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摘要：对飞机结构典型元件或部件开展等比例静力试验，是飞机结构强度研发的必要手段，对探索结构传载规律及验证结构承载能力具有不可替代的作用。飞机大型化促使结构静力试验代价急剧增加，如果能在静力试验领域引入缩比试验，对节约飞机结构强度研发成本、缩短研发周期具有重要意义。本文以相似三定律为基础，结合量纲分析和方程分析，从理论层面对结构静力相似开展了研究，推导了结构静力相似准则，对不同层级结构静力相似的现象及联系进行了说明，最后通过算例进行了验证。
关键词：相似律；静力相似；结构静力特性；缩比试验；静力学
中图分类号：TB121文献标识码：ADOI：10.19452/j.issn1007-5453.2021.06.007
在工程实践中通过建立自然对象的缩比模型，对其内在规律进行分析研究是人类认知自然的基本方法之一。1686年，牛顿已经用运动相似来表述其三定理，后来又提出被称为牛顿数的相似准数F/（ρV2l2）。雷诺（Reynolds）对通过不同直径圆管中气流进行层流试验时发现，当试验数vL/γ超过某临界值时，气流会出现湍流现象，该表达式便是著名的雷诺数Re的前身。
直到相似三定理的提出，对相似现象的性质、相似准则、相似判据进行系统地描述，使得相似理论逐渐成为科学的理论。相似三定理用相似准则描述了现象相似，相似准则成为指导缩比模型设计的主要依据。1965年，Kline对通过量纲分析和方程分析两种建立相似准则的方法进行了全面阐述[1-2]。从此通过相似准则建立研究对象的相似模型，逐渐演变发展为相似论的科学方法。徐挺編著的《相似方法及其应用》对相似三定理、相似准则的推导和模型修正等理论知识进行了系统整理和综述[3]。
1994年，黄维平等对动力学模型试验进行了研究，推导了结构动力学相似准则并建立模型相似关系[4]。林皋等对结构动力模型试验中的物理量的处理技巧，开展了细致的探讨[5]。学者们在动力学相似理论方面的研究推动了动力学缩比模型的工程应用[6-7]。在土木建筑、航空航天等领域，通过缩比模型对桥梁大坝抗震特性和飞机、火箭振动特性研究，在我国乃至世界早已成为成熟的技术途径得到广泛推广应用[8-14]。
得益于流体力学相似准则的建立及完善，缩比模型试验在航空领域的应用，目前基本上集中于飞机空气动力学风洞试验领域。近些年，随着隐身技术的兴起，电磁系统相似准则的建立[15-16]，采用缩比模型对目标飞行器进行电磁隐身测试逐渐成为主流研究方法，并促使飞行器隐身技术以及微波暗室试验技术进步。任青梅[17]以结构热弹性理论和相似理论为基础，建立了均匀温度/力载荷联合作用下壁板结构的相似准则，对开展高速飞行器结构地面热/力联合试验有一定指导意义。
飞机结构静力学主要研究飞机结构在气动、惯性等各种载荷作用下，结构上力的分布、力的平衡以及结构极限承载能力的规律，确保飞机服役过程中结构不会发生有害变形乃至破坏。
传统的飞机结构研发，需要开展大量组件级、典型件级、部件级甚至全机级等比例静力试验，这些等比例静力试验对探索结构传载规律及验证结构承载能力具有不可替代作用。飞机的大型化促使结构静力试验代价急剧增加和周期急剧拉长，如果能在静力试验领域引入缩比试验，对节约飞机结构强度研发成本、缩短研发周期具有重要意义。而目前在飞机结构工程领域，迄今尚无比较全面的飞机结构静力相似研究论述。
本文从理论层面出发，推导了结构基本静力相似准则和两种不同层级的变态相似准则，对其相似的特征量及其可能的误差进行了论述，建立了飞机结构静力相似理论，采用算例进了验证。
1结构静力基本相似准则
1.1基本相似准则
模型与原型之间满足严格相似律时，模型与原型除变形相似外，可以论证结构极限强度之间的比例等于载荷比例。关于此点我们略作说明：（1）严格相似的两个静力系统结构应力完全一致；（2）几何相似与材料相同，同时保证了结构几何非线性与材料非线性行为一致；（3）严格相似的模型，在无量纲系统里完全一致。事实上两个严格相似的典型结构元件，通过飞机设计手册[18]计算得到的结构失稳应力、承载极限等静力性能完全一致，此处不再赘述。
2变态相似准则
2.1问题的引入
基本相似要求模型与原型几何相似。对于飞机常见的薄壁结构，如果缩放比例过大，按照等比例缩放后的模型结构厚度小，因最小加工尺寸、装配工艺或选材限制，会使得模型无法制造。因此我们考虑适当放宽对模型的要求，而使其在静力学表征上达到现象相似。
2.2静力方程及相似准则
对一个结构静力系统而言，外载对结构可能引起的效应有以下几种：拉压、剪切、弯曲和扭转。根据其力学微分方程写出对应的力学相似准则。
