论文部分内容阅读
回顾数学的发展历史，可以看到19世纪以前，数学和现实的联系非常紧密。到了19世纪中叶，非欧几何产生了，抽象群论出现了，分析严密化的语言开始流行了，与此相应的形式化的“符号逻辑”也应运而生。在抽象集合论的土壤上，产生了希尔伯特为代表的形式主义学派。希尔伯特曾提出按照无矛盾性、独立性、完备性的标准将所有数学分支建构成形式公理体系。但是，1931年，奥地利数学家哥德尔证明，包含自然数算术在内的任何公理体系如果是无矛盾的，那都是不完备的，即存在一个数学命题，在该公理系统内既不能证其对，也不能证其错。于是，哥德尔定理破天荒地第一次分清了数学中“真”与“可证明”是两个不同的概念，可证明的数学命题固然是真的，但真的数学命题并不一定是可以证明的，因而将整个数学“形式化”的理想破灭了。
继希尔伯特形式主义之后，20世纪中叶兴起了“布尔巴基学派”。该学派试图用结构的思想方法来建构整个数学世界，梳理整个数学的体系，实现全部数学的公理化。数学结构思想方法实质上是对现代形式公理化思想方法的一个新发展，是把形式公理化思想方法推向一个更高的层次。形式公理化方法着眼于每一门数学分支的形式公理化或结构化，而结构方法则是以形式公理化方法为工具，着眼点不是哪一门数学，而是从整个数学全局出发，不仅在整个数学的大范围内分析、研究每一门数学结构，而且还分析、研究各个数学分支之间的结构的本质差异及其内在相互关系。从系统方法论的观点看，数学结构思想方法是把整个数学作为大系统，而把每一门数学或每一个数学分支作为这个大系统的一个子系统，从而将整个数学大系统按结构的特征分成若干子系统，在此基础上，不仅要探讨各个子系统的结构特征，而且要探讨子系统结构之间的内在联系及本质差异。而建立每一个子系统或每一门数学结构的具体方法则是形式公理化方法。
布尔巴基学派在集合论的基础上，首先建立了三种基本数学结构：代数结构、序结构、拓扑结构。并称这三种结构称为母结构。然后在三种母结构的基础上根据“亲缘”关系，交叉产生新的边缘结构，这些交叉边缘新结构统称为子结构。该学派认为，在数学世界的中心，是三种母结构：代数结构，序结构，拓扑结构。每一种母结构又可分化出许多分支，也称为子结构，这些结构彼此之间有一定关系，它们都由公理来决定。母结构之间、母结构与子结构之间、子结构之间根据“亲缘”关系交叉又可以产生一系列更复杂的交叉边缘新结构，已建立的结构的不断分化及其之间的不断交叉又进一步产生新的结构，如此扩展，可以由简单到复杂，由一般到特殊，形成层次分明的系统，建构整个数学的结构体系。正如他们自己所说“数学好比是一座大城市，城市中心有些巨大的建筑物，就好比是一个个已经建成的数学理论体系。城市的郊区正在不断的并且多少有点杂乱无章地向外延伸，它们就好象一些尚未发育成型的正在成长着的数学新分支。与此同时，城市的中心又时时在重建，每次都根据构思更加清晰的计划和更加合理的布局，在拆毁掉旧的迷宫似的断街小巷的同时，将建起新的更直、更宽、更加方便的林荫大道，通向四方……”。布尔巴基学派试图从集合和集合上的结构来构建整个数学的实践，也在1970年代左右中止。
希尔伯特的“形式主义”和布尔巴基的“结构主义”的思潮有其积极的一面，是数学发展中的一座里程碑。它形成了从定义公理出发利用演绎来构架数学内容的体系的一种数学传统，其影响十分广泛，在一个相当长的时期内成了数学教育的主导思想。
数学固然可以用结构化的思想加以整理，并在此基础上进行推进，这是进行数学发展的一种重要方式，但是，过分强调结构化就把数学的背景和本质忽视了，使得数学研究变成了从形式到形式的研究。尤其是从20世纪，这样的发展有一种极端化的趋势，影响数学的学习者对数学的理解。早在20世纪40年代，很多著名数学家看到了这种趋势的危害，这里，我们再引一段数学家柯朗的论述：目前，过分强调数学的公理演绎特点的风气，似乎有盛行起来的危险。事实上，创造发明的要素，起指导和推动作用的直观要素，常常不能用简单的公式来表述，但是，它们却是任何数学成就的核心，即使在最抽象的领域也是如此。如果说完善的演绎形式是目标，那么，直观和构造是动力。
有一种观点对科学本身是严重的威胁，它断言数学不是别的东西，只是从定义和公理推导出来的一组结论，只要保证这些定义和公理不矛盾，可以由数学家根据他们的意志随意创造。如果这种说法是正确的，数学将不会吸引任何有理智的人。它将成为定义、规则和演绎法的游戏，既没有动力，也没有目标。认为灵感能创造出有意义的公理体系的看法，是骗人的和似是而非的真理。
“新数运动”之后，美国等国家提出了生活中的数学，强调学生的原有的数学认知等，都可以看作是对数学教育中这种形式化倾向的一种纠正。
形式化是数学的特征之一，但是中学数学中的形式化受学生认知水平的限制。在高中数学课程中，适度形式化是必要的。例如：对于运算的学习，就需要严格按照运算的定义，遵循运算律。过度形式化是不必要的。例如：对于几何、函数等内容，过度形式化是不必要的。对于几何，不必严格遵循几何的公理系统，而要关注几何直观。对于函数，也不必从集合、关系的角度去展开等。重要的本质的基本的数学内容需要介绍它们的背景和应用。例如：向量，好的不等式等，有非常丰富的背景和广泛的应用。
