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摘 要：空气净化器和新风机是常用的两种空气净化设备，二者都是利用物理的方法吸附或者除去空气中的颗粒物，但具体原理有所不同：空气净化器是封闭循环方式净化室内空气，而新风机是开放循环方式，不断吸收新鲜空气并且排出室内旧空气。除了换气效果之外，新风机在净化能力上是否比空气净化器更胜一筹呢？本文利用微分方程建立了二者的数学模型，以数学的方法给出了这个问题的一个严谨答案。
关键词：空气净化器;新风机;微分方程;数学模型
1 原理分析
如下图1所示，空气净化器采用闭循环工作模式，經过净化后的空气在室内循环，被空气净化器吸入后再次进行净化，室内是一个封闭的整体。新风机的原理是，它不断地从室外吸入空气，经净化后吸入室内，同时，在压力作用下，等体积的室内空气被排出到室外。室内与室外始终是交互的。
2 空气净化器建模
假设空间密封良好，与外界没有连通。假设房间的体积为v0，时刻t0=0时，空气中含有颗粒物质量为m，空气中颗粒物浓度为ρ=ρ（t），并且有ρ（0）=m/v0。假设现有一台空气净化器，其单位时间内可以过滤的空气体积为v，过滤效率为λ，为了用微积分的方法建立微分方程，考虑在一个微小的时间Δt内，房间内的颗粒物质量变化是：
3 新风机建模
假设房间不密封。新风机单位时间内从室外吸收体积为v，并且将同体积的空气排出室外。假设吸入空气浓度恒定等于初始浓度mv0，而排出空气浓度等于房间内当前浓度ρ（t）。考察时刻t时一小段时间Δt内房间内空气中所含颗粒物质量变化值：应该等于吸入空气过滤后所含颗粒物减去排出室外的空气中所含颗粒物，其等式如下：
4 对两种理想情况的分析
4.1 效果
假设v0=1，此设房间内颗粒物初始浓度为m。令t→+可得，ρ1=0，ρ2=（1-λ）mv0，这说明，新风机不能将空气内颗粒物浓度降低到0，其最大极限是1-λ，如果净化效率是90%，那么终值便是10%。而空气净化器，则可以将颗粒物浓度降低到0（假设滤芯可以吸附任意尺寸颗粒物）。因此，在效果比拼上是空气净化器胜出。
4.2 速度
同上，令v0=1，令φ（t）=ρ1-ρ2=me-λvt-（1-λ）m-λme-vt，则：
由于λ<1，因此φ′（t）<0，所以φ（t）单调递减，因此当t>0时，φ（t）<φ（0）=0，因此ρ1<ρ2是恒成立的。
4.3 数据仿真
假设单位时间内能后净化的空气占空间体积0.4%，空气净化器和新风机的净化效率λ分别取0.9，仿真结果如下图2所示。
仿真结果显示，在净化速度上，空气净化器也较新风机更快一些。
5 非理想状况下的空气净化器建模
以上建模是基于房间完全密封的理想状况，而在实际中房间通常不是完全密封的。房间不密封对于新风机没有影响，因为新风机的原理就是会排出空气，但是对空气净化器有影响。现在我们假设房间存在着和外界的空气交换过程，并且假设单位时间内的交换量为kv，其中k<1。像在（二）中一样，考察从t到t+Δt内一小短时间内室内颗粒物质量变化，重新建立方程如下：
当k=1-λ时，ρ3=ρ2，此时净化器与新风机效果相同，当k>1-λ时，ρ3>ρ2，此时净化器的效果不如新风机。一个典型的仿真结果如下图3所示，取λ=0.9，k=0.15>1-λ。
6 总结
结合以上的数学分析和仿真结果，可以发现：空气净化器和新风机的效果优劣很大程度上取决于房间密封的情况。对于能够良好密封的房间，空气净化器的效果明显好于空气净化器;而对于非密封房间，则空气净化器效果可能反而不如新风机。但是完全密封的房间，可能导致人缺氧、二氧化碳中毒等问题，因此，作者认为新风机是更好的选择，特别是在人员比较密集的学校、商场等公共场所，更是如此。
参考文献：
[1]同济大学数学系.高等数学上册（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2015.
[2]杨起帆，边馥萍.数学模型[M].浙江大学出版社，1990.
[3]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003.
[4]D.N.Burghes，M.S.Borrie.Modeling with Differential Equations[M].Chichester：Horwood，1981.