λEA、λGA、λGJ、λEI的定义见3.2节。式（18）便是模型结构形式与原型不同的静力相似准则——II级变态相似准则。模型与原型结构II级变态相似时，模型与原型变形相似。与前两种相似不同，II级变态相似更多关注结构的宏观表征。在实际中，对静力系统关注方向的刚度或变形，可根据原型实际受载情况对连等式（18）进行裁剪而放松对模型的部分要求。如对飞机机身、机翼等大部件而言，则仅须考虑模型整体弯剪扭刚度与载荷的匹配性。 II级变态相似模型与原型几何之间没有联系，这时通过任意调整模型内部布置使其满足式（18）要求。事实上，随着3D打印等技术的兴起和发展，通过精准定量堆积材料的方式，设计制造出严格满足式（18）所要求刚度的缩比模型是很有可能的。
基本静力相似模型保留了原型大部分结构信息，能够在结构线性和非线性阶段，于宏观（如结构刚度、变形等）和微观（如应力、应变响应）两个层面与原型建立联系。模型与原型材料相同时的严格相似模型，保留了结构原型全部信息，甚至能够做到与原型极限强度相似。
I级变态相似模型保留了薄壁结构原型的面内刚度信息，能够在线弹性阶段，于宏观（如结构刚度、变形等）和微观（如应力、应变响应）两个层面与原型建立联系，且与基本相似相比，具有更好的工艺特性。
II级变态相似模型保留了结构原型的宏观刚度信息，能够在线弹性阶段在宏观（如结构刚度、变形等）层面与原型建立联系。其对模型结构形式没有任何要求，但是在宏观层面对原结构的表征，对简化模型构造等方面具有重要意义。不同相似准则均保证了结构宏观刚度的相似，这样也可在同一模型中，对不同部件采用不同的相似准则，甚至不相似来组合建模（建立这种混杂的缩比模型时，需以相同的载荷比例作为不同部件设计依据）。
3算例验证
典型机翼盒段，建立1/2对称模型，在每个肋站位压心位置采用RBE3单元施加气动载荷，第3个肋位前后梁上模拟翼身连接。分别建立基本相似、I级变态相似模型并开展有限元分析（见图2）。分析软件采用有限元工具NASTRAN。
两类相似模型采取的缩放比例见表4，由静力相似准则预测得到的模型位移比例及應力比例同时列在表4中。
原型及两类相似模型计算分别得到的位移云图及应力云图如图3、图4所示。从有限元分析结果可看出，结构原型解得的最大位移为48.66mm，最大应力为247.1MPa。通过缩比模型解得的位移、应力量值及其与原型的比例，见表5。
从表5可看出，通过缩比模型解得的位移、应力量值及其与原型的比例，符合表4中预测值。从图3和图4可看出，其应力位移分布与原型完全一致。
以1/10的比例建立其II级变态相似模型（缩放为梁，为方便与原结构开展对比，在每个节点创建2个刚体单元）。根据式（18）可知缩比模型需满足：载荷比λP=λ2=1/100；剪切面积比λEA=λP=1/100；抗弯刚度比λEI=λ4=1/104；抗扭刚度比λGJ=λ4=1/104。
按上述比例，设定梁截面属性和载荷提交分析，计算得到的位移云图如图5所示，可发现缩比模型得到的位移为4.8mm，与原型量值比例约为1/10.13，与原型位移分布完全一致，满足相似比例。
三类缩比模型前后梁的约束反力与原型相比满足载荷比例，此处不再展示。
4结论
在飞机结构静力试验领域引入缩比试验，有助于在飞机结构强度研发中减小试验规模，对降低研发成本、缩短研发周期有重要意义。本文主要从结构静力平衡方程出发，结合量纲分析和方程分析：（1）针对几何相似情况，建立了基本相似准则；（2）针对参数比例变化的情况，建立了I级变态相似准则；（3）针对布置变化的情况，建立了II级变态相似准则，三者共同构成了结构静力相似理论。
静力相似理论构成了模型与原型结构满足静力相似的充要条件，可以此为基础开展飞机结构静力缩比试验。
缩比试验比较适合于评估宏观变形、应力分布、载荷传递等规律，但是在工程实践中：（1）很难在缩比模型中，采用特定的缩放比例再现原结构连接细节；（2）存在结构非线性、边界非线性等因素也难以在缩比模型再现。这也是缩比模型的局限所在。
参考文献
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[2]Tsien H S. Sililarity laws of hypersonic flows[J]. PhyJournal of Mathematical Physics，1946，25（1）：247-251.
[3]徐挺.相似方法及其应用[M].北京：机械工业出版社，1995. Xu Ting. Similarity method and its application[M]. Beijing： China Machine Press， 1995. （in Chinese）
