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[摘 要] 文章记载了“直线与圆的位置关系”一课的教学预设和教学过程. 教师在设计教学时依托温故知新、一题多变、一题多解，让学生感受数学探究的过程，孕育创新思维. 通过教学实践，研究者提出多媒体的融入是创新思维培养的需要和变式训练是培养创新思维的必然选择的认识.
[关键词] 创新思维;一题多变;一题多解;培养
当下，科技迅猛发展，各种各样的科学技术影响着人们的生活，自然也不可避免地影响到教与学的方式，将多媒体技术引入课堂是实现教育现代化的重要任务，基于此，多媒体技术与课程的整合自然应运而生. 在多媒体辅助下，创设逼真的教学环境，让知识的呈现一目了然，给予学生形象而直观的数学体验，进而有效地拓展思维空间，孕育创新思维. 下面笔者以“直线与圆的位置关系”一课为例，谈谈利用多媒体辅助教学，唤醒创新意识的教学思路.
[?] 教学内容分析
高中生在初中阶段已经对直线与圆的位置关系具备了一定的研究能力，虽然本班是普通班，但是学生勤于思考，并有着较好的基础，从而为此节课的学习奠定了良好的基础.
1. 教学目标
（1）认知目标：探索判断直线与圆位置关系的方法，熟练掌握并准确运用圆的半弦、弦心距及半径间的关系.
（2）能力目标：通过学习，发展猜想能力和合情推理的能力，体会数形结合的思想和方法.
（3）情感目标：直观、动态感知多媒体对于研究几何图形的诸多优势，感悟数学美.
2. 教学重点和难点
在直观体验中通过对图形的观察，强化发现问题的意识，渗透变化的观点;在问题的解决中建立数学内在美的感受.
3. 教学方法
充分利用多媒体技术辅助教学，让学生感受几何画板和PPT的有效应用.
[?] 教学过程
1. 依托温故知新感悟新知
问题1：试着说一说判断直线与圆位置关系的方法.
问题2：圆的半弦、弦心距及半径之间有何关系？
设计意图：学生基于初中阶段对知识的认识可以准确描述以上问题. 通过以上问题的复习与回顾，在思考和提炼中，准确得出结论.
2. 依托一题多变训练思维
例1：试判断圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线l：x+y+1=0的距离为的点有几个.
分析：借助d与r的关系来判断圆与直线的相对位置关系，这是学生可以完成的，这里学生很快通过判断交点的个数确定点的个数. 之后，教师再以PPT动画展现整个过程，让学生直观发现有3个这样的点.
变式题组：
变式1：试判断圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线l：x+y+1=0的距离为1的点有几个.
变式2：试判断圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线l：x+y+1=0的距离为2的点有几个.
变式3：试判断圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线l：x+y+1=0的距离为3的点有几个.
变式4：试判断圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线l：x+y+1=0的距离为5的点有几个.
学生再一次借助相同的分析方法，直观而准确地得出结论.
设计意图：例1和变式分别从直观感知和反复训练中抽象出对几何图形的认识，发现规律. 以上的设计并未直接给出问题的结论，仅仅是利用直观功能丰富了学生对新知的直观感悟，将知识与方法的探索融入问题之中，激起数学思考，积累探究活动经验，优化数学思维.
例2：已知圆x2+y2=1，试求出直线l：y=k（x-2）+3与圆有两个交点时k的值，一个交点时呢？没有交点呢？
分析：作出图1，可以发现直线l本质上就是含有参数k的过定点P（2，3）的直线系. 更进一步地，一边观察，一边利用几何画板进行操作，从临界位置开始，经历没有交点到有一个交点，再到有两个交点，再到有一个交点，最后回到没有交点的过程，从而得出相切时直线的斜率是临界位置的k值，这样，通过一种自然的方式探索得出结论却不失其本质.
变式1：如图2，已知圆x2+y2=1，试求出直线l：x+y-m=0与圆有两个交点时m的值，一个交点呢？没有交点呢？
变式2：如图3，已知曲线y=，试求出直线l：y=k（x-2）+3与曲线有一个交点时k的值，两个交点呢？没有交点呢？
变式3：如图4，已知曲线y=，试求出直线l：x+y-m=0与曲线有一个交点时m的值，两个交点呢？没有交点呢？
设计意图：由于本节课仅仅是深入研究直线与圆的位置关系，所以这里的变式训练主要是为了在关键处拨动学生的思维. 这里从简洁干练的例2出发设计变式题组：变式1改变了直线方程，并引入了新的参数，以探究位置关系找寻到临界位置和观察直线纵截距的变化过程;变式2则完成了从圆到半圆的变化，引导学生在观察位置关系和交点变化中形成认识;变式3中的曲线方程和直线方程都有了变化，从而跳跃到更加一般的情形下. 在这样改变题设条件的变式题组中，在几何画板的动态演示下，让学生更加深入地理解问题本质，利于在数学问题中寻求真理，唤醒创新思维[1].