[5]M.Mraun.微分方程及其应用[M].北京：人民教育出版社，1980.
[6]W.F.Lucas.微分方程模型[M].长沙：国防科技大学出版社，1988.
关键词：空气净化器;新风机;微分方程;数学模型
1 原理分析
如下图1所示，空气净化器采用闭循环工作模式，經过净化后的空气在室内循环，被空气净化器吸入后再次进行净化，室内是一个封闭的整体。新风机的原理是，它不断地从室外吸入空气，经净化后吸入室内，同时，在压力作用下，等体积的室内空气被排出到室外。室内与室外始终是交互的。
2 空气净化器建模
假设空间密封良好，与外界没有连通。假设房间的体积为v0，时刻t0=0时，空气中含有颗粒物质量为m，空气中颗粒物浓度为ρ=ρ（t），并且有ρ（0）=m/v0。假设现有一台空气净化器，其单位时间内可以过滤的空气体积为v，过滤效率为λ，为了用微积分的方法建立微分方程，考虑在一个微小的时间Δt内，房间内的颗粒物质量变化是：
3 新风机建模
假设房间不密封。新风机单位时间内从室外吸收体积为v，并且将同体积的空气排出室外。假设吸入空气浓度恒定等于初始浓度mv0，而排出空气浓度等于房间内当前浓度ρ（t）。考察时刻t时一小段时间Δt内房间内空气中所含颗粒物质量变化值：应该等于吸入空气过滤后所含颗粒物减去排出室外的空气中所含颗粒物，其等式如下：
4 对两种理想情况的分析
4.1 效果
假设v0=1，此设房间内颗粒物初始浓度为m。令t→+可得，ρ1=0，ρ2=（1-λ）mv0，这说明，新风机不能将空气内颗粒物浓度降低到0，其最大极限是1-λ，如果净化效率是90%，那么终值便是10%。而空气净化器，则可以将颗粒物浓度降低到0（假设滤芯可以吸附任意尺寸颗粒物）。因此，在效果比拼上是空气净化器胜出。
4.2 速度
同上，令v0=1，令φ（t）=ρ1-ρ2=me-λvt-（1-λ）m-λme-vt，则：
由于λ<1，因此φ′（t）<0，所以φ（t）单调递减，因此当t>0时，φ（t）<φ（0）=0，因此ρ1<ρ2是恒成立的。
4.3 数据仿真
假设单位时间内能后净化的空气占空间体积0.4%，空气净化器和新风机的净化效率λ分别取0.9，仿真结果如下图2所示。
仿真结果显示，在净化速度上，空气净化器也较新风机更快一些。
5 非理想状况下的空气净化器建模
以上建模是基于房间完全密封的理想状况，而在实际中房间通常不是完全密封的。房间不密封对于新风机没有影响，因为新风机的原理就是会排出空气，但是对空气净化器有影响。现在我们假设房间存在着和外界的空气交换过程，并且假设单位时间内的交换量为kv，其中k<1。像在（二）中一样，考察从t到t+Δt内一小短时间内室内颗粒物质量变化，重新建立方程如下：
当k=1-λ时，ρ3=ρ2，此时净化器与新风机效果相同，当k>1-λ时，ρ3>ρ2，此时净化器的效果不如新风机。一个典型的仿真结果如下图3所示，取λ=0.9，k=0.15>1-λ。
6 总结
结合以上的数学分析和仿真结果，可以发现：空气净化器和新风机的效果优劣很大程度上取决于房间密封的情况。对于能够良好密封的房间，空气净化器的效果明显好于空气净化器;而对于非密封房间，则空气净化器效果可能反而不如新风机。但是完全密封的房间，可能导致人缺氧、二氧化碳中毒等问题，因此，作者认为新风机是更好的选择，特别是在人员比较密集的学校、商场等公共场所，更是如此。
参考文献：
[1]同济大学数学系.高等数学上册（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2015.
[2]杨起帆，边馥萍.数学模型[M].浙江大学出版社，1990.
[3]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003.
[4]D.N.Burghes，M.S.Borrie.Modeling with Differential Equations[M].Chichester：Horwood，1981.
[5]M.Mraun.微分方程及其应用[M].北京：人民教育出版社，1980.
[6]W.F.Lucas.微分方程模型[M].长沙：国防科技大学出版社，1988.