[4]黄维平，邬瑞锋，张前国，等.配重不足时的动力试验模型与原型相似关系问题的探讨[J].地震工程与工程振动，1994（4）： 64-71. Huang Weiping， Wu Ruifeng， Zhang Qianguo，et al. Study of the analogy between scale models with less ballast and the prototype under shaking table test[J]. Earthquake Engineering and Engineering Dynamics， 1994（4）：64-71. （in Chinese）
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[8]孟慶利，黄思凝，郭迅.钢筋混凝土结构小比例尺模型的相似性研究[J].世界地震工程，2008， 24（4）： 1-6. Meng Qingli， Huang Sining， Guo Xun. Research on similarity of small scale reinforced concrete structure model[J]. World Earthquake Engineering， 2008， 24（4）： 1-6. （in Chinese）
[9]邓魁英，王毅.火箭动特性的缩比模型及建模分析[J].导弹与航天运载技术，2003（3）：6-12. Deng Kuiying， Wang Yi. Studies on the scaled model and mathematical model for the overall dynamic characteristics of launch vehicle[J]. Missiles and Space Vehicles， 2003（3）：6-12.（in Chinese）
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[12]曾杰，钱文敏，肖志鹏，等.复合材料机翼结构的气动弹性优化设计与风洞颤振试验[J].航空科学技术， 2019， 30（9）： 120-129. Zeng Jie， Qian Wenmin， Xiao Zhipeng， et al. Aeroelastic optimization of a composite wing structure and wind tunnel flutter test[J]. Aeronautical Science & Technology， 2019，30（9）： 120-129.（in Chinese）
[13]谭志勇，王毅，王明宇.针对未来大运载火箭的缩比模型动态特性仿真研究[J].强度与环境， 2002， 29（4）：11-18. Tan Zhiyong， Wang Yi， Wang Mingyu. Dynamic research and imitation of reduced-scale model for future launch rocket[J]. Structure & Environment Engineering， 2002，29（4）：11-18. （in Chinese）
[14]黄怀德.日本H-Ⅱ火箭与动力学研究状况[J].航天出国考察技术报告， 1995（2）： 143-152. Huang Huaide. Current research of H-II rocket and dynamics in Japan[J].Technical Report on Spaceflight Overseas Investiga tion， 1995（2）： 143-152. （in Chinese）
[15]时振栋.有耗电磁系统的相似性[J].应用科学学报， 1991， 9（1）： 24-28. Shi Zhendong. Similarity for lossy electromagnetic systems[J]. Journal ofApplied Sciences， 1991， 9（1）： 24-28. （in Chinese）
[16]时振栋，刘宏伟.隐身目标雷达截面的缩比测量及反演计算[J].电子科技大学学报， 1995， 24（S1）： 13-17. Shi Zhendong， Liu Hongwei. Model measurement and reverse evaluation for RCS of stealthy targets[J]. Journal of UEST of China， 1995， 24（S1）： 13-17. （in Chinese） [17]任青梅.热/力联合作用下壁板结构相似准则研究[J].航空科学技术， 2019， 30（8）： 41-48. Ren Qingmei. Study on the similarity criterion of panel under the combined effect of temperature and static load[J]. Aeronautical Science & Technology， 2019， 30（8）： 41-48. （in Chinese）