因此，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展背景、过程和本质，揭示人们探索真理的道路。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想，体验寻找真理和发现真理的方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。
继希尔伯特形式主义之后，20世纪中叶兴起了“布尔巴基学派”。该学派试图用结构的思想方法来建构整个数学世界，梳理整个数学的体系，实现全部数学的公理化。数学结构思想方法实质上是对现代形式公理化思想方法的一个新发展，是把形式公理化思想方法推向一个更高的层次。形式公理化方法着眼于每一门数学分支的形式公理化或结构化，而结构方法则是以形式公理化方法为工具，着眼点不是哪一门数学，而是从整个数学全局出发，不仅在整个数学的大范围内分析、研究每一门数学结构，而且还分析、研究各个数学分支之间的结构的本质差异及其内在相互关系。从系统方法论的观点看，数学结构思想方法是把整个数学作为大系统，而把每一门数学或每一个数学分支作为这个大系统的一个子系统，从而将整个数学大系统按结构的特征分成若干子系统，在此基础上，不仅要探讨各个子系统的结构特征，而且要探讨子系统结构之间的内在联系及本质差异。而建立每一个子系统或每一门数学结构的具体方法则是形式公理化方法。
布尔巴基学派在集合论的基础上，首先建立了三种基本数学结构：代数结构、序结构、拓扑结构。并称这三种结构称为母结构。然后在三种母结构的基础上根据“亲缘”关系，交叉产生新的边缘结构，这些交叉边缘新结构统称为子结构。该学派认为，在数学世界的中心，是三种母结构：代数结构，序结构，拓扑结构。每一种母结构又可分化出许多分支，也称为子结构，这些结构彼此之间有一定关系，它们都由公理来决定。母结构之间、母结构与子结构之间、子结构之间根据“亲缘”关系交叉又可以产生一系列更复杂的交叉边缘新结构，已建立的结构的不断分化及其之间的不断交叉又进一步产生新的结构，如此扩展，可以由简单到复杂，由一般到特殊，形成层次分明的系统，建构整个数学的结构体系。正如他们自己所说“数学好比是一座大城市，城市中心有些巨大的建筑物，就好比是一个个已经建成的数学理论体系。城市的郊区正在不断的并且多少有点杂乱无章地向外延伸，它们就好象一些尚未发育成型的正在成长着的数学新分支。与此同时，城市的中心又时时在重建，每次都根据构思更加清晰的计划和更加合理的布局，在拆毁掉旧的迷宫似的断街小巷的同时，将建起新的更直、更宽、更加方便的林荫大道，通向四方……”。布尔巴基学派试图从集合和集合上的结构来构建整个数学的实践，也在1970年代左右中止。
希尔伯特的“形式主义”和布尔巴基的“结构主义”的思潮有其积极的一面，是数学发展中的一座里程碑。它形成了从定义公理出发利用演绎来构架数学内容的体系的一种数学传统，其影响十分广泛，在一个相当长的时期内成了数学教育的主导思想。
数学固然可以用结构化的思想加以整理，并在此基础上进行推进，这是进行数学发展的一种重要方式，但是，过分强调结构化就把数学的背景和本质忽视了，使得数学研究变成了从形式到形式的研究。尤其是从20世纪，这样的发展有一种极端化的趋势，影响数学的学习者对数学的理解。早在20世纪40年代，很多著名数学家看到了这种趋势的危害，这里，我们再引一段数学家柯朗的论述：目前，过分强调数学的公理演绎特点的风气，似乎有盛行起来的危险。事实上，创造发明的要素，起指导和推动作用的直观要素，常常不能用简单的公式来表述，但是，它们却是任何数学成就的核心，即使在最抽象的领域也是如此。如果说完善的演绎形式是目标，那么，直观和构造是动力。
有一种观点对科学本身是严重的威胁，它断言数学不是别的东西，只是从定义和公理推导出来的一组结论，只要保证这些定义和公理不矛盾，可以由数学家根据他们的意志随意创造。如果这种说法是正确的，数学将不会吸引任何有理智的人。它将成为定义、规则和演绎法的游戏，既没有动力，也没有目标。认为灵感能创造出有意义的公理体系的看法，是骗人的和似是而非的真理。
“新数运动”之后，美国等国家提出了生活中的数学，强调学生的原有的数学认知等，都可以看作是对数学教育中这种形式化倾向的一种纠正。
形式化是数学的特征之一，但是中学数学中的形式化受学生认知水平的限制。在高中数学课程中，适度形式化是必要的。例如：对于运算的学习，就需要严格按照运算的定义，遵循运算律。过度形式化是不必要的。例如：对于几何、函数等内容，过度形式化是不必要的。对于几何，不必严格遵循几何的公理系统，而要关注几何直观。对于函数，也不必从集合、关系的角度去展开等。重要的本质的基本的数学内容需要介绍它们的背景和应用。例如：向量，好的不等式等，有非常丰富的背景和广泛的应用。
因此，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展背景、过程和本质，揭示人们探索真理的道路。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想，体验寻找真理和发现真理的方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。