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【摘 要】学生是发展的，学生是有差异的。面对学生在解题过程中出现的形形色色的错误，首先要有宽阔的胸怀包容学生的错误；其次，把学生的错解当作宝贵的教学资源，充分开发“错误”价值，挖掘错误中思维的闪光点、创新点，因势利导；三是探究错误的成因，寻求纠错的方法，内化知识，完善认知结构和基本的数学思想方法；四是渗透质疑、选择、反思的数学精神。
【关键词】差异性；发展性；个案分析；学生视角
学生是发展的，因此在数学解题中犯错误是正常的、反复的；学生是有差异的，因此所犯错误也是分层次、富有个性的、复杂的。
面对学生在解题过程中出现的形形色色的错误，我们广大教师，首先要有宽阔的胸怀包容学生的错误；其次，把学生的错解当作宝贵的教学资源，充分开发“错误”价值，挖掘错误中思维的闪光点、创新点，因势利导；三是探究错误的成因，寻求纠错的方法，内化知识，完善认知结构和基本的数学思想方法；四是渗透质疑、选择、反思的数学精神。
现以学校所在学区高二第一学期期末统考数学试题第十八题为载体，探究新课程理念下如何进行错题讲评，谈一点尝试性的做法，望指正。
题目：已知抛物线 过点 引一条弦 ，使它恰在点P被平分，求弦 所在直线 的方程。
1、学生个案分析
以上图片资料是从众多考生的解答中挑选出来的。这些学生均來自普通中学，基础中等，解法各异，概括起来有三种方法：即待定系数法，对应学生1，记为S1；求点法，对应学生S2、S3、S4；轨迹法，对应学生S5。在他们试后反思的字里行间，我们可以触摸到学生们解题时的心路历程。
S1：读完题，解题的基本思路就出来了，即联立方程组，但在推出一元二次方程时，担心运算错误，刻意推了两遍，结果还是出了问题。
S2：把题目粗略地看了一遍，一心只想赶快解完这道题，…,于是想到一点写一点，…解不下去了，…只好放弃。
S3：这道题我是最后做的，当时时间还宽裕，就按以前方法（焦点弦）做了，可算出来的结果（数字）很怪，觉得错了。…,没时间了，只好如此。
S4：想到点P为弦AB的中点，故设点A( )，B( )较为简单。把A、B两点坐标代人抛物线方程，列出并解方程组。但出现了无理根，意识到可能是方法出了问题。
S5：设A（ ），B（ ），用中点坐标加以代换，即A( )，因为A,B在抛物线上，将A、B点坐标代人得一个二元一次方程组，解得 ，并直接改写为 。感觉解题不够严谨，心里没底。
可以看出，造成学生解题错误或半途而废的因素除“双基薄弱”外，缺乏自信、内心焦虑、不良习惯等心理问题也是主要的原因。在学生纠错中有一种现象，应引起我们的关注，这就是大部分学生的改错方法，是回避原解法且解法单一。一是对原解法没有进行认真地分析，如正确的方面能不能调整思路继续下去？造成错误的原因是什么，如何纠正？二是不能正视、面对自己解题的错误，选择逃避的方式或人云亦云；三是教师的评价，特别是对错解的评价，给学生解题思维、心理的影响是很大的。于是，全盘否定自己的解法，正确的部分，一些赋有创意的解法、思想也随之化为乌有，实在可惜。
2、一点尝试
以上分析，启发我们，纠错教学应在学生现有知识、方法的基础上，以培养学生的思维能力为目标，从学生的视角看问题，思考、设计教学方案。正如奥苏贝尔所说的那样：“影响学生的唯一重要的因素就是学习者已经知道了什么，作为教师要努力探明这一点，并应据此进行教学”，通过创设良好、和谐的教学情境，消除学生畏惧、依赖、焦虑、应付等不良心态，让不同层次学生都有机会体验成功，增强自信。
点评：S1同学的方法应用了三个基本知识点“直线方程”、“直线与曲线相交时方程联立”、“根与系数的关系”，不失为一种好方法，在“直线与圆锥曲线的位置关系”问题中有广泛的应用。但要考虑直线斜率的存在性，否则将是解题的隐患。同时加强运算训练，确保二次方程的准确性。
点评：S2同学在点的设置上很有创意，一看就知道点A在抛物线 上，A、B关于点P对称。快捷，直奔主题；简约，只有一元。
S3：设 ， ，则
点评：S3同学的方法设点也有特色，利用了抛物线上点横、纵坐标间的关系，有效减少了参数的个数，方程（组）意识强。
T（补充2）：设 ，
此法就是建立在学生设点的基础上，围绕关键因素“中点”展开，透过方程（组）的表象，抓住了“斜率”这个本质，使问题更好地得以解决。
