论文部分内容阅读
2010年江门一模理科第20题是一道有关函数方面的试题，试题两问由浅入深，第（1）问相对基础，而第（2）问想完整解答还需较强的数学能力．现就本题作如下解答与分析．
一、试题回放
已知函数f（x）=x｜x-a｜，a∈R是常数．
⑴若a=1，求y=f（x）在点P（-1，f(-1)）处的切线；
⑵是否存在常数a，使y=f（x）＜2x+1对任意x∈（-∞，2）恒成立？若存在，求常数a的取值范围；若不存在，简要说明理由．
二、考情分析
函数是高中数学教学内容中的重点，而含绝对值符号的函数又是难点，若在其中又带上一参数a，想要轻易解决这道试题就有难度了！
幸亏在第（1）问中指出a=1时的特殊情形，许多考生还是可以动手做做，拿下一些分数；在第2问中，大部分考生企图分类讨论，结果要么因思路不清而产生遗漏，无法完整解答，要么久思而不得其果最终放弃，也有一些考生从数形结合入手，但由于问题中所对应的图形比较复杂，最终不了了之．整道题全市考生的平均分不超过4分，分数几乎都靠第（1）问所得，而完整解答出来的人数不到1%．
的确，第（2）问是命题者有心要考察考生的分析问题与解决问题的实际能力而设计的，是对上层考生的再次区分．要想解答本题，自然会想到数形结合、分离变量、等价转化、分类讨论等方法．而数形结合或许能得出结果但仍需加以证明，分离变量需先取掉绝对值符号再来分离，而分类讨论的情形又显得比较繁复．在考试时如何在短时间内选取最佳解题方法，那就有赖于考生的思维灵活程度了．
三、解答方法
（一）试题第（1）问
试题第（1）问相对较易，解答如下：
【解：（1）】a=1时，f(x)=x｜x-1｜=x2-x，x≥1x-x2.x＜1
在点P（-1，f(-1)）附近，f(x)=x-x2，f ′(x)=1-2x，f（-1）=-2．
所以点P为（-1，-2），该处切线的斜率k=
f ′(-1)=3，所求切线方程为y+2=3（x+1），即3x-y+1=0．
（二）试题第（2）问
针对本问下面给出三种解法．
【方法一】数形结合，以形助数
函数f(x)=x｜x-a｜的图像依赖a的变化而变化，而
g（x）=2x+1的图像是一条确定的直线．
当a＜0时，取a=-1，结合图形，不合题意；
当a=0时，f(x)=x｜x｜，取x=-1∈(-∞，2)，f(-1)=g(-1)，不合题意；
当a=4时，f(x)=x｜x-4｜，取x=1∈(-∞，2)，f(1)=g(1)，不合题意；
当a＜4时，结合图形，不合题意．
由以上情形初步判断的取值范围为0＜a＜4．接下来再给予推理证明.（略，请同学们思考）
【方法二】等价变形，分离变量
在恒成立问题中，常用分离变量法．此题无法直接对x与a作出分离，需先对x作分类讨论，去掉绝对值符号，再等价变形才能分离开，然后转化为恒成立问题．
由题意可得：要使x｜x-a｜＜2x+1对任意x∈(-∞，2)恒成立……(＊)
① x=0时，(＊)等价于0＜1，对任意a∈R恒成立．
② 0＜x＜2时，(＊)等价于｜x-a｜＜2+恒成立，即-2-＜a-x＜2+恒成立，即x-2-＜a<2+x+恒成立．
由于2+x+≥4，当且仅当x=1时“=”成立，
令y=x-2-，由y′=(x-2-)′=1+＞0，
在0＜x＜2单调递增，故x-2-＜-，
所以，在0＜x＜2时a的取值为-≤a＜4．
③ x＜0时，(＊)等价于｜x-a｜＞2+恒成立，
等价于a＞2+x+恒成立，或a＜x-2-恒成立．
由于2+x+=2-[(-x)+(-)]≤2-2=0，当且仅当x=-1时“=”成立，所以a＜0，
令y=x-2-，当时x＜0函数y=x-2-的值域为R，
故a＜x-2-恒成立的a的取值为．
所以，在x＜0时a的取值为a＜0．
综上，要使f（x）=2x+1对任意x∈(-∞，2)恒成立，需取①②③时的交集，即{a｜0＜a＜4}．
【方法三】分类蚕食，等价转化
由于函数的自变量指定了在(-∞，2)上，为了去掉绝对值符号，故只需对a分类讨论：由题意可得：要使x｜x-a｜＜2x+1对任意x∈(-∞，2)恒成立，
（1）若a＜2，
① 当x≥a时，原不等式等价于x2-（a+2）x-1＜0在[a，2)上恒成立，令g(x)=x2-（a+2）x-1，则等价于 g(a)＜0，g(2)≤0恒成立，即a2-（a+2)a-1＜0，22-2（a+2)-1≤0恒成立，解得：-＜a＜2．
