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【摘要】发展学生的几何直观能力能让学生从具体对象背后发现抽象的数学本质，对学生思考数学问题、发展数形结合思想起到关键的作用，是学生必备的一种基本数学素养。学生在亲历操作活动之后，获得的经验将更加真实丰富，有助于增强学生的几何直观意识，积累数学思维活动经验，发展数学思维能力，提升学生的数学素养。
【关键词】几何直观；数学素养；意识；表象；能力
《义务教育数学课程标准（2011版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。” 可见，几何直观能力是空间观念形成的基础。在小学阶段，学生的思维特点以具体形象思维为主，逐步向抽象逻辑思维能力发展，发展学生的几何直观能力恰好能让学生从具体对象背后发现抽象的数学本质，对学生思考数学问题、发展数形结合思想起到关键的作用，是学生必备的一种基本数学素养。那么如何发展几何直观，提升学生的数学素养呢？
一、亲历操作探索的过程，增强几何直观意识
史宁中教授说：“从某种意义上说，几何直观就是数学活动经验（实践经验和思维经验）不断积累所形成的数学素养。”而数学活动经验的获得需要亲手触摸，直觀感知，切身体验。因此，培养学生的几何直观能力必须加强学生的实践操作活动，提高学生的动手能力。在小学图形与几何领域的教学中，往往需要学生借助实物、模型等进行动手操作活动，亲身经历摸一摸、看一看、拼一拼、比一比、做一做等活动来获得感知，调动多种感官的参与，在头脑中逐步建立事物的表象，在直观的操作活动中慢慢凸显几何图形的特征，发现数学的本质。
例如，在教学“毫米的认识”中，先让学生用直尺测量书本的长和宽，发现宽是18厘米多一些，引发学生要想知道具体是多少应该用到新的度量单位——毫米。为了帮助学生建构1毫米的模型，让学生量一量、比一比1分硬币的厚度，初步感知1毫米。在对物体进行分类活动中，让学生找出哪些物品的厚度是1毫米，哪些物品的厚度大于1毫米，哪些物品的厚度小于1毫米，分类后要求学生用合适的方法进行验证，学生就能通过刚才活动获得的经验用1分硬币作为参照物或用直尺测量来验证，进一步建立和巩固1毫米的概念。又如教学“角的初步认识”中，创设扇子打开、剪刀打开、时钟转动的动态情境，引导学生从这些实物中抽象出数学的角，发现角的产生过程。在对角有了初步感知后，让学生从三角板上找静态的角，帮助学生建构角的特征和概念，最后通对魔术棒的操作，感受到角的大小。
学生在亲历操作活动之后，获得的经验将更加真实丰富，有助于增强学生的几何直观意识，积累数学思维活动经验，发展数学思维能力，提升学生的数学素养。
二、亲历知识获得的过程，积累几何直观表象
表象是几何直观思维的基础元素。在实际教学中，学生对几何图形知识的获得是需要一定过程的。这就要求教师充分了解学生“最近发展区”，利用学生已有的知识和经验结合具体的内容设计相对应的数学活动，可以是静态的观察思考过程，也可以是动态的动手操作过程，让学生经历几何知识产生的过程，帮助学生丰富几何表象。学生在大量的观察、思考、比较、分类等活动过程中积累的几何直观表象越丰富，越容易把抽象的数学问题转化成直观的表象。这样有利于发现数学本质，真正掌握数学知识，提升几何直观素养。
例如在教学“长方形的面积”时先出示图①，引导学生可以用1平方厘米的小正方形进行测量，学生发现用全部摆满（如图②）和不摆满（如图③）可以算出长方形的面积。学生经历直观操作已经把抽象的数学问题具体化。然后再引导学生发现利用图②与图③之间的联系也可以用每行的面积个数乘每列的面积个数得到长方形的面积，又为后面公式与摆面积单位沟通了内在联系。在计算图④和图⑤两个长方形的面积时，学生就能运用不摆满的方法进行测量，再次丰富了思维经验。
