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摘要：多年来，指导信号采样的理论基础一直是著名的Nyquist采样定理，Nyquist采样定理指出，采样速率达到信号带宽的两倍以上时，才能由采样信号精确重建原始信号。然而随着人们对信息需求量的增加，携带信息的信号带宽越来越宽,于是很自然地引出一个问题：能否在保证信息不损失的情况下，用远低于Nyquist采样定理要求的速率采样信号，同时又可以完全恢复信号。说明了压缩感知的基本理论和核心问题，介绍了基于压缩的重构算法：基追踪算法（BP算法）和正交匹配跟踪算法（OMP算法）。阐述了基于gabor字典的稀疏表示方法及其在压缩感知中的应用。
关键词：压缩感知；稀疏表示；gabor；观测矩阵
中图分类号： TN911 文献标识码： A 文章编号：
0 引言
压缩感知理论于 2004 年由 E. Candès、T. Tao 等人发现并创立理论基础，直到2006 年 E. Candès、T. Tao、J. Romberg 以及 D. L. Donoho 发表了关于 CS 理论的一些列奠基性文章[1]。压缩感知被提出后，引起广大信号处理专家以及数学家的重视，迅速为信号处理领域的一个研究热点。
目前，压缩感知的研究尚处于初步阶段，理论还不够完善，实际应用也比较少，国内起步也相对较晚，因此继续这一领域的研究有着及其重要的理论价值和应用意义。本文重点研究压缩感知重构算法，力图从理论分析、算法精度及效率等方面对该问题作全面的研究，并探讨这些重构算法在模拟信息转换中的应用。
1 压缩感知基本理论框架
传统的信号采集、编解码过程：编码端先对信号进行采样，再对所有采样值进行变换，并将其中重要系数的幅度和位置进行编码，最后将编码值进行存储或传输：信号的解码过程仅仅是编码的逆过程，接收的信号经解压缩、反变换后得到恢复信号。采用这种传统的编解码方法，由于信号的采样速率不得低于信号带宽的2倍，使得硬件系统面临着很大的采样速率的压力。此外在压缩编码过程中，大量变换计算得到的小系数被丢弃，造成了数据计算和内存资源的浪费。
压缩感知理论对信号的采样、压缩编码发生在同一个步骤，利用信号的稀疏性，以远低于Nyquist采样率的速率对信号进行非自适应的测量编码。测量值并非信号本身，而是从高维到低维的投影值，从数学角度看，每个测量值是传统理论下的每个样本信号的组合函数，即一个测量值已经包含了所有样本信号的少量信息。解码过程不是编码的简单逆过程，而是在盲源分离中的求逆思想下。利用信号稀疏分解中已有的重构方法在概率意义上实现信号的精确重构或者一定误差下的近似重构。解码所需测量值的数目远小于传统理论下的样本数。
图1 压缩感知理论的编解码框图
2 压缩感知的基本理论和核心问题
假设有一信号，长度为，基向量为，对信号进行变换：
(1)
显然是信号在时域的表示，是信号在域的表示。信号是否具有稀疏性或者近似稀疏性是运用压缩感知理论的关键问题，若(1)式中的只有个是非零值者仅经排序后按指数级衰减并趋近于零，可认为信号是稀疏的[2]。信号的可稀疏表示是压缩感知的先验条件。在已知信号是可压缩的前提下，压缩感知过程可分为两步：
设计一个与变换基不相关的维测量矩阵对信号进行观测，得到维的测量向量。
由维的测量向量重构信号。
3 gabor变换基
分析和处理平稳信号的最常用也是最主要的方法是Fourier变换。Fourier变换建立了信号从时域到频域的变换桥梁，而Fourier反变换则建立了信号从频域到时域的变换桥梁，这两个域之间的变换为一对一映射，时域和频域构成了观察一个信号的两种方式。Fourier变换是在整体上将信号分解为不同的频率分量，而缺乏局域性信息，即它并不能告诉我们某种频率分量发生在哪些时间内，而这对非平稳信号是十分重要的。当信号的频率随时间变化时，如人的语音信号与脑电信号(EEG)、通过时变信道传输的信号及非平稳信号等，频域表示法就存在严重的不足，因为它不能表示某个时刻信号频谱分布的情况。针对频谱随时间变化的非确定性信号与非平稳信号，人们开始研究联合时频分析(简称时频分析)方法，它将一个一维的时间信号以二维的时间频率密度函数形式表示出来，从而揭示信号中包含了多少频率分量，以及每一分量是怎样随时间变化的。
3.1 gabor变换的基本原理
针对非平稳信号的研究工作最早是从二十世纪四十年代开始的。1946年，Gabor提出了著名的Gabor变换(也称加窗Fourier变换或短时Fourier变换)，Gabor变换继承了Fourier变换所具有的“信号频谱”这样的物理解释，同时克服Fourior变换只能反映信号的整体特征而对信号的局部特性没有任何分析能力的缺陷，为信号处理提供了一个新的分析和处理工具，即信号的联合时频分析[3]。