② 当x＜a时，原不等式等价于x2-（a-2）x+1＜0在(-∞，2)上恒成立，令 h(x)=x2-（a-2）x+1，则等价于（Ⅰ）：=（a-2）2-4＜0恒成立，或（Ⅱ）≥0，≥0，h(a)≥0恒成立，
解（Ⅰ）得：0＜a＜2，解（Ⅱ）得：a不存在，从而0＜a＜2．
综合①②得a的取值范围为0＜a＜2．
（2）若a≥2，此时x-a＜0，原不等式等价于x2+（2-a）x+1>0在(-∞，2)上恒成立，令k(x)=x2+（2-a）x+1 ，则等价于（Ⅲ）：=（a-2)2-4＜0恒成立，或（Ⅳ）≥2，≥0，h(2)≥0恒成立，解（Ⅰ）得：0＜a＜4，解（Ⅱ）得：a不存在，又a≥2，故a的取值范围为2≤a＜4．综合（1）（2）可知：a的取值范围为{a｜0＜a＜4}．
四、感悟与实践
（一）感悟
当函数表达式中的绝对值符号内又带有参数要讨论恒成立问题时，处理这类问题通常可从以下三方面入手：
1． 数形结合，以形助数．首先画出随参数变化的代表性草图，在运动中分析各个数量的相互关系，找出规律，再借助数来推理表达或给予证明．
2． 等价变形，分离变量．目的是分离变量，为达到此一目的需先去掉绝对值符号，在等价变形中有时还须在规定的范围内分类讨论，如本题中对x分成x=0、0＜x＜2、x＜0三种情形讨论；当变量分离后常借助f(x)≤a恒成立a≥f(x)max或f(x)≥a恒成立a≤f(x)min等知识，伴随单调性的分析，得出分类后各局部参数的取值范围，再求其交集，最后得到整体范围内恒成立时参数的所求范围．
3． 分类蚕食，等价转化．直指目标，直接对所求参数加以分类讨论，化解绝对值符号的束缚，盘活数学表达式，在等价转化后利用二次（或一次）函数的图像得出等价的不等式（或组），得出分类后各局部的参数的取值范围，再求其并集，最后得到参数的所求范围．
接下来通过一道练习试一试.
（二）实践
已知函数f(x)=2，x=01-，x≠0（t＞0）
⑴若t=1，0＜a＜b，f(a)=f(b)．
证明：ab＞1；
⑵是否存在常数t，使f(x)＞2x+1对任意x∈(-∞，2)恒成立？若存在，求常数t的取值范围；若不存在，简要说明理由．
【答案】（1）略；（2）存在，{t｜t≥12}．
（作者单位：江门市新会华侨中学）
责任编校 徐国坚
一、试题回放
已知函数f（x）=x｜x-a｜，a∈R是常数．
⑴若a=1，求y=f（x）在点P（-1，f(-1)）处的切线；
⑵是否存在常数a，使y=f（x）＜2x+1对任意x∈（-∞，2）恒成立？若存在，求常数a的取值范围；若不存在，简要说明理由．
二、考情分析
函数是高中数学教学内容中的重点，而含绝对值符号的函数又是难点，若在其中又带上一参数a，想要轻易解决这道试题就有难度了！
幸亏在第（1）问中指出a=1时的特殊情形，许多考生还是可以动手做做，拿下一些分数；在第2问中，大部分考生企图分类讨论，结果要么因思路不清而产生遗漏，无法完整解答，要么久思而不得其果最终放弃，也有一些考生从数形结合入手，但由于问题中所对应的图形比较复杂，最终不了了之．整道题全市考生的平均分不超过4分，分数几乎都靠第（1）问所得，而完整解答出来的人数不到1%．
的确，第（2）问是命题者有心要考察考生的分析问题与解决问题的实际能力而设计的，是对上层考生的再次区分．要想解答本题，自然会想到数形结合、分离变量、等价转化、分类讨论等方法．而数形结合或许能得出结果但仍需加以证明，分离变量需先取掉绝对值符号再来分离，而分类讨论的情形又显得比较繁复．在考试时如何在短时间内选取最佳解题方法，那就有赖于考生的思维灵活程度了．
三、解答方法
（一）试题第（1）问
试题第（1）问相对较易，解答如下：
【解：（1）】a=1时，f(x)=x｜x-1｜=x2-x，x≥1x-x2.x＜1
在点P（-1，f(-1)）附近，f(x)=x-x2，f ′(x)=1-2x，f（-1）=-2．
所以点P为（-1，-2），该处切线的斜率k=
f ′(-1)=3，所求切线方程为y+2=3（x+1），即3x-y+1=0．
（二）试题第（2）问
针对本问下面给出三种解法．
【方法一】数形结合，以形助数
函数f(x)=x｜x-a｜的图像依赖a的变化而变化，而
g（x）=2x+1的图像是一条确定的直线．
当a＜0时，取a=-1，结合图形，不合题意；
