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摘要：利率期限结构反映了利率与到期期限之间的关系。国外的研究者对影响利率期限结构的因素十分关注，并提出了许多利率期限结构的理论。本文运用SAS9.1软件，基于极大似然估计方法，使用Vasicek模型对我国上海银行间同业拆借利率的动态特性进行刻画，对其期限结构进行实证研究。结果表明，Vasicek模型对上海同业间拆借利率有较好的刻画和描述能力。
关键词：利率期限结构；Vasicek模型；极大似然估计；上海银行间同业拆借利率
利率期限结构可分为静态与动态利率期限结构。Vasicek模型是一个重要的动态均衡模型，得到了广泛的应用。当前我国学者对利率期限结构的研究主要集中在收益曲线方面，本文通过对Vasicek模型的分析，结合我国银行间同业拆借市场数据来模拟我国短期利率动态变化过程，对我国利率期限结构做实证分析
一、Vasicek模型介绍
Vasicek模型是由Vasicek于1977年提出的.Vasicek模型是一个具有均值回复特性的单因子模型。它表示在风险中性的世界中，即投资者对风险不需要补偿，所有风险的预期收益率都是无风险利率的情况下，瞬时利率的动态变化服从以下的随机微分方程：
JZdrt=kθ-rtdt+σdWt
Vasicek模型是第一个具有均值回复性质的利率期限结构模型，均值回复表现在当利率水平超过或者低于平均水平时就会向该水平回复，k是回复速率，σ表示瞬时利率的波动率。通过求解偏微分方程或鞅方法，推导出零息票债券价格的表达式：
JZPτ=Aτe-WτrτWτ=SX1-e-aταSX）
JZAτ=e-（μ-λσα-σ22α2）（τ-Wτ-σ2W2（τ）4α）
其中，τ表示債券的剩余期限。
由于瞬时利率不能直接得到，因此，必须使用短期利率去逼近它.利率过程的估计根据离散的样本数据，通过时间间隔为的欧拉折线去逼近原来的连续时间的利率模型，得到Vasicek模型的离散形式为：
JZΔrt=α（θ-rt-1）Δt+WtWt～N（0，σ2rt-1Δt）
其中，Δt为时间间隔，这里取为一天；Wt为服从正态分布的残差，α，θ和σ和是待估参数。
二、参数估计方法
目前，对Vasicek均衡模型的参数估计方法主要有三类：纯时间序列数据方法（Pure Time-Series Data Method）；纯截面数据方法（Pure Cross Sectional Data Method）；混合时间序列/截面数据方法（Joint Time-Series/Cross Sectional Data Method）。
由于假设了这些残差都是服从正态分布的，因此可以采用极大似然法来估计这些参数。假设有T天的短期利率样本数据（即每天的），以及第T天的M个贴现债券价格数据，估计第T+1天的参数值时，构造Vasicek模型的对数似然函数如下：
L=-SXT2SX）ln（2π）-SXT2SX）ln（σ2）-SX12SX）∑DDTi=1DD）ln（Δti）-SX12SX）σ-2∑DDTi=1DD）SX（Δti-α（u-ri-1）Δti）2ΔtiSX）-SXM2SX）ln（2π）-SXM2SX）lnσ2z-SX12SX）σ-2z∑DDMk=1DD）[lnPt，zk-ln（A（τk）e（-B（τk）rτ））]2
其中，是市场上观察到的贴现债券价格。
假设只以时间序列数据进行估计（即第一类方法），这时，Vasicek模型的似然函数变为：
L=-SXT2SX）ln（2π）-SXT2SX）ln（σ2）-SX12SX）∑Ti=1ln（ri-1）-SX12SX）∑Ti=1ln（Δti）-SX12SX）σ-2∑Ti=1SX（Δri-α（u-ri-1）Δti）2ΔtiSX）
三、实证检验
本文以2007年1月1日至2015年1月13日的上海银行间隔夜拆借利率为基准利率，运用SAS软件对2015年1月13日银行间债券市场上的3只贴现债券：14进出74、14贴现国债06、15浦发CD002进行分析，探索我国的利率期限结构。
利用极大似然估计法，通过Newton-Raphson非线性最优化方法估计出Vasicek模型的参数如下表：
表一参数估计结果（2015年1月13日的参数）
HT6.5BG（！SDFXDF
BHDFG2*2，FK4，K8，K5。3，K6，KF模型估计方法αθσλστ
BHDVasicek纯时间序列1500000000242960074922
BH时间序列/截面1500000000242960074922-119682840005256
BG）F
在估计出两个短期利率模型参数的基础上，结合前文给出的零息票债券理论价格公式，可以推导出利率期限结构。
张艳丽.TIF；%110%110TS（JZHT7.H图1Vasicek模型的利率期限结构（蓝色：远期利率；黑色：即期利率）TS）KH*2
四、模拟短期利率衍生过程
在得出Vasicek模型的参数之后，可以将参数代入到原模型中来模拟短期利率的变动过程。Vasicek模型的离散形式为：
Δrt=α（θ-rt-1）Δt+WtWt～N（0，σ2rt-1Δt）
其中，Δt为时间间隔，这里取为一天；Wt为服从正态分布的残差，α，θ和σ是待估参数。
Vasicek模型模拟利率过程与实际利率过程的比较如图2所示：
张艳丽2.TIF；%110%110TS（JZHT7.H图2TS）KH*2
五、结论