3. 依托一题多解活化思维
例3：已知直线l：mx+3y-4m-6=0和圆C：（x-1）2+（y-2）2=16.
（1）求证：圆C与直线l相交;
（2）试求出直线l被圆C截得的弦长最短时直线l的方程，截得的弦長最长呢？
分析：第（1）问难度较小，学生可以运用多种方法予以证明;对于第（2）问，学生可以在直线l的动态变化中得出弦长最短时的情形，即l⊥CP（如图5），且明晰直线l过圆心C时截得的弦长AB最长. 不过，由于此处l⊥CP时弦长AB最短这一情形说明起来有一些难度，不失时机地运用几何画板动态证明就显得十分必要了，它直观而简洁地完成了证明过程. 引申：试求出直线l被圆C截得的弦与圆心C构成的三角形面积最大时直线l的倾斜角.
学生经过思考后，易生成以下思路：
解法1：如图6，从三角形的面积入手，求以AB为底边，圆心C到直线l的距离为高的三角形面积. 设直线l的方程为y-2=k（x-4），则圆心C到直线l的距离是d=，弦AB=2，S=AB·d=3. 令t=（0<t≤1），μ==-9t2+2t+7=-9
t-
+. 当t=时，即k=±2时，μ=，（S）=8. 当斜率k不存在时，S=3<8. 所以当直线倾斜角是arctan2或π-arctan2时，面积最大.
解法2：从面积的表示入手得出面积公式S=absinθ，且图6中的三角形为等腰三角形，当两半径夹角为90°时面积最大，从而借助等腰直角三角形线段的大小关系易得r=d，进而得出正确结论.
解法3：由解法1中S=AB·d=md，且m2+d2=r2，易想到借助基本不等式解决本题：当且仅当m=d时面积最大，进而得出正确结论.
设计意图：这样的问题在后期的数学学习中经常会遇到，这里教师鼓励学生一题多解，引导学生更深层次地看待问题，从一般性解法到创新解法，逐步开启思维闸门，更好地把握知识间的联系.
[?] 教学反思
1. 多媒体的融入是创新思维培养的需要
新课程教学以发现学生核心素养为导向，着力创设利于数学抽象和数学思维的教学情境，将思维能力的培养落到行动上[2]. 多媒体的融入为数学课堂教学注入了新的活力，学生在直观体验的刺激下形成了新的活动体验，完成了重难点的突破，实现了创新思维的孕育. 本课中，学生对位置关系的理解很大程度上来自于对直观图形和动态图形的直观感悟，利用几何画板进行演示既培养了学生的直观想象，又让学生直观感受到数学的内在美，同时很好地孕育了创新思维.
2. 变式训练是培养创新思维的必然选择
变式训练不仅可以优化解决问题的思路，也是培养创新思维的必然选择，它是教师课堂训练的最重要方式. 本课中的一题多解和一题多变正是学生在自我探索和集体讨论中获得的结论. 通过这样的训练形式将学生的已有知识完整汇总，真正做到“一叶知秋”. 同时，教师在预设的框架下应对学生的生成作出肯定、鼓励和说明，如一名学生在一题多解的活动中联想到“补三角形为菱形，且该菱形为正方形时面积最大”这一思路，这就是一个很好的创新思维的活动历程，笔者自然给予了极大的表扬. 就这样，在一来二去的交流中，让学生真正理解和掌握问题的本质，实现了创新思维的生长.
总之，如何有效地沟通多媒体与课堂教学碰撞出创造的火花是新课程下每个一线数学教师都需要思考的问题. 创新思维能力的培养并非一蹴而就的，需要融入每一节课中，融化在每一个教学环节中，需要利用多媒体技术，需要聚焦每一个教学元素，让学生真正进入数学思考的过程，从而提升创新思维能力.
