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数学Ⅰ试题
一、填空题 （本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1. 已知（1-i）z=1+i（i为虚数单位），则复数z的模为__________.
2. 已知集合A={1，-2}，B={a，a2}，若A∩B={1}，则实数a的值为__________.
3. 已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样方法在各年级共抽取120名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取__________名学生.
4. 从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为__________.
5. 某程序框图如右图所示，当输入x=7时，输出的y=__________.
6. 已知双曲线 x2 3 - y2 b2 =1的两条渐近线与直线x= 3 围成正三角形，则双曲线的离心率为__________.
7. 已知变量x，y满足约束条件 x≥0，y≥0，x+y≤2， 则y-2x的最大值为__________.
8. 已知α为锐角，且cos（α+ π 6 ）= 1 3 ，则sinα=__________.
9. 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中AB=2，AA1=3，O为上底面中心.设正四棱柱ABCDA1B1C1D1与正四棱锥OA1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则 S2 S1 =__________.
10. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4=2S3+1，2a4=2a3+3a2+2，則a1=__________.
11. 已知圆C：x2+y2-4x-2y=0，过点P（6，0）的直线l与圆C在x轴上方交于A，B两点，且PA=3PB，则直线l的斜率为__________.
12. 若x>2，y>0，且 2 x + 1 y =1，则 1 x-2 + 1 y-1 最小值为__________.
13. 已知△ABC中，AB=2，AC=1，平面ABC上一点D满足BC ·AD =-3，则BC ·（BD +CD ）=__________.
14. 已知f（x）=x3-3a2x-a，若存在x∈[-1，1]，使得f（x）≥0成立，则实数a的取值范围为 .
二、解答题 （本大题共6小题，共计90分）
15. （本小题满分14分）
已知f（x）=4sinxsin2（ π 4 + x 2 ）+cos2x.
（1）求函数的最小正周期;
（2） 求函数g（x）=f（2x- π 6 ），x∈[0， π 2 ]的值域.
16. （本小题满分14分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，面PAD⊥面ABCD，三角形PAD为正三角形.
（1） 若E，F分别为PB，CD中点，证明：EF∥面PAD;
（2）若∠PAB=90°，证明：面PAD⊥面PAB.
17. （本小题满分14分）
过椭圆 x2 8 + y2 2 =1上一点P（-2，-1）作两条直线l1，l2与椭圆另交于A，B点，设它们的斜率分别为k1，k2.
（1）若k1=1，k2=-1，求△PAB的面积S△PAB;
（2）若OA=OB，PA=PB，求直线AB的方程.
18. （本小题满分16分）
从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币.如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设∠OAB=θ，五个正方形的面积和为S.
（1） 求面积S关于θ的函数表达式，并求tanθ的范围;
（2）求面积S最小值.
19. （本小题满分16分）
若函数y=f（x）的图象上存在两个不同的点关于y轴对称，则称函数y=f（x）图象上存在一对“偶点”.
（1） 写出函数f（x）=sinx图象上一对“偶点”的坐标;（不需写出过程）
（2）证明：函数g（x）=ln（x+2）-x+2图象上有且只有一对“偶点”;
（3）若函数h（x）=ex-mx-2（m∈ R ）图象上有且只有一对“偶点”，求m的取值范围.
20. （本小题满分16分）
已知数列{an}，{bn}，{cn}满足：bn=an+2-an，cn=an+3an+1+2an+2.
（1） 若数列{bn}是等差数列，且公差d1=b1=a1=a2=1，求数列{cn}的通项公式cn; （2）若数列{bn}、{cn}均是等差数列，且数列{cn}的公差d=3a1=6，c1=19，求数列{an}的通项公式.
数学Ⅱ（附加题）
21. （本小题满分10分）
已知x∈ R ，向量 α = 11 是矩阵 A = 1 x0 2 的属于特征值λ的一个特征向量，求 A -1.
22. （本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.直线l的参数方程为 x=1+ 2 2 t，y= 2 2 t （t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2 2 sin（θ+ π 4 ），求直线l被曲线C所截的弦长.
23. （本小题满分10分）
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC=3，BC=4，AB=5， AA1=4，AD = 2 5 AB ，BC1与B1C交于点E.
（1） 求异面直线AC1与DB1所成角的余弦值;
（2）求二面角ADEA1的余弦值.
