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【摘要】从几个角度例举了如何用构造法巧妙地解数学题，认识构造法在解数学题中的重要作用,对数学思维活动中的构造问题进行了探讨.
【关键词】构造法；函数；方程（组）；复数；对偶式；三角关系式
什么是构造法呢?其实质就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征.用已知条件中的元素为“原件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造一种相关的数学对象，或者一种新的数学形式.从而使问题转化并得到解决的方法.这种方法要求综合运用各种知识，把各科知识有机结合，根据问题的条件，结论，性质及特征.横向联系，纵向渗透，构造出辅助图形或辅助关系式，使问题思路清晰，解法巧妙.
1.构造函数
通过观察数学结构式的特征，引入相关的函数模型，再运用该函数熟知的性质，往往使解答有理有据，顺畅自然.
例1 若函数f(x)的定义域是实数，并关于原点对称，则它可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和.
分析 对这个抽象函数的证明，如果不去把抽象的奇函数与偶函数构造出来，几乎是欲证无门的.而利用奇函数的特征，我们不难构造出两个辅助函数.
F(x)=12［f(x)+f(x)］，G(x)=12［f(x)-f(x)］.
很容易看出F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，而f(x)=F(x)+G(x)的存在，就使证明得以完美的解决.
2.构造方程
根据条件式与所求式的特征，联想有关的方程（组）利用方程的理论求解，可使问题变得十分熟悉.
例2 已知实数x满足等式x2-yz-8x+7=0和y2+z2+yz-6x+6=0，求实数x的取值范围.
分析 本题有三个未知数，一般需三个方程才能求解，但条件中只提供了两个方程，直接求解较为困难，但观察两个方程发现，若把两个方程中的未知数x看成已知数，则两个方程都可看成是关于y，z的对称式，故结合一元二次方程的根与系数的关系，把y，z看成某个一元二次方程的两个实根构造一个新的一元二次方程，从而用根的判别式求出实数x的取值范围.
两式变形为yz=x2-8x+7，
(y+z)2=x2-2x+1，即y+z=±(x+1).
把y，z看作关于t的一元二次方程t2±(x-1)t+(x2-8x+7)=0的两根.因为y，z是实数，故此一元二次方程有两个实数解，所以Δ≥0.即(x-1)2-4(x2-8x+7)≥0,解不等式得11≤x≤9.
3.构造复数
复数具有代数式，三角式，几何形式等多种表示方法，而这些表示所含的实际意义，以新的视角，新的途径，沟通了代数三角和几何等内容之间的联系，若能在解题时，根据题设条件的特点，巧妙地构造复数，便能迅速地找到解题方法.
例3 已知a,b∈（0，1），求证：a2+b2+(1-a)2+b2+a2+(1-b)2+(1-a)2+(1-b)2≥22.
分析 看到这么多分式相加，似乎有种难以下手的感觉.若注意到根号里式子的特点，都是两个数的平方和，立即联想到复数的模，于是构造复数，再用三角不等式便迅速得证.
令z1=a+bi，z2=(1-a)+bi，z3=a+(1-b)i，z4=(1-a)+(1-b)i，则|z1|=a2+b2，|z2|=(1-a)2+b2，|z3|=a2+(1-b)2，|z4|=(1-a)2+(1-b)2.
而|z1|+|z2|+|z3|+|z4|≥|z1+z2+z3+z4|=|2+2i|=22，所以a2+b2+(1-a)2+b2+a2+(1-b)2+(1-a)2+(1-b)2≥22.
4.构造对偶式
若条件式或所求式具有对偶的特征，可构造对偶式，使问题变得简单明了.
例4 对于正数x，规定f(x)=x1+x，计算f12006+f12005+f12004+…+f13+f12+f(1)+f(1)+f(2)+…+f(2004)+f(2005)+f(2006).
分析 显然不能将12006，12005，…，2006代入求解，但是若注意到其中的对偶性，进而构造对偶式f(x)+f1x.
则f(x)+f1x=x1+x+1x1+1x=x1+x+1x+1=1+x1+x=1.
从而原式的结果为2006.
5.构造三角关系式
善于从隐蔽的数量关系中挖掘出量与量之间的特征关系，如与某些三角函数关系式相似，则可构造相关的三角函数关系式，使问题顺利得解.
例5 如图，Rt△ACB中，∠C=90°，CD⊥AB于D.
求证：AC+BC 分析 若把结论变形可构造三角函数关系式，要证AC+BC 等价于证明ACAB+BCAB0,即cosA+sinA 总之，构造的形式多种多样，还有构造图形，构造不等式等等，这里我们不再一一列举了.通过对以上例题的分析，不难看出，构造法是具有创造性的思维活动，对增强解题能力，培养思维品质有着不可低估的作用.它不仅需要坚实而广博的数学基础知识，更需要具备敏锐的洞察力.善于由此及彼，由表及里.思考的越深，构造就越成功，方法也就越简单，数学的魅力在于追求简单，而解题中的巧妙构造，往往有化繁琐为简洁之功效，是对数学美的最好不过的一次注释.