[18]解思適.《飞机设计手册》第9册载荷、强度和刚度[M].北京：航空工业出版社， 2001. Xie Sishi. Aircraft design manual volume 9Load， strength and stiffness[M]. Beijing： Aviation Industry Press， 2001. （in Chinese）
（责任编辑陈东晓）
Theoretical and Numerical Studies of Static Similarity Criteria for Aircraft Structures
Yu Ming，Wang Qianping，Zhu Shengli
AVIC The First Aircraft Institute，Xi’an 710089，China
Abstract： Equivalent proportional static test of typical components or components of aircraft structure has always been a necessary means for aircraft structural strength research and development. It plays an irreplaceable role in exploring structural load distribution law， and exploring structural strength. Large aircraft increase the costs of structural static test. Introducing scale model to static test will be of great significance to save the cost and shorten the cycle of aircraft structural strength research and development. Based on the three laws of similarity， this paper studies the structural static similarity from the theoretical level by using dimensional analysis and equation analysis， and establishes the theory of structural static similarity. The phenomena and relations of static similarity of different hierarchical structures are explained. Finally， the theory is verified by numerical examples.
Key Words： similarity law； static similarity； structures static characteristics； scale test； statics
关键词：相似律；静力相似；结构静力特性；缩比试验；静力学
中图分类号：TB121文献标识码：ADOI：10.19452/j.issn1007-5453.2021.06.007
在工程实践中通过建立自然对象的缩比模型，对其内在规律进行分析研究是人类认知自然的基本方法之一。1686年，牛顿已经用运动相似来表述其三定理，后来又提出被称为牛顿数的相似准数F/（ρV2l2）。雷诺（Reynolds）对通过不同直径圆管中气流进行层流试验时发现，当试验数vL/γ超过某临界值时，气流会出现湍流现象，该表达式便是著名的雷诺数Re的前身。
直到相似三定理的提出，对相似现象的性质、相似准则、相似判据进行系统地描述，使得相似理论逐渐成为科学的理论。相似三定理用相似准则描述了现象相似，相似准则成为指导缩比模型设计的主要依据。1965年，Kline对通过量纲分析和方程分析两种建立相似准则的方法进行了全面阐述[1-2]。从此通过相似准则建立研究对象的相似模型，逐渐演变发展为相似论的科学方法。徐挺編著的《相似方法及其应用》对相似三定理、相似准则的推导和模型修正等理论知识进行了系统整理和综述[3]。