S4：设 ，因为P（4，1）是AB的中点，所以 。将A、B坐标分别代入抛物线方程，
由直线方程两点式 得（纠错） 。
点评：除设点外，S4同学的解题思路紧扣“曲线与方程”概念，牢牢抓住点在曲线上的位置关系，建立方程组。
以上同学的做法的最后，都是解方程组，求A、B的坐标，但求解过程繁琐，需要有扎实的运算能力和细致耐心。也需有“繁”而思“变”的思想，另辟溪径。
S5（轨迹法）设 ， ，
点A在抛物线上，
又点B在抛物线上， ，
，同理
可知，点A，B在直线 上，即 为所求直线方程。
点评：S5同学的方法，巧妙地避开了斜率的存在性问题，可称为中点弦所在直线方程问题的最优解之一，但对思维能力要求较高，也有一定的局限性，中点条件一旦改变为非中点，此法则会失去效能。其实这种方法可类比于两圆公共弦所在直线方程的求解。
点评：此法也是中点弦问题的最优解之一，两式作差，建立弦的斜率与中点坐标间的关系，斜率问题迎刃而解。
推广到圆锥曲线的一般情形：设 为弦的中点，则椭圆 中点弦所在直线方程为 ，
双曲线 中点弦所在直线方程为 ，
抛物线 中点弦所在直线方程为 。
（3）变式练习，完善思维品质
变式1，（2002年广东，河南卷第20题）设A、B是双曲线 上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点，（Ⅰ）求直线AB的方程；（Ⅱ）略（答案：
变式2 （2003年高考模拟题）直线 交椭圆 于M、N两点，弦MN的中点为P，
若 （O为原点），则
(答案： )
上述教学在分析了学生已有能力和认知结构的基础上，突显了学生解题时的创新思维，并以此为切入点，运用认知上的矛盾冲突，通过对问题的观察分析、归纳数据、变式拓展，学生智慧的火花，在思维的碰撞中复燃。在“错误——反思——探究——拓展”的数学活动中，知识技能得到了巩固，数学思想得以有效地渗透，思维品质和思维能力得到优化和发展。更为珍贵的是，学生在体验探究知识的艰辛、获得知识的快乐的同时，重拾学习数学的信心!
参考文献
[1] 李其阁 刍议高考数学试题的解答对策 试题研究 2003/上半年
[2] 游明波 郭红霞 纠错教学贵在引导学生反思 数学教学研究 2008.8
[3] 张 健 新课程理念下如何上好数学试卷讲评课 数学教学研究 2008.10
[4] 沃建中 走向心理健康：教学篇 华文出版社 2002.1
收稿日期：2012-09-29
【关键词】差异性；发展性；个案分析；学生视角
学生是发展的，因此在数学解题中犯错误是正常的、反复的；学生是有差异的，因此所犯错误也是分层次、富有个性的、复杂的。
面对学生在解题过程中出现的形形色色的错误，我们广大教师，首先要有宽阔的胸怀包容学生的错误；其次，把学生的错解当作宝贵的教学资源，充分开发“错误”价值，挖掘错误中思维的闪光点、创新点，因势利导；三是探究错误的成因，寻求纠错的方法，内化知识，完善认知结构和基本的数学思想方法；四是渗透质疑、选择、反思的数学精神。
现以学校所在学区高二第一学期期末统考数学试题第十八题为载体，探究新课程理念下如何进行错题讲评，谈一点尝试性的做法，望指正。
题目：已知抛物线 过点 引一条弦 ，使它恰在点P被平分，求弦 所在直线 的方程。
1、学生个案分析
以上图片资料是从众多考生的解答中挑选出来的。这些学生均來自普通中学，基础中等，解法各异，概括起来有三种方法：即待定系数法，对应学生1，记为S1；求点法，对应学生S2、S3、S4；轨迹法，对应学生S5。在他们试后反思的字里行间，我们可以触摸到学生们解题时的心路历程。
S1：读完题，解题的基本思路就出来了，即联立方程组，但在推出一元二次方程时，担心运算错误，刻意推了两遍，结果还是出了问题。
S2：把题目粗略地看了一遍，一心只想赶快解完这道题，…,于是想到一点写一点，…解不下去了，…只好放弃。
S3：这道题我是最后做的，当时时间还宽裕，就按以前方法（焦点弦）做了，可算出来的结果（数字）很怪，觉得错了。…,没时间了，只好如此。
S4：想到点P为弦AB的中点，故设点A( )，B( )较为简单。把A、B两点坐标代人抛物线方程，列出并解方程组。但出现了无理根，意识到可能是方法出了问题。
S5：设A（ ），B（ ），用中点坐标加以代换，即A( )，因为A,B在抛物线上，将A、B点坐标代人得一个二元一次方程组，解得 ，并直接改写为 。感觉解题不够严谨，心里没底。