【参考文献】
［1］尹建堂,刘博闻.例说三角代换法解代数题［J］.数理化学习（高中版）,2003(24)：4.
［2］刘银福.用构造法解题［J］.初中数学教与学,2003(2)：15.
［3］顾广林.例谈用构造法解题［J］.数理化学习（初中版）,2006(11)：20.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】构造法；函数；方程（组）；复数；对偶式；三角关系式
什么是构造法呢?其实质就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征.用已知条件中的元素为“原件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造一种相关的数学对象，或者一种新的数学形式.从而使问题转化并得到解决的方法.这种方法要求综合运用各种知识，把各科知识有机结合，根据问题的条件，结论，性质及特征.横向联系，纵向渗透，构造出辅助图形或辅助关系式，使问题思路清晰，解法巧妙.
1.构造函数
通过观察数学结构式的特征，引入相关的函数模型，再运用该函数熟知的性质，往往使解答有理有据，顺畅自然.
例1 若函数f(x)的定义域是实数，并关于原点对称，则它可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和.
分析 对这个抽象函数的证明，如果不去把抽象的奇函数与偶函数构造出来，几乎是欲证无门的.而利用奇函数的特征，我们不难构造出两个辅助函数.
F(x)=12［f(x)+f(x)］，G(x)=12［f(x)-f(x)］.
很容易看出F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，而f(x)=F(x)+G(x)的存在，就使证明得以完美的解决.
2.构造方程
根据条件式与所求式的特征，联想有关的方程（组）利用方程的理论求解，可使问题变得十分熟悉.
例2 已知实数x满足等式x2-yz-8x+7=0和y2+z2+yz-6x+6=0，求实数x的取值范围.
分析 本题有三个未知数，一般需三个方程才能求解，但条件中只提供了两个方程，直接求解较为困难，但观察两个方程发现，若把两个方程中的未知数x看成已知数，则两个方程都可看成是关于y，z的对称式，故结合一元二次方程的根与系数的关系，把y，z看成某个一元二次方程的两个实根构造一个新的一元二次方程，从而用根的判别式求出实数x的取值范围.
两式变形为yz=x2-8x+7，
(y+z)2=x2-2x+1，即y+z=±(x+1).
把y，z看作关于t的一元二次方程t2±(x-1)t+(x2-8x+7)=0的两根.因为y，z是实数，故此一元二次方程有两个实数解，所以Δ≥0.即(x-1)2-4(x2-8x+7)≥0,解不等式得11≤x≤9.
3.构造复数
复数具有代数式，三角式，几何形式等多种表示方法，而这些表示所含的实际意义，以新的视角，新的途径，沟通了代数三角和几何等内容之间的联系，若能在解题时，根据题设条件的特点，巧妙地构造复数，便能迅速地找到解题方法.
例3 已知a,b∈（0，1），求证：a2+b2+(1-a)2+b2+a2+(1-b)2+(1-a)2+(1-b)2≥22.
分析 看到这么多分式相加，似乎有种难以下手的感觉.若注意到根号里式子的特点，都是两个数的平方和，立即联想到复数的模，于是构造复数，再用三角不等式便迅速得证.
令z1=a+bi，z2=(1-a)+bi，z3=a+(1-b)i，z4=(1-a)+(1-b)i，则|z1|=a2+b2，|z2|=(1-a)2+b2，|z3|=a2+(1-b)2，|z4|=(1-a)2+(1-b)2.
而|z1|+|z2|+|z3|+|z4|≥|z1+z2+z3+z4|=|2+2i|=22，所以a2+b2+(1-a)2+b2+a2+(1-b)2+(1-a)2+(1-b)2≥22.
4.构造对偶式
若条件式或所求式具有对偶的特征，可构造对偶式，使问题变得简单明了.
例4 对于正数x，规定f(x)=x1+x，计算f12006+f12005+f12004+…+f13+f12+f(1)+f(1)+f(2)+…+f(2004)+f(2005)+f(2006).
分析 显然不能将12006，12005，…，2006代入求解，但是若注意到其中的对偶性，进而构造对偶式f(x)+f1x.
则f(x)+f1x=x1+x+1x1+1x=x1+x+1x+1=1+x1+x=1.
从而原式的结果为2006.
5.构造三角关系式
善于从隐蔽的数量关系中挖掘出量与量之间的特征关系，如与某些三角函数关系式相似，则可构造相关的三角函数关系式，使问题顺利得解.
例5 如图，Rt△ACB中，∠C=90°，CD⊥AB于D.
求证：AC+BC
【参考文献】
［1］尹建堂,刘博闻.例说三角代换法解代数题［J］.数理化学习（高中版）,2003(24)：4.
［2］刘银福.用构造法解题［J］.初中数学教与学,2003(2)：15.
［3］顾广林.例谈用构造法解题［J］.数理化学习（初中版）,2006(11)：20.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文