1994年，黄维平等对动力学模型试验进行了研究，推导了结构动力学相似准则并建立模型相似关系[4]。林皋等对结构动力模型试验中的物理量的处理技巧，开展了细致的探讨[5]。学者们在动力学相似理论方面的研究推动了动力学缩比模型的工程应用[6-7]。在土木建筑、航空航天等领域，通过缩比模型对桥梁大坝抗震特性和飞机、火箭振动特性研究，在我国乃至世界早已成为成熟的技术途径得到广泛推广应用[8-14]。
得益于流体力学相似准则的建立及完善，缩比模型试验在航空领域的应用，目前基本上集中于飞机空气动力学风洞试验领域。近些年，随着隐身技术的兴起，电磁系统相似准则的建立[15-16]，采用缩比模型对目标飞行器进行电磁隐身测试逐渐成为主流研究方法，并促使飞行器隐身技术以及微波暗室试验技术进步。任青梅[17]以结构热弹性理论和相似理论为基础，建立了均匀温度/力载荷联合作用下壁板结构的相似准则，对开展高速飞行器结构地面热/力联合试验有一定指导意义。
飞机结构静力学主要研究飞机结构在气动、惯性等各种载荷作用下，结构上力的分布、力的平衡以及结构极限承载能力的规律，确保飞机服役过程中结构不会发生有害变形乃至破坏。
传统的飞机结构研发，需要开展大量组件级、典型件级、部件级甚至全机级等比例静力试验，这些等比例静力试验对探索结构传载规律及验证结构承载能力具有不可替代作用。飞机的大型化促使结构静力试验代价急剧增加和周期急剧拉长，如果能在静力试验领域引入缩比试验，对节约飞机结构强度研发成本、缩短研发周期具有重要意义。而目前在飞机结构工程领域，迄今尚无比较全面的飞机结构静力相似研究论述。
本文从理论层面出发，推导了结构基本静力相似准则和两种不同层级的变态相似准则，对其相似的特征量及其可能的误差进行了论述，建立了飞机结构静力相似理论，采用算例进了验证。
1结构静力基本相似准则
1.1基本相似准则
模型与原型之间满足严格相似律时，模型与原型除变形相似外，可以论证结构极限强度之间的比例等于载荷比例。关于此点我们略作说明：（1）严格相似的两个静力系统结构应力完全一致；（2）几何相似与材料相同，同时保证了结构几何非线性与材料非线性行为一致；（3）严格相似的模型，在无量纲系统里完全一致。事实上两个严格相似的典型结构元件，通过飞机设计手册[18]计算得到的结构失稳应力、承载极限等静力性能完全一致，此处不再赘述。
2变态相似准则
2.1问题的引入
基本相似要求模型与原型几何相似。对于飞机常见的薄壁结构，如果缩放比例过大，按照等比例缩放后的模型结构厚度小，因最小加工尺寸、装配工艺或选材限制，会使得模型无法制造。因此我们考虑适当放宽对模型的要求，而使其在静力学表征上达到现象相似。
2.2静力方程及相似准则
对一个结构静力系统而言，外载对结构可能引起的效应有以下几种：拉压、剪切、弯曲和扭转。根据其力学微分方程写出对应的力学相似准则。
λEA、λGA、λGJ、λEI的定义见3.2节。式（18）便是模型结构形式与原型不同的静力相似准则——II级变态相似准则。模型与原型结构II级变态相似时，模型与原型变形相似。与前两种相似不同，II级变态相似更多关注结构的宏观表征。在实际中，对静力系统关注方向的刚度或变形，可根据原型实际受载情况对连等式（18）进行裁剪而放松对模型的部分要求。如对飞机机身、机翼等大部件而言，则仅须考虑模型整体弯剪扭刚度与载荷的匹配性。 II级变态相似模型与原型几何之间没有联系，这时通过任意调整模型内部布置使其满足式（18）要求。事实上，随着3D打印等技术的兴起和发展，通过精准定量堆积材料的方式，设计制造出严格满足式（18）所要求刚度的缩比模型是很有可能的。
基本静力相似模型保留了原型大部分结构信息，能够在结构线性和非线性阶段，于宏观（如结构刚度、变形等）和微观（如应力、应变响应）两个层面与原型建立联系。模型与原型材料相同时的严格相似模型，保留了结构原型全部信息，甚至能够做到与原型极限强度相似。
I级变态相似模型保留了薄壁结构原型的面内刚度信息，能够在线弹性阶段，于宏观（如结构刚度、变形等）和微观（如应力、应变响应）两个层面与原型建立联系，且与基本相似相比，具有更好的工艺特性。
II级变态相似模型保留了结构原型的宏观刚度信息，能够在线弹性阶段在宏观（如结构刚度、变形等）层面与原型建立联系。其对模型结构形式没有任何要求，但是在宏观层面对原结构的表征，对简化模型构造等方面具有重要意义。不同相似准则均保证了结构宏观刚度的相似，这样也可在同一模型中，对不同部件采用不同的相似准则，甚至不相似来组合建模（建立这种混杂的缩比模型时，需以相同的载荷比例作为不同部件设计依据）。
3算例验证
典型机翼盒段，建立1/2对称模型，在每个肋站位压心位置采用RBE3单元施加气动载荷，第3个肋位前后梁上模拟翼身连接。分别建立基本相似、I级变态相似模型并开展有限元分析（见图2）。分析软件采用有限元工具NASTRAN。
两类相似模型采取的缩放比例见表4，由静力相似准则预测得到的模型位移比例及應力比例同时列在表4中。