Gabor变换在分析数字图像中局部区域的频率和方向信息方面具有优异的性能，即它能做到时域信号的局部化。Gabor函数可在空间域和频率域中同时进行测量，并且在这两种域中都是局部的变换，具有明显的方向选择特性和频率选择特性。因此，在计算机视觉和图像分析等领域得到广泛的应用。
3.2实值离散信号的gabor变换
Gabor展开是一种同时用时间和频率表示一个时间函数的方法，而求解gabor展开系数的公式被称为gabor变换。gabor变换和gabor展开已被公认为是通信和信号处理中信号与图像表示的最好的方法之一。gabor变换中要解决的最基本问题是：在给定综合窗下如何求解分析窗及gabor变换系数。为了简化gabor变换的计算，可采用快速的离散Hartley变换算法计算gabor变换系数，因此前者的计算完全可以替代后者的计算，从而达到大大减小gabor复变换系数计算量的目的；同样，在信号的重建方面，实数形式的离散gabor逆变换也比复数形式的离散gabor逆变换快得多。
（1）首先选取核函数[4]
可根据实际需要选取适当的核函数。如，如高斯窗函数；
（6）
则其对偶函数为:
（7）
（2）离散Gabor变换的表达式:
（8）
（9）
其中，
（10）
是的对偶函数，二者之间有如下双正交关系。
（11）
对于一般自行设计的一个离散稀疏信号x=[0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,3,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];
经过ifft变换到时域中作为原始信号：
图2原始信号
图3 gabor变换后的信号
通过上述变换后可以明显看出原始信号经过gabor字典后被稀疏化。
参考文献
[1]赵力.语音信号处理[M].第一版.北京.机械工业出版社,2003：31－35，53－65，236－243，249－253.
[2]石光明等,壓缩感知理论及其研究进展[J],电子学报,2009 Vol 37,No 5.
[3]徐伯勋等，信号处理中的数学变换和估计方法[M].第一版.北京:清华大学出版社，2004:167-178.
[4]D. Donoho, “Compressed sensing”[J], IEEE Trans. on Information Theory, 52(4)(2006)1289-1306.
关键词：压缩感知；稀疏表示；gabor；观测矩阵
中图分类号： TN911 文献标识码： A 文章编号：
0 引言
压缩感知理论于 2004 年由 E. Candès、T. Tao 等人发现并创立理论基础，直到2006 年 E. Candès、T. Tao、J. Romberg 以及 D. L. Donoho 发表了关于 CS 理论的一些列奠基性文章[1]。压缩感知被提出后，引起广大信号处理专家以及数学家的重视，迅速为信号处理领域的一个研究热点。
目前，压缩感知的研究尚处于初步阶段，理论还不够完善，实际应用也比较少，国内起步也相对较晚，因此继续这一领域的研究有着及其重要的理论价值和应用意义。本文重点研究压缩感知重构算法，力图从理论分析、算法精度及效率等方面对该问题作全面的研究，并探讨这些重构算法在模拟信息转换中的应用。
1 压缩感知基本理论框架
传统的信号采集、编解码过程：编码端先对信号进行采样，再对所有采样值进行变换，并将其中重要系数的幅度和位置进行编码，最后将编码值进行存储或传输：信号的解码过程仅仅是编码的逆过程，接收的信号经解压缩、反变换后得到恢复信号。采用这种传统的编解码方法，由于信号的采样速率不得低于信号带宽的2倍，使得硬件系统面临着很大的采样速率的压力。此外在压缩编码过程中，大量变换计算得到的小系数被丢弃，造成了数据计算和内存资源的浪费。
压缩感知理论对信号的采样、压缩编码发生在同一个步骤，利用信号的稀疏性，以远低于Nyquist采样率的速率对信号进行非自适应的测量编码。测量值并非信号本身，而是从高维到低维的投影值，从数学角度看，每个测量值是传统理论下的每个样本信号的组合函数，即一个测量值已经包含了所有样本信号的少量信息。解码过程不是编码的简单逆过程，而是在盲源分离中的求逆思想下。利用信号稀疏分解中已有的重构方法在概率意义上实现信号的精确重构或者一定误差下的近似重构。解码所需测量值的数目远小于传统理论下的样本数。