学生在动手操作中掌握用1平方厘米的面积单位来测量，经历用面积单位测量长方形的面积，建立和深化面积意识。这时出示表格（如表1），通过表格的数据，学生联系数面积单位个数的经验很快就发现长方形的面积=长×宽，然后借助1平方厘米小正方形测量三个长方形面积的过程引导学生发现每一个长方形的长和宽的长度与摆的面积单位之间的联系。以图⑤为例，教学中引导学生发现每个1平方厘米的小正方形的边长是1厘米，这个长方形的长摆了4个1平方厘米的小正方形，长就是4厘米，宽摆了3个1平方厘米的小正方形，宽就是3厘米，（出示图⑥）。通过前面长方形方面积等于每行摆的面积单位的个数乘每列摆的面积单位的个数可以得出长方形的面积等于长乘宽。
通过一系列的数学活动过程，学生发现长方形长和宽的长度与面积单位个数的关系，再找到面积与长、宽之间的关系，亲历知识的形成过程，突破由面积单位到长度单位的转化这一理解难点，推进思维发展，深化理解面积计算方法，积累长方形面积的表象，发展几何直观，提升数学素养。
三、亲历迁移运用的过程，发展几何直观能力
迁移与联想、想象有一定的联系。联想与想象是拓展学生几何直观思维空间的主渠道，让学生经历知识迁移运用的过程是发展学生几何直观能力的重要手段。数学的学习不仅是让学生获得知识，更重要的是让学生以已有的知识和经验为起点，经历操作、思考，得出新的数学知识，建构新的数学模型。教学中，教师应该善于引导学生发现新旧知识之间的联系，通过联想与想象自主获得新的数学知识，从而在活动中获得基本的活动经验，不断发现问题，解决问题，提高几何直观能力。
例如教学“长方形的面积”探索正方形面积时（出示图⑦），要求学生利用探索长方形面积公式的方法自主探索正方形的面积公式。因为知识的迁移运用，学生很容易把探索长方形面积的方法运用在正方形面积公式的推导上。具体会出现以下三种探究的过程：一是用摆一摆的方法，每行可以摆3个1平方厘米的小正方形，每列也可以摆3个1平方厘米的小正方形；二是根据正方形的边长是3厘米，可以摆3个边长1厘米的小正方形，每个摆3个，可以摆3行，一共是9个边长1厘米的小正方形；三是利用正方形是特殊的长方形，把这个正方形看成长方形，长和宽都是3厘米，根据刚才长方形的面积等于长乘宽，推导出正方形的面积就等于边长乘边长。
又如，教学“有趣的测量”时，先呈现长方体、正方体、石块、橡皮泥、土豆等物品，学生利用已有知识就能判断长方体和正方体可以用公式来解决，石块、橡皮泥、土豆是不规则物体，不能用公式解决。接着让学生动手捏一捏，体会到橡皮泥可以通过捏成长方体或正方体的转化过程算出体积，石头不能捏，需要通过其他方法来进行测量，产生认知冲突，意识到必须思考新的解决问题策略。为了解决新的问题，教师继续组织学生根据自己的思考与经验来总结出实验所需要的材料、步骤、注意事项等，然后再进行分组实验。学生在分组实验中探寻不同解决问题的方法，在活动中感悟到虽然实验的过程不一样，但所运用的方法都是经历将不规则物体体积转化成规则物体体积进行测量计算的方法。
总之，学生数学素养的形成是一个长期的、不断体验的、慢慢积淀的过程。在数学活动中，教师应更多关注如何挖掘数学知识本身的内涵，建立具体形象的事物与数学知识本质之间的联系，学会用几何直观解决数学问题。当学生的体验丰富了，经验的积累也就相应地增加了，就能生动形象地描述几何图形的问题，积累表象，展开丰富的联想与想象，经历“做数学”和“思考数学”的过程，从“经历”走向“经验”，将数学素养的形成真正落实到课堂教学并有效地融入学习过程中，持之以恒，学生的数学素养就能真正得到培养和提升。
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]李凡国.第一学段学生几何直观能力的培养[J].教学与管理，2017（08）：46-47.