基于极大似然估计方法，使用Vasicek模型对上海银行间同业拆借利率的动态特性进行刻画，对其期限结构进行了实证研究，结果发现：Vasicek模型对上海同业间拆借利率的动态特性具有很好的刻画和描述能力，还发现混合使用时间序列和截面数据估计方法比使用纯时间序列估计方法的效果更好。以上研究为今后进一步分析上海银行间同业拆借利率动态特性提供了基础和依据。
关键词：利率期限结构；Vasicek模型；极大似然估计；上海银行间同业拆借利率
利率期限结构可分为静态与动态利率期限结构。Vasicek模型是一个重要的动态均衡模型，得到了广泛的应用。当前我国学者对利率期限结构的研究主要集中在收益曲线方面，本文通过对Vasicek模型的分析，结合我国银行间同业拆借市场数据来模拟我国短期利率动态变化过程，对我国利率期限结构做实证分析
一、Vasicek模型介绍
Vasicek模型是由Vasicek于1977年提出的.Vasicek模型是一个具有均值回复特性的单因子模型。它表示在风险中性的世界中，即投资者对风险不需要补偿，所有风险的预期收益率都是无风险利率的情况下，瞬时利率的动态变化服从以下的随机微分方程：
JZdrt=kθ-rtdt+σdWt
Vasicek模型是第一个具有均值回复性质的利率期限结构模型，均值回复表现在当利率水平超过或者低于平均水平时就会向该水平回复，k是回复速率，σ表示瞬时利率的波动率。通过求解偏微分方程或鞅方法，推导出零息票债券价格的表达式：
JZPτ=Aτe-WτrτWτ=SX1-e-aταSX）
JZAτ=e-（μ-λσα-σ22α2）（τ-Wτ-σ2W2（τ）4α）
其中，τ表示債券的剩余期限。
由于瞬时利率不能直接得到，因此，必须使用短期利率去逼近它.利率过程的估计根据离散的样本数据，通过时间间隔为的欧拉折线去逼近原来的连续时间的利率模型，得到Vasicek模型的离散形式为：
JZΔrt=α（θ-rt-1）Δt+WtWt～N（0，σ2rt-1Δt）
其中，Δt为时间间隔，这里取为一天；Wt为服从正态分布的残差，α，θ和σ和是待估参数。
二、参数估计方法
目前，对Vasicek均衡模型的参数估计方法主要有三类：纯时间序列数据方法（Pure Time-Series Data Method）；纯截面数据方法（Pure Cross Sectional Data Method）；混合时间序列/截面数据方法（Joint Time-Series/Cross Sectional Data Method）。
由于假设了这些残差都是服从正态分布的，因此可以采用极大似然法来估计这些参数。假设有T天的短期利率样本数据（即每天的），以及第T天的M个贴现债券价格数据，估计第T+1天的参数值时，构造Vasicek模型的对数似然函数如下：
L=-SXT2SX）ln（2π）-SXT2SX）ln（σ2）-SX12SX）∑DDTi=1DD）ln（Δti）-SX12SX）σ-2∑DDTi=1DD）SX（Δti-α（u-ri-1）Δti）2ΔtiSX）-SXM2SX）ln（2π）-SXM2SX）lnσ2z-SX12SX）σ-2z∑DDMk=1DD）[lnPt，zk-ln（A（τk）e（-B（τk）rτ））]2
其中，是市场上观察到的贴现债券价格。
假设只以时间序列数据进行估计（即第一类方法），这时，Vasicek模型的似然函数变为：
L=-SXT2SX）ln（2π）-SXT2SX）ln（σ2）-SX12SX）∑Ti=1ln（ri-1）-SX12SX）∑Ti=1ln（Δti）-SX12SX）σ-2∑Ti=1SX（Δri-α（u-ri-1）Δti）2ΔtiSX）
三、实证检验
本文以2007年1月1日至2015年1月13日的上海银行间隔夜拆借利率为基准利率，运用SAS软件对2015年1月13日银行间债券市场上的3只贴现债券：14进出74、14贴现国债06、15浦发CD002进行分析，探索我国的利率期限结构。
利用极大似然估计法，通过Newton-Raphson非线性最优化方法估计出Vasicek模型的参数如下表：
表一参数估计结果（2015年1月13日的参数）
HT6.5BG（！SDFXDF
BHDFG2*2，FK4，K8，K5。3，K6，KF模型估计方法αθσλστ
BHDVasicek纯时间序列1500000000242960074922
BH时间序列/截面1500000000242960074922-119682840005256
BG）F
在估计出两个短期利率模型参数的基础上，结合前文给出的零息票债券理论价格公式，可以推导出利率期限结构。
张艳丽.TIF；%110%110TS（JZHT7.H图1Vasicek模型的利率期限结构（蓝色：远期利率；黑色：即期利率）TS）KH*2
四、模拟短期利率衍生过程
在得出Vasicek模型的参数之后，可以将参数代入到原模型中来模拟短期利率的变动过程。Vasicek模型的离散形式为：
Δrt=α（θ-rt-1）Δt+WtWt～N（0，σ2rt-1Δt）
其中，Δt为时间间隔，这里取为一天；Wt为服从正态分布的残差，α，θ和σ是待估参数。
Vasicek模型模拟利率过程与实际利率过程的比较如图2所示：
张艳丽2.TIF；%110%110TS（JZHT7.H图2TS）KH*2
五、结论
基于极大似然估计方法，使用Vasicek模型对上海银行间同业拆借利率的动态特性进行刻画，对其期限结构进行了实证研究，结果发现：Vasicek模型对上海同业间拆借利率的动态特性具有很好的刻画和描述能力，还发现混合使用时间序列和截面数据估计方法比使用纯时间序列估计方法的效果更好。以上研究为今后进一步分析上海银行间同业拆借利率动态特性提供了基础和依据。