24. （本小题满分10分）
若排列a1，a2，…，an中存在ai使得ai-1>ai<ai+1（i=2，…，n-1），则称ai为排列a1，a2，…，an的一个“极小值”，例如：排列2，1，4，3，5中有两个极小值1和3.记正整数1，2，…，n的所有排列中有且仅有一个“极小值”的排列的个数为f（n）（n≥3，n∈ N *）.
（1）求f（3），f（4）;
（2）求f（n）.
參考答案
一、填空题
1. 1
2. -1
3. 50
4. 1 3
5. 5
6. 2 3 3
7. 2
8. 2 6 -1 6
9. 10 6
10. 1
11. - 8 15
12. 2
13. -3
14. （-∞， 13 -1 6 ]∪[ 2 2 ，+∞）
二、解答题
15. 解：（1）f（x）=4sinx 1-cos（ π 2 +x） 2 +cos2x
=2sinx（1+sinx）+1-2sin2x=2sinx+1，
所以函数y=f（x）的最小正周期为2π.
（2）g（x）=f（2x- π 6 ）=2sin（2x- π 6 ）+1，x∈[0， π 2 ]，
因为x∈[0， π 2 ]，所以2x- π 6 ∈[- π 6 ， 5π 6 ]，
所以sin（2x- π 6 ）∈[- 1 2 ，1]，
所以函数y=g（x）的值域为[0，3].
16. 证明：（1）取PA的中点G，连接GD，GE.
在△PAB中，因为E，G分别为PB，PA中点，
所以GE∥AB且GE= 1 2 AB，
因为底面ABCD为平行四边形，所以DC∥AB，
F为DC的中点，所以DF= 1 2 AB，
所以GE∥DF且GE=DF，
所以四边形GEFD为平行四边形，所以GD∥EF，
因为EF平面PAD，GD平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
（2）取AD的中点H，连接PH.
因为侧面PAD为正三角形，所以PH⊥AD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，PH平面PAD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PH⊥平面ABCD，
因为AB平面ABCD，所以PH⊥AB，
因为∠PAB=90°，所以AB⊥AP，
因为PH∩PA=P，PA，PH平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
因为AB平面PAB，所以平面PAD⊥平面PAB.
17. 解：（1）因为k1=1，k2=-1，
所以直线l1，l2方程分别为x-y+1=0，x+y+3=0，
由 x2 8 + y2 2 =1y=x+1 ，得：5x2+8x-4=0，
由此解得x= 2 5 ，所以y= 7 5 ，所以A（ 2 5 ， 7 5 ），
同理可得：B（- 14 5 ，- 1 5 ），
所以直线AB的方程为5x-10y+12=0，
所以S△PAB= 1 2 × （ 2 5 + 14 5 ）2+（ 7 5 + 1 5 ）2 × 12 52+102 = 48 25 .
（2）设AB的中点为H点.
①当直线AB过原点时，点H与点O重合. 因为PA=PB，所以PO⊥AB，
所以直线AB的方程为2x+y=0.
②当直线AB不过原点时.设H（x0，y0），
在△OAB中，因为OA=OB，所以OH⊥AB，
在△PAB中，因为PA=PB，所以PH⊥AB，
所以点P，H，O三点共线，
因为直线OP的斜率为 1 2 ，所以直线AB的斜率为-2，
设直线AB的方程为y=-2x+m（m≠0），
由 x2 8 + y2 2 =1y=-2x+m 得：17x2-16mx+4m2-8=0，
所以x0= 8m 17 ，y0= m 17 ，
所以直线OH斜率为 1 8 ，所以直线OP的斜率与直线OH斜率不相等，
点P，H，O三点不共线（与上面的结論矛盾）.
综上：所求直线AB的方程为2x+y=0.
18. 解：（1）过点O分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为E，F，
因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，
所以点E，F分别为小正方形和大正方形边的中点.
所以小正方形的边长为（ 1 2 sinθ）×2=sinθ，
大正方形的边长为
（ 1 2 cosθ-sinθ）×2=cosθ-2sinθ，
所以五个正方形的面积和为
S=4sin2θ+（cosθ-2sinθ）2
=8sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ，
因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，
所以sinθ<cosθ-2sinθ，所以tanθ< 1 3 ，
所以θ的取值范围为（0，θ0），
tanθ0= 1 3 ，θ0∈（0， π 2 ）.
答：面积S关于θ的函数表达式为
S=8sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ，
θ的取值范围为（0，θ0），tanθ0= 1 3 ，θ0∈（0， π 2 ）.