[3]杨豫晖.义务教育课程标准（2011年版）案例式解读：小学数学[M].北京：教育科学出版社，2012：47-48.
【关键词】几何直观；数学素养；意识；表象；能力
《义务教育数学课程标准（2011版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。” 可见，几何直观能力是空间观念形成的基础。在小学阶段，学生的思维特点以具体形象思维为主，逐步向抽象逻辑思维能力发展，发展学生的几何直观能力恰好能让学生从具体对象背后发现抽象的数学本质，对学生思考数学问题、发展数形结合思想起到关键的作用，是学生必备的一种基本数学素养。那么如何发展几何直观，提升学生的数学素养呢？
一、亲历操作探索的过程，增强几何直观意识
史宁中教授说：“从某种意义上说，几何直观就是数学活动经验（实践经验和思维经验）不断积累所形成的数学素养。”而数学活动经验的获得需要亲手触摸，直觀感知，切身体验。因此，培养学生的几何直观能力必须加强学生的实践操作活动，提高学生的动手能力。在小学图形与几何领域的教学中，往往需要学生借助实物、模型等进行动手操作活动，亲身经历摸一摸、看一看、拼一拼、比一比、做一做等活动来获得感知，调动多种感官的参与，在头脑中逐步建立事物的表象，在直观的操作活动中慢慢凸显几何图形的特征，发现数学的本质。
例如，在教学“毫米的认识”中，先让学生用直尺测量书本的长和宽，发现宽是18厘米多一些，引发学生要想知道具体是多少应该用到新的度量单位——毫米。为了帮助学生建构1毫米的模型，让学生量一量、比一比1分硬币的厚度，初步感知1毫米。在对物体进行分类活动中，让学生找出哪些物品的厚度是1毫米，哪些物品的厚度大于1毫米，哪些物品的厚度小于1毫米，分类后要求学生用合适的方法进行验证，学生就能通过刚才活动获得的经验用1分硬币作为参照物或用直尺测量来验证，进一步建立和巩固1毫米的概念。又如教学“角的初步认识”中，创设扇子打开、剪刀打开、时钟转动的动态情境，引导学生从这些实物中抽象出数学的角，发现角的产生过程。在对角有了初步感知后，让学生从三角板上找静态的角，帮助学生建构角的特征和概念，最后通对魔术棒的操作，感受到角的大小。
学生在亲历操作活动之后，获得的经验将更加真实丰富，有助于增强学生的几何直观意识，积累数学思维活动经验，发展数学思维能力，提升学生的数学素养。
二、亲历知识获得的过程，积累几何直观表象
表象是几何直观思维的基础元素。在实际教学中，学生对几何图形知识的获得是需要一定过程的。这就要求教师充分了解学生“最近发展区”，利用学生已有的知识和经验结合具体的内容设计相对应的数学活动，可以是静态的观察思考过程，也可以是动态的动手操作过程，让学生经历几何知识产生的过程，帮助学生丰富几何表象。学生在大量的观察、思考、比较、分类等活动过程中积累的几何直观表象越丰富，越容易把抽象的数学问题转化成直观的表象。这样有利于发现数学本质，真正掌握数学知识，提升几何直观素养。
例如在教学“长方形的面积”时先出示图①，引导学生可以用1平方厘米的小正方形进行测量，学生发现用全部摆满（如图②）和不摆满（如图③）可以算出长方形的面积。学生经历直观操作已经把抽象的数学问题具体化。然后再引导学生发现利用图②与图③之间的联系也可以用每行的面积个数乘每列的面积个数得到长方形的面积，又为后面公式与摆面积单位沟通了内在联系。在计算图④和图⑤两个长方形的面积时，学生就能运用不摆满的方法进行测量，再次丰富了思维经验。
