【摘要】本文针对大学线性代数课程中线性方程组解的存在性这一教学内容，从二维几何空间内两条直线的相对位置关系出发，阐述了两条直线不同交会情况下，需要满足的几何条件与线性方程组解的判别定理中矩阵秩的关系在数学上的等价性.从几何空间的自由度与约束度的概念出发，分析了这两个因素对方程组解的存在性的影响.教师在教学中采用由具体到一般的教学思路，有助于学生对抽象的数学概念的理解.
　　【关键词】线性方程组;解的存在性;约束度;自由度
　　【基金项目】西安电子科技大学2019教学改革重点项目资助（20901190007）
　　一、引 言
　　线性方程组是线性代数中非常重要的知识点[1][2]，涉及线性方程组解的存在性的判别以及方程组的解法等内容.由于方程组的有解判别定理的条件是采用矩阵的秩这一抽象概念表述的，所以学生较难理解和把握.对于这部分教学内容，有的教师从具体的案例出发阐述了其解法与技巧[3][4]，有的教师从教学方法方面进行了有益的探讨[5][6]，但这些做法基本上都是从纯数学概念的角度去分析相关问题.本文针对方程组有解判别定理，按照从具体到抽象自然过渡的思维方式，探讨其教学方法.从学生熟悉的相对具体的几何空间出发，对线性方程组的几何意义及有解、无解、多解需要满足的几何条件，与线性方程组有解判别定理中抽象的矩阵秩的关系建立联系与对比，使学生对线性方程组解的判别定理的理解有一个由具体到抽象的自然过渡.最后，关于方程的个数及未知量的个数，从几何空间上的约束度及自由度的概念出发，直观地解释了二者对方程组解的存在性的影响，进一步加深学生对方程组问题本质的理解.
　　二、线性方程组有解判别定理
　　设A为一个m行n列的已知实矩阵，b为一个m维的已知实列向量，x为n维的未知列向量，则n元一次线性方程组的矩阵形式可表示为：
　　构造增广矩阵B=[A|b]，则有方程组解的存在性定理如下[2]：
　　定理：对于（1）式所表示的n元一次线性方程组，
　　1.其有解的充分必要条件是rank（A）=rank（B）;
　　2.其有唯一解的充分必要条件是rank（A）=rank（B）=n;
　　3.其有多解的充分必要条件是rank（A）=rank（B）