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摘 要：人教版小学数学教材以新增设的“数学广角”，进一步向学生渗透数学思想方法。《植树问题》一课教学，用数学的思维提出问题、用数学的策略思考问题、用数学的方法解决问题、用数学的思想归纳问题，让学生在观察中培养对应思想，在体验中培养抽象思想，在探究中培养化归思想，在总结中培养模型思想。
关键词：数学广角 对应 抽象 化归 模型
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课程标准”）指出：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。”人教版小学数学教材以新增设的“数学广角”内容，进一步向学生渗透数学思想方法。下面以一位教师教学五年级上册《植树问题》一课为例，挖掘“数学广角”中蕴涵的数学思想方法。
一、用数学的思维提出问题——在观察中培养对应思想
【片段1】 从桃树和柳树的间隔中提出问题
（课件呈现桃树和柳树图片。）
师 桃树和柳树是怎样排列的？
生 一棵桃树，一棵柳树，一棵桃树，一棵柳树，这样排列下去。
生 可以把一棵桃树和一棵柳树看作一组，一组一组地出现。
师 是的，像这样两棵桃树间隔着一棵柳树，两棵柳树间隔着一棵桃树，相互间隔，就叫作“间隔排列”。
（板书：间隔排列。）
师 再次观察图片，有节奏地读一读，有什么感受？
生 每棵桃树后面都跟着一棵柳树。
生 我来补充一下，一棵桃树一定对应着一棵柳树。桃树有几棵，柳树就一定有几棵。
师 “对应”这个词用得真好！也就是每棵桃树都有一棵柳树相对应着，是这个意思吗？如果有2棵桃树，就一定有……有10棵桃树，就一定有……
这一教学片段，教师试图让学生从桃树和柳树的间隔中提出问题，这是《植树问题》教学设计的引子，意在培养学生从数学思维的角度观察生活问题。当学生尝试着用“对应”一词表达桃树和柳树间隔排列的情形时，表明他们已初步感知了“一一对应”的数学思想。
二、用数学的策略思考问题——在体验中培养抽象思想
【片段2】 比较完整和不完整两种情况
（出示图1、图2，让学生先观察再讨论。）
师 这两组物体是不是一一间隔排列？哪两种物体一一间隔排列？谁多谁少？你是怎么知道的？
生 图1中一个苹果对应着一个香蕉，苹果和香蕉一样多；图2中最后一个苹果没有香蕉对应，所以苹果比香蕉多1个。
师 两个物体依次摆放，当完全对应时，数量相等；当不完全对应时，先出现的物体多1。
【片段3】 抽象为物体与间隔的关系
（课件隐去香蕉，留下苹果，如图3。）
师 这幅图又有了变化，只剩下一种物体，但物体和物体之间出现了什么？
生 出现了间隔。
师 比较物体之间的间隔数，你发现了什么？
生 物体和间隔本来是一一对应的，但最后一个苹果没有对应，所以苹果比间隔多1。
生 可以把空着的地方想象成香蕉，这样就跟图2的情况一样了。
師 一种物体有规律地摆放，也可以当成是物体与间隔之间的一一对应。
将“植树问题”以找规律的形式去理解“一一对应”思想，准确、深刻地抓住问题的本质特征。学生明显发现图1与图2中苹果与香蕉的对应是不一样的。这对于“两端种”和“一端种”的理解是非常有帮助的。然而，仅仅是这样的“一一对应”，是低层次的；课堂教学中隐去香蕉、留下苹果的设计，真正切中学生抽象思维发展的核心，自然打通了学生对物体和间隔的理解的瓶颈，使其抽象思维的发展有根基。
三、用数学的方法解决问题——在探究中培养化归思想
【片段4】 用数形结合的方式探寻规律
师 生活中有这样一一对应的情况吗？举个例子。
（学生回答。教师结合电线杆、锯木头、种树等情境图，进一步帮助学生巩固间隔排列中“一一对应”的分析方法。）
师 元旦快到了，大家一起装扮教室。在一条长20分米的黑板边上，挂着灯笼和彩带，每5分米长的彩带挂1个灯笼。可以挂几个灯笼？大家尝试画一画，列一列算式，说明自己的设计。