图1 压缩感知理论的编解码框图
2 压缩感知的基本理论和核心问题
假设有一信号，长度为，基向量为，对信号进行变换：
(1)
显然是信号在时域的表示，是信号在域的表示。信号是否具有稀疏性或者近似稀疏性是运用压缩感知理论的关键问题，若(1)式中的只有个是非零值者仅经排序后按指数级衰减并趋近于零，可认为信号是稀疏的[2]。信号的可稀疏表示是压缩感知的先验条件。在已知信号是可压缩的前提下，压缩感知过程可分为两步：
设计一个与变换基不相关的维测量矩阵对信号进行观测，得到维的测量向量。
由维的测量向量重构信号。
3 gabor变换基
分析和处理平稳信号的最常用也是最主要的方法是Fourier变换。Fourier变换建立了信号从时域到频域的变换桥梁，而Fourier反变换则建立了信号从频域到时域的变换桥梁，这两个域之间的变换为一对一映射，时域和频域构成了观察一个信号的两种方式。Fourier变换是在整体上将信号分解为不同的频率分量，而缺乏局域性信息，即它并不能告诉我们某种频率分量发生在哪些时间内，而这对非平稳信号是十分重要的。当信号的频率随时间变化时，如人的语音信号与脑电信号(EEG)、通过时变信道传输的信号及非平稳信号等，频域表示法就存在严重的不足，因为它不能表示某个时刻信号频谱分布的情况。针对频谱随时间变化的非确定性信号与非平稳信号，人们开始研究联合时频分析(简称时频分析)方法，它将一个一维的时间信号以二维的时间频率密度函数形式表示出来，从而揭示信号中包含了多少频率分量，以及每一分量是怎样随时间变化的。
3.1 gabor变换的基本原理
针对非平稳信号的研究工作最早是从二十世纪四十年代开始的。1946年，Gabor提出了著名的Gabor变换(也称加窗Fourier变换或短时Fourier变换)，Gabor变换继承了Fourier变换所具有的“信号频谱”这样的物理解释，同时克服Fourior变换只能反映信号的整体特征而对信号的局部特性没有任何分析能力的缺陷，为信号处理提供了一个新的分析和处理工具，即信号的联合时频分析[3]。
Gabor变换在分析数字图像中局部区域的频率和方向信息方面具有优异的性能，即它能做到时域信号的局部化。Gabor函数可在空间域和频率域中同时进行测量，并且在这两种域中都是局部的变换，具有明显的方向选择特性和频率选择特性。因此，在计算机视觉和图像分析等领域得到广泛的应用。
3.2实值离散信号的gabor变换
Gabor展开是一种同时用时间和频率表示一个时间函数的方法，而求解gabor展开系数的公式被称为gabor变换。gabor变换和gabor展开已被公认为是通信和信号处理中信号与图像表示的最好的方法之一。gabor变换中要解决的最基本问题是：在给定综合窗下如何求解分析窗及gabor变换系数。为了简化gabor变换的计算，可采用快速的离散Hartley变换算法计算gabor变换系数，因此前者的计算完全可以替代后者的计算，从而达到大大减小gabor复变换系数计算量的目的；同样，在信号的重建方面，实数形式的离散gabor逆变换也比复数形式的离散gabor逆变换快得多。
（1）首先选取核函数[4]
可根据实际需要选取适当的核函数。如，如高斯窗函数；
（6）
则其对偶函数为:
（7）
（2）离散Gabor变换的表达式:
（8）
（9）
其中，
（10）
是的对偶函数，二者之间有如下双正交关系。
（11）
对于一般自行设计的一个离散稀疏信号x=[0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,3,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];
经过ifft变换到时域中作为原始信号：
图2原始信号
图3 gabor变换后的信号
通过上述变换后可以明显看出原始信号经过gabor字典后被稀疏化。
参考文献
[1]赵力.语音信号处理[M].第一版.北京.机械工业出版社,2003：31－35，53－65，236－243，249－253.
[2]石光明等,壓缩感知理论及其研究进展[J],电子学报,2009 Vol 37,No 5.
[3]徐伯勋等，信号处理中的数学变换和估计方法[M].第一版.北京:清华大学出版社，2004:167-178.
[4]D. Donoho, “Compressed sensing”[J], IEEE Trans. on Information Theory, 52(4)(2006)1289-1306.