可以看出，造成学生解题错误或半途而废的因素除“双基薄弱”外，缺乏自信、内心焦虑、不良习惯等心理问题也是主要的原因。在学生纠错中有一种现象，应引起我们的关注，这就是大部分学生的改错方法，是回避原解法且解法单一。一是对原解法没有进行认真地分析，如正确的方面能不能调整思路继续下去？造成错误的原因是什么，如何纠正？二是不能正视、面对自己解题的错误，选择逃避的方式或人云亦云；三是教师的评价，特别是对错解的评价，给学生解题思维、心理的影响是很大的。于是，全盘否定自己的解法，正确的部分，一些赋有创意的解法、思想也随之化为乌有，实在可惜。
2、一点尝试
以上分析，启发我们，纠错教学应在学生现有知识、方法的基础上，以培养学生的思维能力为目标，从学生的视角看问题，思考、设计教学方案。正如奥苏贝尔所说的那样：“影响学生的唯一重要的因素就是学习者已经知道了什么，作为教师要努力探明这一点，并应据此进行教学”，通过创设良好、和谐的教学情境，消除学生畏惧、依赖、焦虑、应付等不良心态，让不同层次学生都有机会体验成功，增强自信。
点评：S1同学的方法应用了三个基本知识点“直线方程”、“直线与曲线相交时方程联立”、“根与系数的关系”，不失为一种好方法，在“直线与圆锥曲线的位置关系”问题中有广泛的应用。但要考虑直线斜率的存在性，否则将是解题的隐患。同时加强运算训练，确保二次方程的准确性。
点评：S2同学在点的设置上很有创意，一看就知道点A在抛物线 上，A、B关于点P对称。快捷，直奔主题；简约，只有一元。
S3：设 ， ，则
点评：S3同学的方法设点也有特色，利用了抛物线上点横、纵坐标间的关系，有效减少了参数的个数，方程（组）意识强。
T（补充2）：设 ，
此法就是建立在学生设点的基础上，围绕关键因素“中点”展开，透过方程（组）的表象，抓住了“斜率”这个本质，使问题更好地得以解决。
S4：设 ，因为P（4，1）是AB的中点，所以 。将A、B坐标分别代入抛物线方程，
由直线方程两点式 得（纠错） 。
点评：除设点外，S4同学的解题思路紧扣“曲线与方程”概念，牢牢抓住点在曲线上的位置关系，建立方程组。
以上同学的做法的最后，都是解方程组，求A、B的坐标，但求解过程繁琐，需要有扎实的运算能力和细致耐心。也需有“繁”而思“变”的思想，另辟溪径。
S5（轨迹法）设 ， ，
点A在抛物线上，
又点B在抛物线上， ，
，同理
可知，点A，B在直线 上，即 为所求直线方程。
点评：S5同学的方法，巧妙地避开了斜率的存在性问题，可称为中点弦所在直线方程问题的最优解之一，但对思维能力要求较高，也有一定的局限性，中点条件一旦改变为非中点，此法则会失去效能。其实这种方法可类比于两圆公共弦所在直线方程的求解。
点评：此法也是中点弦问题的最优解之一，两式作差，建立弦的斜率与中点坐标间的关系，斜率问题迎刃而解。
推广到圆锥曲线的一般情形：设 为弦的中点，则椭圆 中点弦所在直线方程为 ，
双曲线 中点弦所在直线方程为 ，
抛物线 中点弦所在直线方程为 。
（3）变式练习，完善思维品质
变式1，（2002年广东，河南卷第20题）设A、B是双曲线 上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点，（Ⅰ）求直线AB的方程；（Ⅱ）略（答案：
变式2 （2003年高考模拟题）直线 交椭圆 于M、N两点，弦MN的中点为P，
若 （O为原点），则
(答案： )
上述教学在分析了学生已有能力和认知结构的基础上，突显了学生解题时的创新思维，并以此为切入点，运用认知上的矛盾冲突，通过对问题的观察分析、归纳数据、变式拓展，学生智慧的火花，在思维的碰撞中复燃。在“错误——反思——探究——拓展”的数学活动中，知识技能得到了巩固，数学思想得以有效地渗透，思维品质和思维能力得到优化和发展。更为珍贵的是，学生在体验探究知识的艰辛、获得知识的快乐的同时，重拾学习数学的信心!
参考文献
[1] 李其阁 刍议高考数学试题的解答对策 试题研究 2003/上半年
[2] 游明波 郭红霞 纠错教学贵在引导学生反思 数学教学研究 2008.8
[3] 张 健 新课程理念下如何上好数学试卷讲评课 数学教学研究 2008.10
[4] 沃建中 走向心理健康：教学篇 华文出版社 2002.1
收稿日期：2012-09-29