原型及两类相似模型计算分别得到的位移云图及应力云图如图3、图4所示。从有限元分析结果可看出，结构原型解得的最大位移为48.66mm，最大应力为247.1MPa。通过缩比模型解得的位移、应力量值及其与原型的比例，见表5。
从表5可看出，通过缩比模型解得的位移、应力量值及其与原型的比例，符合表4中预测值。从图3和图4可看出，其应力位移分布与原型完全一致。
以1/10的比例建立其II级变态相似模型（缩放为梁，为方便与原结构开展对比，在每个节点创建2个刚体单元）。根据式（18）可知缩比模型需满足：载荷比λP=λ2=1/100；剪切面积比λEA=λP=1/100；抗弯刚度比λEI=λ4=1/104；抗扭刚度比λGJ=λ4=1/104。
按上述比例，设定梁截面属性和载荷提交分析，计算得到的位移云图如图5所示，可发现缩比模型得到的位移为4.8mm，与原型量值比例约为1/10.13，与原型位移分布完全一致，满足相似比例。
三类缩比模型前后梁的约束反力与原型相比满足载荷比例，此处不再展示。
4结论
在飞机结构静力试验领域引入缩比试验，有助于在飞机结构强度研发中减小试验规模，对降低研发成本、缩短研发周期有重要意义。本文主要从结构静力平衡方程出发，结合量纲分析和方程分析：（1）针对几何相似情况，建立了基本相似准则；（2）针对参数比例变化的情况，建立了I级变态相似准则；（3）针对布置变化的情况，建立了II级变态相似准则，三者共同构成了结构静力相似理论。
静力相似理论构成了模型与原型结构满足静力相似的充要条件，可以此为基础开展飞机结构静力缩比试验。
缩比试验比较适合于评估宏观变形、应力分布、载荷传递等规律，但是在工程实践中：（1）很难在缩比模型中，采用特定的缩放比例再现原结构连接细节；（2）存在结构非线性、边界非线性等因素也难以在缩比模型再现。这也是缩比模型的局限所在。
参考文献
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（责任编辑陈东晓）
Theoretical and Numerical Studies of Static Similarity Criteria for Aircraft Structures
Yu Ming，Wang Qianping，Zhu Shengli
AVIC The First Aircraft Institute，Xi’an 710089，China
Abstract： Equivalent proportional static test of typical components or components of aircraft structure has always been a necessary means for aircraft structural strength research and development. It plays an irreplaceable role in exploring structural load distribution law， and exploring structural strength. Large aircraft increase the costs of structural static test. Introducing scale model to static test will be of great significance to save the cost and shorten the cycle of aircraft structural strength research and development. Based on the three laws of similarity， this paper studies the structural static similarity from the theoretical level by using dimensional analysis and equation analysis， and establishes the theory of structural static similarity. The phenomena and relations of static similarity of different hierarchical structures are explained. Finally， the theory is verified by numerical examples.
Key Words： similarity law； static similarity； structures static characteristics； scale test； statics