当a=0时，f(x)=x｜x｜，取x=-1∈(-∞，2)，f(-1)=g(-1)，不合题意；
当a=4时，f(x)=x｜x-4｜，取x=1∈(-∞，2)，f(1)=g(1)，不合题意；
当a＜4时，结合图形，不合题意．
由以上情形初步判断的取值范围为0＜a＜4．接下来再给予推理证明.（略，请同学们思考）
【方法二】等价变形，分离变量
在恒成立问题中，常用分离变量法．此题无法直接对x与a作出分离，需先对x作分类讨论，去掉绝对值符号，再等价变形才能分离开，然后转化为恒成立问题．
由题意可得：要使x｜x-a｜＜2x+1对任意x∈(-∞，2)恒成立……(＊)
① x=0时，(＊)等价于0＜1，对任意a∈R恒成立．
② 0＜x＜2时，(＊)等价于｜x-a｜＜2+恒成立，即-2-＜a-x＜2+恒成立，即x-2-＜a<2+x+恒成立．
由于2+x+≥4，当且仅当x=1时“=”成立，
令y=x-2-，由y′=(x-2-)′=1+＞0，
在0＜x＜2单调递增，故x-2-＜-，
所以，在0＜x＜2时a的取值为-≤a＜4．
③ x＜0时，(＊)等价于｜x-a｜＞2+恒成立，
等价于a＞2+x+恒成立，或a＜x-2-恒成立．
由于2+x+=2-[(-x)+(-)]≤2-2=0，当且仅当x=-1时“=”成立，所以a＜0，
令y=x-2-，当时x＜0函数y=x-2-的值域为R，
故a＜x-2-恒成立的a的取值为．
所以，在x＜0时a的取值为a＜0．
综上，要使f（x）=2x+1对任意x∈(-∞，2)恒成立，需取①②③时的交集，即{a｜0＜a＜4}．
【方法三】分类蚕食，等价转化
由于函数的自变量指定了在(-∞，2)上，为了去掉绝对值符号，故只需对a分类讨论：由题意可得：要使x｜x-a｜＜2x+1对任意x∈(-∞，2)恒成立，
（1）若a＜2，
① 当x≥a时，原不等式等价于x2-（a+2）x-1＜0在[a，2)上恒成立，令g(x)=x2-（a+2）x-1，则等价于 g(a)＜0，g(2)≤0恒成立，即a2-（a+2)a-1＜0，22-2（a+2)-1≤0恒成立，解得：-＜a＜2．
② 当x＜a时，原不等式等价于x2-（a-2）x+1＜0在(-∞，2)上恒成立，令 h(x)=x2-（a-2）x+1，则等价于（Ⅰ）：=（a-2）2-4＜0恒成立，或（Ⅱ）≥0，≥0，h(a)≥0恒成立，
解（Ⅰ）得：0＜a＜2，解（Ⅱ）得：a不存在，从而0＜a＜2．
综合①②得a的取值范围为0＜a＜2．
（2）若a≥2，此时x-a＜0，原不等式等价于x2+（2-a）x+1>0在(-∞，2)上恒成立，令k(x)=x2+（2-a）x+1 ，则等价于（Ⅲ）：=（a-2)2-4＜0恒成立，或（Ⅳ）≥2，≥0，h(2)≥0恒成立，解（Ⅰ）得：0＜a＜4，解（Ⅱ）得：a不存在，又a≥2，故a的取值范围为2≤a＜4．综合（1）（2）可知：a的取值范围为{a｜0＜a＜4}．
四、感悟与实践
（一）感悟
当函数表达式中的绝对值符号内又带有参数要讨论恒成立问题时，处理这类问题通常可从以下三方面入手：
1． 数形结合，以形助数．首先画出随参数变化的代表性草图，在运动中分析各个数量的相互关系，找出规律，再借助数来推理表达或给予证明．
2． 等价变形，分离变量．目的是分离变量，为达到此一目的需先去掉绝对值符号，在等价变形中有时还须在规定的范围内分类讨论，如本题中对x分成x=0、0＜x＜2、x＜0三种情形讨论；当变量分离后常借助f(x)≤a恒成立a≥f(x)max或f(x)≥a恒成立a≤f(x)min等知识，伴随单调性的分析，得出分类后各局部参数的取值范围，再求其交集，最后得到整体范围内恒成立时参数的所求范围．
3． 分类蚕食，等价转化．直指目标，直接对所求参数加以分类讨论，化解绝对值符号的束缚，盘活数学表达式，在等价转化后利用二次（或一次）函数的图像得出等价的不等式（或组），得出分类后各局部的参数的取值范围，再求其并集，最后得到参数的所求范围．
接下来通过一道练习试一试.
（二）实践
已知函数f(x)=2，x=01-，x≠0（t＞0）
⑴若t=1，0＜a＜b，f(a)=f(b)．
证明：ab＞1；
⑵是否存在常数t，使f(x)＞2x+1对任意x∈(-∞，2)恒成立？若存在，求常数t的取值范围；若不存在，简要说明理由．
【答案】（1）略；（2）存在，{t｜t≥12}．
（作者单位：江门市新会华侨中学）
责任编校 徐国坚