（学生尝试。）
师 你是怎么挂的？什么物体和什么物体是一一间隔排列的？是怎么排列的？说说每个算式表示的含义。
化归思想是解决数学问题的一种基本思想方法，通过化难为易、化新为旧、化繁为简、化整为零、化曲为直等方式，实现化未知为已知，最终解决问题。《植树问题》一课教学，可通过数形结合将复杂的问题化难为易、化繁为简。这一片段中，教师让学生画一画、列一列、说一说，是培养化归思想的基础。借助图形，让学生形象地理解问题，最终解决问题。学生探究的过程，也是化归思想萌发、成熟、发展的过程。
四、用数学的思想归纳问题——在总结中培养模型思想
【片段5】 总结“两端栽”
[出示第一道题：在8米长的草坪一边植树（两端要栽），每隔4米栽一棵，需要多少棵树苗？]
师 什么是两端要栽？
生 两端要栽就是两端都栽树。
师 一共需要多少棵树苗？怎么计算？
生 8÷4=2（段），2+1=3（棵）。
师 你觉得棵数和间隔有怎样的关系？
生 （讨论后得出）棵数=间隔数+1。
【片段6】 总结“一端栽”
[出示第二道题：在8米长的草坪一边植树（一端要栽），每隔4米栽一棵，需要多少棵树苗？]
师 什么是一端栽？
生 一端不植树。
师 “一端不栽”与树的棵数有什么关系呢？小组交流一下。
生 （讨论后得出）棵数=间隔数。
【片段7】 总结“两端不栽”
[出示第三道题：在8米长的草坪一边植树（两端不栽），每隔4米栽一棵，需要多少棵树苗？]
师 两端都不栽呢？
生 （讨论后得出）两端不栽，棵数=间隔数-1。
课程标准指出：“在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”小学生符号意识、推理能力等开始发展，使得模型思想的建立成为学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。《植树问题》一课教学，可用模型思想去提炼“两端栽”“一端栽”“两端都不栽”，通过相对应的三道相似题目的比较，让学生研究出棵数与间隔数的关系，最终让学生在比较分析的过程中实现整个模型的内化。
关键词：数学广角 对应 抽象 化归 模型
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课程标准”）指出：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。”人教版小学数学教材以新增设的“数学广角”内容，进一步向学生渗透数学思想方法。下面以一位教师教学五年级上册《植树问题》一课为例，挖掘“数学广角”中蕴涵的数学思想方法。
一、用数学的思维提出问题——在观察中培养对应思想
【片段1】 从桃树和柳树的间隔中提出问题
（课件呈现桃树和柳树图片。）
师 桃树和柳树是怎样排列的？
生 一棵桃树，一棵柳树，一棵桃树，一棵柳树，这样排列下去。
生 可以把一棵桃树和一棵柳树看作一组，一组一组地出现。
师 是的，像这样两棵桃树间隔着一棵柳树，两棵柳树间隔着一棵桃树，相互间隔，就叫作“间隔排列”。
（板书：间隔排列。）
师 再次观察图片，有节奏地读一读，有什么感受？
生 每棵桃树后面都跟着一棵柳树。
生 我来补充一下，一棵桃树一定对应着一棵柳树。桃树有几棵，柳树就一定有几棵。
师 “对应”这个词用得真好！也就是每棵桃树都有一棵柳树相对应着，是这个意思吗？如果有2棵桃树，就一定有……有10棵桃树，就一定有……
这一教学片段，教师试图让学生从桃树和柳树的间隔中提出问题，这是《植树问题》教学设计的引子，意在培养学生从数学思维的角度观察生活问题。当学生尝试着用“对应”一词表达桃树和柳树间隔排列的情形时，表明他们已初步感知了“一一对应”的数学思想。
二、用数学的策略思考问题——在体验中培养抽象思想
【片段2】 比较完整和不完整两种情况