参考文献：
[1] 耿克非. 培養学生的创新思维能力[J]. 安徽教育，2004（11）.
[2] 左俊凤. 充分利用教材培养学生的探究意识[J]. 中学数学，2003（02）.
[关键词] 创新思维;一题多变;一题多解;培养
当下，科技迅猛发展，各种各样的科学技术影响着人们的生活，自然也不可避免地影响到教与学的方式，将多媒体技术引入课堂是实现教育现代化的重要任务，基于此，多媒体技术与课程的整合自然应运而生. 在多媒体辅助下，创设逼真的教学环境，让知识的呈现一目了然，给予学生形象而直观的数学体验，进而有效地拓展思维空间，孕育创新思维. 下面笔者以“直线与圆的位置关系”一课为例，谈谈利用多媒体辅助教学，唤醒创新意识的教学思路.
[?] 教学内容分析
高中生在初中阶段已经对直线与圆的位置关系具备了一定的研究能力，虽然本班是普通班，但是学生勤于思考，并有着较好的基础，从而为此节课的学习奠定了良好的基础.
1. 教学目标
（1）认知目标：探索判断直线与圆位置关系的方法，熟练掌握并准确运用圆的半弦、弦心距及半径间的关系.
（2）能力目标：通过学习，发展猜想能力和合情推理的能力，体会数形结合的思想和方法.
（3）情感目标：直观、动态感知多媒体对于研究几何图形的诸多优势，感悟数学美.
2. 教学重点和难点
在直观体验中通过对图形的观察，强化发现问题的意识，渗透变化的观点;在问题的解决中建立数学内在美的感受.
3. 教学方法
充分利用多媒体技术辅助教学，让学生感受几何画板和PPT的有效应用.
[?] 教学过程
1. 依托温故知新感悟新知
问题1：试着说一说判断直线与圆位置关系的方法.
问题2：圆的半弦、弦心距及半径之间有何关系？
设计意图：学生基于初中阶段对知识的认识可以准确描述以上问题. 通过以上问题的复习与回顾，在思考和提炼中，准确得出结论.
2. 依托一题多变训练思维
例1：试判断圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线l：x+y+1=0的距离为的点有几个.
分析：借助d与r的关系来判断圆与直线的相对位置关系，这是学生可以完成的，这里学生很快通过判断交点的个数确定点的个数. 之后，教师再以PPT动画展现整个过程，让学生直观发现有3个这样的点.
变式题组：
变式1：试判断圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线l：x+y+1=0的距离为1的点有几个.
变式2：试判断圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线l：x+y+1=0的距离为2的点有几个.
变式3：试判断圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线l：x+y+1=0的距离为3的点有几个.
变式4：试判断圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线l：x+y+1=0的距离为5的点有几个.
学生再一次借助相同的分析方法，直观而准确地得出结论.
设计意图：例1和变式分别从直观感知和反复训练中抽象出对几何图形的认识，发现规律. 以上的设计并未直接给出问题的结论，仅仅是利用直观功能丰富了学生对新知的直观感悟，将知识与方法的探索融入问题之中，激起数学思考，积累探究活动经验，优化数学思维.
例2：已知圆x2+y2=1，试求出直线l：y=k（x-2）+3与圆有两个交点时k的值，一个交点时呢？没有交点呢？
分析：作出图1，可以发现直线l本质上就是含有参数k的过定点P（2，3）的直线系. 更进一步地，一边观察，一边利用几何画板进行操作，从临界位置开始，经历没有交点到有一个交点，再到有两个交点，再到有一个交点，最后回到没有交点的过程，从而得出相切时直线的斜率是临界位置的k值，这样，通过一种自然的方式探索得出结论却不失其本质.
变式1：如图2，已知圆x2+y2=1，试求出直线l：x+y-m=0与圆有两个交点时m的值，一个交点呢？没有交点呢？
变式2：如图3，已知曲线y=，试求出直线l：y=k（x-2）+3与曲线有一个交点时k的值，两个交点呢？没有交点呢？
变式3：如图4，已知曲线y=，试求出直线l：x+y-m=0与曲线有一个交点时m的值，两个交点呢？没有交点呢？
设计意图：由于本节课仅仅是深入研究直线与圆的位置关系，所以这里的变式训练主要是为了在关键处拨动学生的思维. 这里从简洁干练的例2出发设计变式题组：变式1改变了直线方程，并引入了新的参数，以探究位置关系找寻到临界位置和观察直线纵截距的变化过程;变式2则完成了从圆到半圆的变化，引导学生在观察位置关系和交点变化中形成认识;变式3中的曲线方程和直线方程都有了变化，从而跳跃到更加一般的情形下. 在这样改变题设条件的变式题组中，在几何画板的动态演示下，让学生更加深入地理解问题本质，利于在数学问题中寻求真理，唤醒创新思维[1].