学生在动手操作中掌握用1平方厘米的面积单位来测量，经历用面积单位测量长方形的面积，建立和深化面积意识。这时出示表格（如表1），通过表格的数据，学生联系数面积单位个数的经验很快就发现长方形的面积=长×宽，然后借助1平方厘米小正方形测量三个长方形面积的过程引导学生发现每一个长方形的长和宽的长度与摆的面积单位之间的联系。以图⑤为例，教学中引导学生发现每个1平方厘米的小正方形的边长是1厘米，这个长方形的长摆了4个1平方厘米的小正方形，长就是4厘米，宽摆了3个1平方厘米的小正方形，宽就是3厘米，（出示图⑥）。通过前面长方形方面积等于每行摆的面积单位的个数乘每列摆的面积单位的个数可以得出长方形的面积等于长乘宽。
通过一系列的数学活动过程，学生发现长方形长和宽的长度与面积单位个数的关系，再找到面积与长、宽之间的关系，亲历知识的形成过程，突破由面积单位到长度单位的转化这一理解难点，推进思维发展，深化理解面积计算方法，积累长方形面积的表象，发展几何直观，提升数学素养。
三、亲历迁移运用的过程，发展几何直观能力
迁移与联想、想象有一定的联系。联想与想象是拓展学生几何直观思维空间的主渠道，让学生经历知识迁移运用的过程是发展学生几何直观能力的重要手段。数学的学习不仅是让学生获得知识，更重要的是让学生以已有的知识和经验为起点，经历操作、思考，得出新的数学知识，建构新的数学模型。教学中，教师应该善于引导学生发现新旧知识之间的联系，通过联想与想象自主获得新的数学知识，从而在活动中获得基本的活动经验，不断发现问题，解决问题，提高几何直观能力。
例如教学“长方形的面积”探索正方形面积时（出示图⑦），要求学生利用探索长方形面积公式的方法自主探索正方形的面积公式。因为知识的迁移运用，学生很容易把探索长方形面积的方法运用在正方形面积公式的推导上。具体会出现以下三种探究的过程：一是用摆一摆的方法，每行可以摆3个1平方厘米的小正方形，每列也可以摆3个1平方厘米的小正方形；二是根据正方形的边长是3厘米，可以摆3个边长1厘米的小正方形，每个摆3个，可以摆3行，一共是9个边长1厘米的小正方形；三是利用正方形是特殊的长方形，把这个正方形看成长方形，长和宽都是3厘米，根据刚才长方形的面积等于长乘宽，推导出正方形的面积就等于边长乘边长。
又如，教学“有趣的测量”时，先呈现长方体、正方体、石块、橡皮泥、土豆等物品，学生利用已有知识就能判断长方体和正方体可以用公式来解决，石块、橡皮泥、土豆是不规则物体，不能用公式解决。接着让学生动手捏一捏，体会到橡皮泥可以通过捏成长方体或正方体的转化过程算出体积，石头不能捏，需要通过其他方法来进行测量，产生认知冲突，意识到必须思考新的解决问题策略。为了解决新的问题，教师继续组织学生根据自己的思考与经验来总结出实验所需要的材料、步骤、注意事项等，然后再进行分组实验。学生在分组实验中探寻不同解决问题的方法，在活动中感悟到虽然实验的过程不一样，但所运用的方法都是经历将不规则物体体积转化成规则物体体积进行测量计算的方法。
总之，学生数学素养的形成是一个长期的、不断体验的、慢慢积淀的过程。在数学活动中，教师应更多关注如何挖掘数学知识本身的内涵，建立具体形象的事物与数学知识本质之间的联系，学会用几何直观解决数学问题。当学生的体验丰富了，经验的积累也就相应地增加了，就能生动形象地描述几何图形的问题，积累表象，展开丰富的联想与想象，经历“做数学”和“思考数学”的过程，从“经历”走向“经验”，将数学素养的形成真正落实到课堂教学并有效地融入学习过程中，持之以恒，学生的数学素养就能真正得到培养和提升。
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]李凡国.第一学段学生几何直观能力的培养[J].教学与管理，2017（08）：46-47.
[3]杨豫晖.义务教育课程标准（2011年版）案例式解读：小学数学[M].北京：教育科学出版社，2012：47-48.