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摘要：对于一元二次方程的解法，教材上介绍的方法有直接开方法、配方法、公式法和因式分解法。但是有些方程用上述那些解法可能会比较繁琐，在这里我们引进一些新的解法，可以一定程度上简化求解过程，使得解题更加简便。以下就是对这几种特殊解法的概述。
关键词：一元二次；因式分解；积差法；数形结合
一、 满足特殊条件的一元二次方程的解法
若一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）的系数满足a±b c=0时，则方程的根为x1=±1，x2=±ca。
证明：如果a b c=0，则a=-b-c…①，根据求根公式x=-b±b2-4ac2a，将①式带入，可得x=-b±b2-4c（-b-c）2a=-b±b2 4bc 4c22a=-b±（b 2c）22a即x1=-b （b 2c）2a=2c2a=ca，x2=-b-（b 2c）2a=2（-b-c）2a=2a2a=1。
对于a-b c=0的情况，证明过程与上述相似，在此省略。
具体解法：若一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）的系数满足a b c=0，由于有一个根为1，故可将方程左边先分解出一个因式（x-1），然后根据二次项ax2的因式为x和ax，常数项c的因式为-1和-c，则方程的另一个因式为（ax-c），即方程可分解为（x-1）（ax-c）=0，所以解得方程的根为x1=1，x2=ca。对于a-b c=0的情况解法类似，故省略。
【例1】解方程9406x2-8289x-1117=0
解析：这个方程各项系数的绝对值都比较大，用传统的方法求解计算量很大，容易出错。仔细观察原方程，发现各项系数的和为零，根据上述性质可知，方程有一根为1。因此方程左边可分解为（x-1）（9406x 1117），从而解出方程。
解：观察可知方程有一根为1，则方程可分解为（x-1）（9406x 1117）=0。
解得x-1=0或9406x 1117=0
∴x1=1，x2=-11179406。
二、 积差法解一元二次方程
积差法是将一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）的常数项移到右边，然后对左右两边的式子进行配凑、分解，使得两边各因式的差相等，再根据因式大小对应相等而求出方程的解。
具体操作如下：
对于一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0），利用积差法求解步骤为：
第一步：移常数项，ax2 bx=-c；
第二步：提取公因式x，x（ax b）=-c；
第三步：两边同乘系数a，ax（ax b）=-ac；
第四步：令-ac=m，则方程为：ax（ax b）=m；
第五步：观察方程两边因式的差，由于左邊两因式ax与ax b的差为b，如果m=m1×m2或m=（-m1）×（-m2）（m1 第六步：根据因式对应大小写出等式，若ax 以下是利用此方法解方程的具体实例。
【例2】解方程2x2-11x 5=0
解：移常数项，得2x2-11x=-5，
提公因式，得x（2x-11）=-5，
两边同乘2，得2x（2x-11）=-10，
（由于2x与2x-11的差为11，所以-10分解的两个因数的差也应该为11）
右边写成乘积形式2x（2x-11）=-1×10
或2x（2x-11）=-10×1，
按大小对应等式，2x=10或2x=1，
（也可写成2x-11=-1或2x-11=-10）
所以x=5或x=12，
即x1=5，x2=12。
三、 数形结合法解一元二次方程
对于一元二次方程ax2 bx c=0（ac<0），将其化为x（ax b）=-c，利用数形结合法求解如下：
1. 当a=1时，方程为x（x b）=-c，构造一个边长为x和x b的矩形，则其面积为-c，再把四个矩形拼成一个大的正方形，正方形的边长为（x x b），如右图所示，根据S大正=4S小矩 S小正，得出方程（2x b）2=-4c b2，然后利用直接开方法即可求出方程的解。
2. 当a≠1时，在方程的两边同乘a，得ax（ax b）=-ac，构造一个边长为ax和ax b的矩形，则其面积为-ac，用与上同样的方法得出方程（2ax b）2=-4ac b2，最后直接开方得出方程的解。
【例3】解方程3x2 4x-7=0
解：这里a=3，b=4，c=-7
根据数形结合法，方程可变形为：
（2·3x 4）2=-4×3×（-7） 42，即
（6x 4）2=100
直接开方，得6x 4=±10，
可解得，x1=1，x2=-73。
以上便是对一元二次方程几种特殊解法的详细介绍，可根据具体题目灵活运用，熟练掌握这些方法，可以快速、准确的解答此类题目。
参考文献：
[1]罗增儒，李文铭.数学教学论[M].陕西师范大学出版社，2003.
[2]张奠宙，李士.数学教育学导论[M].高等教育出版社，2003.
[3]罗小伟.中学数学教学论[M].广西民族出版社，2000.