3. 依托一题多解活化思维
例3：已知直线l：mx+3y-4m-6=0和圆C：（x-1）2+（y-2）2=16.
（1）求证：圆C与直线l相交;
（2）试求出直线l被圆C截得的弦长最短时直线l的方程，截得的弦長最长呢？
分析：第（1）问难度较小，学生可以运用多种方法予以证明;对于第（2）问，学生可以在直线l的动态变化中得出弦长最短时的情形，即l⊥CP（如图5），且明晰直线l过圆心C时截得的弦长AB最长. 不过，由于此处l⊥CP时弦长AB最短这一情形说明起来有一些难度，不失时机地运用几何画板动态证明就显得十分必要了，它直观而简洁地完成了证明过程. 引申：试求出直线l被圆C截得的弦与圆心C构成的三角形面积最大时直线l的倾斜角.
学生经过思考后，易生成以下思路：
解法1：如图6，从三角形的面积入手，求以AB为底边，圆心C到直线l的距离为高的三角形面积. 设直线l的方程为y-2=k（x-4），则圆心C到直线l的距离是d=，弦AB=2，S=AB·d=3. 令t=（0<t≤1），μ==-9t2+2t+7=-9
t-
+. 当t=时，即k=±2时，μ=，（S）=8. 当斜率k不存在时，S=3<8. 所以当直线倾斜角是arctan2或π-arctan2时，面积最大.
解法2：从面积的表示入手得出面积公式S=absinθ，且图6中的三角形为等腰三角形，当两半径夹角为90°时面积最大，从而借助等腰直角三角形线段的大小关系易得r=d，进而得出正确结论.
解法3：由解法1中S=AB·d=md，且m2+d2=r2，易想到借助基本不等式解决本题：当且仅当m=d时面积最大，进而得出正确结论.
设计意图：这样的问题在后期的数学学习中经常会遇到，这里教师鼓励学生一题多解，引导学生更深层次地看待问题，从一般性解法到创新解法，逐步开启思维闸门，更好地把握知识间的联系.
[?] 教学反思
1. 多媒体的融入是创新思维培养的需要
新课程教学以发现学生核心素养为导向，着力创设利于数学抽象和数学思维的教学情境，将思维能力的培养落到行动上[2]. 多媒体的融入为数学课堂教学注入了新的活力，学生在直观体验的刺激下形成了新的活动体验，完成了重难点的突破，实现了创新思维的孕育. 本课中，学生对位置关系的理解很大程度上来自于对直观图形和动态图形的直观感悟，利用几何画板进行演示既培养了学生的直观想象，又让学生直观感受到数学的内在美，同时很好地孕育了创新思维.
2. 变式训练是培养创新思维的必然选择
变式训练不仅可以优化解决问题的思路，也是培养创新思维的必然选择，它是教师课堂训练的最重要方式. 本课中的一题多解和一题多变正是学生在自我探索和集体讨论中获得的结论. 通过这样的训练形式将学生的已有知识完整汇总，真正做到“一叶知秋”. 同时，教师在预设的框架下应对学生的生成作出肯定、鼓励和说明，如一名学生在一题多解的活动中联想到“补三角形为菱形，且该菱形为正方形时面积最大”这一思路，这就是一个很好的创新思维的活动历程，笔者自然给予了极大的表扬. 就这样，在一来二去的交流中，让学生真正理解和掌握问题的本质，实现了创新思维的生长.
总之，如何有效地沟通多媒体与课堂教学碰撞出创造的火花是新课程下每个一线数学教师都需要思考的问题. 创新思维能力的培养并非一蹴而就的，需要融入每一节课中，融化在每一个教学环节中，需要利用多媒体技术，需要聚焦每一个教学元素，让学生真正进入数学思考的过程，从而提升创新思维能力.
参考文献：
[1] 耿克非. 培養学生的创新思维能力[J]. 安徽教育，2004（11）.
[2] 左俊凤. 充分利用教材培养学生的探究意识[J]. 中学数学，2003（02）.