（出示图1、图2，让学生先观察再讨论。）
师 这两组物体是不是一一间隔排列？哪两种物体一一间隔排列？谁多谁少？你是怎么知道的？
生 图1中一个苹果对应着一个香蕉，苹果和香蕉一样多；图2中最后一个苹果没有香蕉对应，所以苹果比香蕉多1个。
师 两个物体依次摆放，当完全对应时，数量相等；当不完全对应时，先出现的物体多1。
【片段3】 抽象为物体与间隔的关系
（课件隐去香蕉，留下苹果，如图3。）
师 这幅图又有了变化，只剩下一种物体，但物体和物体之间出现了什么？
生 出现了间隔。
师 比较物体之间的间隔数，你发现了什么？
生 物体和间隔本来是一一对应的，但最后一个苹果没有对应，所以苹果比间隔多1。
生 可以把空着的地方想象成香蕉，这样就跟图2的情况一样了。
師 一种物体有规律地摆放，也可以当成是物体与间隔之间的一一对应。
将“植树问题”以找规律的形式去理解“一一对应”思想，准确、深刻地抓住问题的本质特征。学生明显发现图1与图2中苹果与香蕉的对应是不一样的。这对于“两端种”和“一端种”的理解是非常有帮助的。然而，仅仅是这样的“一一对应”，是低层次的；课堂教学中隐去香蕉、留下苹果的设计，真正切中学生抽象思维发展的核心，自然打通了学生对物体和间隔的理解的瓶颈，使其抽象思维的发展有根基。
三、用数学的方法解决问题——在探究中培养化归思想
【片段4】 用数形结合的方式探寻规律
师 生活中有这样一一对应的情况吗？举个例子。
（学生回答。教师结合电线杆、锯木头、种树等情境图，进一步帮助学生巩固间隔排列中“一一对应”的分析方法。）
师 元旦快到了，大家一起装扮教室。在一条长20分米的黑板边上，挂着灯笼和彩带，每5分米长的彩带挂1个灯笼。可以挂几个灯笼？大家尝试画一画，列一列算式，说明自己的设计。
（学生尝试。）
师 你是怎么挂的？什么物体和什么物体是一一间隔排列的？是怎么排列的？说说每个算式表示的含义。
化归思想是解决数学问题的一种基本思想方法，通过化难为易、化新为旧、化繁为简、化整为零、化曲为直等方式，实现化未知为已知，最终解决问题。《植树问题》一课教学，可通过数形结合将复杂的问题化难为易、化繁为简。这一片段中，教师让学生画一画、列一列、说一说，是培养化归思想的基础。借助图形，让学生形象地理解问题，最终解决问题。学生探究的过程，也是化归思想萌发、成熟、发展的过程。
四、用数学的思想归纳问题——在总结中培养模型思想
【片段5】 总结“两端栽”
[出示第一道题：在8米长的草坪一边植树（两端要栽），每隔4米栽一棵，需要多少棵树苗？]
师 什么是两端要栽？
生 两端要栽就是两端都栽树。
师 一共需要多少棵树苗？怎么计算？
生 8÷4=2（段），2+1=3（棵）。
师 你觉得棵数和间隔有怎样的关系？
生 （讨论后得出）棵数=间隔数+1。
【片段6】 总结“一端栽”
[出示第二道题：在8米长的草坪一边植树（一端要栽），每隔4米栽一棵，需要多少棵树苗？]
师 什么是一端栽？
生 一端不植树。
师 “一端不栽”与树的棵数有什么关系呢？小组交流一下。
生 （讨论后得出）棵数=间隔数。
【片段7】 总结“两端不栽”
[出示第三道题：在8米长的草坪一边植树（两端不栽），每隔4米栽一棵，需要多少棵树苗？]
师 两端都不栽呢？
生 （讨论后得出）两端不栽，棵数=间隔数-1。
课程标准指出：“在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”小学生符号意识、推理能力等开始发展，使得模型思想的建立成为学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。《植树问题》一课教学，可用模型思想去提炼“两端栽”“一端栽”“两端都不栽”，通过相对应的三道相似题目的比较，让学生研究出棵数与间隔数的关系，最终让学生在比较分析的过程中实现整个模型的内化。