[4]唐瑞芬，朱成杰.数学教学理论选讲[M].华东师范大学出版社，2001.
作者简介：
余望鸿，福建省漳州市，厦门双十中学漳州校区。
关键词：一元二次；因式分解；积差法；数形结合
一、 满足特殊条件的一元二次方程的解法
若一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）的系数满足a±b c=0时，则方程的根为x1=±1，x2=±ca。
证明：如果a b c=0，则a=-b-c…①，根据求根公式x=-b±b2-4ac2a，将①式带入，可得x=-b±b2-4c（-b-c）2a=-b±b2 4bc 4c22a=-b±（b 2c）22a即x1=-b （b 2c）2a=2c2a=ca，x2=-b-（b 2c）2a=2（-b-c）2a=2a2a=1。
对于a-b c=0的情况，证明过程与上述相似，在此省略。
具体解法：若一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）的系数满足a b c=0，由于有一个根为1，故可将方程左边先分解出一个因式（x-1），然后根据二次项ax2的因式为x和ax，常数项c的因式为-1和-c，则方程的另一个因式为（ax-c），即方程可分解为（x-1）（ax-c）=0，所以解得方程的根为x1=1，x2=ca。对于a-b c=0的情况解法类似，故省略。
【例1】解方程9406x2-8289x-1117=0
解析：这个方程各项系数的绝对值都比较大，用传统的方法求解计算量很大，容易出错。仔细观察原方程，发现各项系数的和为零，根据上述性质可知，方程有一根为1。因此方程左边可分解为（x-1）（9406x 1117），从而解出方程。
解：观察可知方程有一根为1，则方程可分解为（x-1）（9406x 1117）=0。
解得x-1=0或9406x 1117=0
∴x1=1，x2=-11179406。
二、 积差法解一元二次方程
积差法是将一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）的常数项移到右边，然后对左右两边的式子进行配凑、分解，使得两边各因式的差相等，再根据因式大小对应相等而求出方程的解。
具体操作如下：
对于一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0），利用积差法求解步骤为：
第一步：移常数项，ax2 bx=-c；
第二步：提取公因式x，x（ax b）=-c；
第三步：两边同乘系数a，ax（ax b）=-ac；
第四步：令-ac=m，则方程为：ax（ax b）=m；
第五步：观察方程两边因式的差，由于左邊两因式ax与ax b的差为b，如果m=m1×m2或m=（-m1）×（-m2）（m1
【例2】解方程2x2-11x 5=0
解：移常数项，得2x2-11x=-5，
提公因式，得x（2x-11）=-5，
两边同乘2，得2x（2x-11）=-10，
（由于2x与2x-11的差为11，所以-10分解的两个因数的差也应该为11）
右边写成乘积形式2x（2x-11）=-1×10
或2x（2x-11）=-10×1，
按大小对应等式，2x=10或2x=1，
（也可写成2x-11=-1或2x-11=-10）
所以x=5或x=12，
即x1=5，x2=12。
三、 数形结合法解一元二次方程
对于一元二次方程ax2 bx c=0（ac<0），将其化为x（ax b）=-c，利用数形结合法求解如下：
1. 当a=1时，方程为x（x b）=-c，构造一个边长为x和x b的矩形，则其面积为-c，再把四个矩形拼成一个大的正方形，正方形的边长为（x x b），如右图所示，根据S大正=4S小矩 S小正，得出方程（2x b）2=-4c b2，然后利用直接开方法即可求出方程的解。
2. 当a≠1时，在方程的两边同乘a，得ax（ax b）=-ac，构造一个边长为ax和ax b的矩形，则其面积为-ac，用与上同样的方法得出方程（2ax b）2=-4ac b2，最后直接开方得出方程的解。
【例3】解方程3x2 4x-7=0
解：这里a=3，b=4，c=-7
根据数形结合法，方程可变形为：
（2·3x 4）2=-4×3×（-7） 42，即
（6x 4）2=100
直接开方，得6x 4=±10，
可解得，x1=1，x2=-73。
以上便是对一元二次方程几种特殊解法的详细介绍，可根据具体题目灵活运用，熟练掌握这些方法，可以快速、准确的解答此类题目。
参考文献：
[1]罗增儒，李文铭.数学教学论[M].陕西师范大学出版社，2003.
[2]张奠宙，李士.数学教育学导论[M].高等教育出版社，2003.
[3]罗小伟.中学数学教学论[M].广西民族出版社，2000.
[4]唐瑞芬，朱成杰.数学教学理论选讲[M].华东师范大学出版社，2001.
作者简介：
余望鸿，福建省漳州市，厦门双十中学漳州校区。