
[2] 建筑地基基础设计规范 DBJ15-31-2003[S]. 北京：中国建筑工业出版社2003.
[3] 建筑地基基础检测规范 DBJ 15-60-2008[S]. 北京：中国建筑工业出版社2008.
[4] 史佩棟. 实用桩基工程手册[M]. 北京：中国建筑工业出版社1999.
[5] 赵明华. 桥梁桩基计算与检测[M]. 北京：人民交通出版社2000.
[6] 戴自航，陈林靖. 多层地基中水平荷载桩计算m法的两种数值解[J]. 岩土工程学报, 2007, 29(5):690-696.
[7] 周万清, 蔡健, 林奕禧, 黄良机. 纵横向荷载作用下PHC管桩的有限元分析[J]. 广西大学学报:自然科学版, 2011, 36(1):187-193.
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。