（2）法一：S=8sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ
=8 1-cos2θ 2 + 1+cos2θ 2 -2sin2θ
= 9 2 -（2sin2θ+ 7 2 cos2θ）
= 9 2 - 65 2 sin（2θ+φ），
其中tanφ= 7 4 ，φ∈（0， π 2 ），
所以Smin= 9- 65 2 ，此时sin（2θ+φ）=1，
因为θ∈（0，θ0），所以0<2θ+φ<2θ0+ π 2 < 3 2 π，
所以2θ+φ= π 2 ，
所以tan2θ=tan（ π 2 -φ）= 1 tanφ = 4 7 ，
2tanθ 1-tan2θ = 4 7 ，化简得：2tan2θ+7tanθ-2=0，
由此解得：tanθ= -7± 65 4 ，
因为0<tanθ< 1 3 ，所以tanθ= -7+ 65 4 .
答：面积S最小值为 9- 65 2 .
法二：S=8sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ
= 8sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ sin2θ+cos2θ
= 8tan2θ-4tanθ+1 tan2θ+1 .
令t=tanθ，则S= 8t2-4t+1 t2+1 ，
设f（t）= 8t2-4t+1 t2+1 ，t∈（0， 1 3 ），
令f′（t）= 2（2t2+7t-2） （t2+1）2 =0，
得：t= -7+ 65 4 < 1 3 ，
t （0， -7+ 65 4 ） -7+ 65 4 （ -7+ 65 4 ， 1 3 ）
f′（t） - 0 +
f（t） ↘ 极小值 ↗
所以t= -7+ 65 4 时，面积S最小值为 9- 65 2 .
答：面积S最小值为 9- 65 2 .
19. （1）函数f（x）=sinx图象上一对“偶点”的坐标为（π，0）（-π，0）.
（2）设Q（x）=g（x）-g（-x）
=ln（x+2）-ln（-x+2）-2x，
因为y=Q（x）的定义域为（-2，2），
且Q（-x）=-Q（x），
所以函数y=Q（x）为奇函数，
要证：函数g（x）=ln（x+2）-x+2图象上有且只有一对“偶点”，
只需证：y=Q（x）在（0，2）上有且只有一个零点，
令Q′（x）= 2（x2-2） 4-x2 =0，得x= 2 ，
所以，函数Q（x）在（0， 2 ）上为单调减函数，在（ 2 ，2）上为单调增函数，
Q（ 2 ）=ln（3+2 2 ）-2 2 <0，
Q（2- 1 e4 ）=ln（4- 1 e4 ）+ 2 e4 >0，
所以函数Q（x）在（ 2 ，2- 1 e4 ）上有且只有一个零点，
所以函数g（x）=ln（x+2）-x+2图象上有且只有一对“偶点”. （3）设F（x）=h（x）-h（-x）=ex-e-x-2mx，
F（0）=0，
因为y=F（x）的定义域为 R ，且F（-x）=-F（x），
所以函数y=F（x）为奇函数.
因为函数h（x）=ex-mx-2（m∈ R ）图象上有且只有一对“偶点”，
所以函数y=F（x）在（0，+∞）有且只有一个零点，
F′（x）=ex+ 1 ex -2m，x∈（0，+∞）.
1°当m≤1时，因为F′（x）>2-2m≥0，
所以函数y=F（x）在（0，+∞）上为单调增函数，所以F（x）>F（0）=0，
所以函数F（x）在（0，+∞）无零点.
2°当m>1时，
由F′（x）=ex+ 1 ex -2m= e2x-2mex+1 ex =0，
得：x0=ln（m+ m2-1 ），
所以函数y=F（x）在（0，x0）上为单调减函数，在（x0，+∞）上为单调增函数，
所以F（x0）<F（0）=0，设H（x）=lnx-x，
H′（x）= 1-x x ，所以函数H（x）在（0，1）上为单调增函数，在（1，+∞）上为单调减函数，
所以H（x）≤H（1）=-1<0，所以lnx<x，
所以ln（m+ m2-1 ）<ln2m<2m，
设m（x）=ex-x2-1（x>1），
设M（x）=m′（x）=ex-2x，
因为M′（x）=ex-2>e-2>0，所以函数M（x）在（1，+∞）上为单调增函数，
所以M（x）>M（1）=e-2>0，所以函数m（x）在（1，+∞）上为单调增函数，
所以m（x）>m（1）=e-2>0，所以当x>1时，ex>x2+1，
F（2m）=e2m- 1 e2m -4m2>e2m-1-4m2>0，
因为函数y=F（x）在（x0，+∞）上为单调增函数，
所以函数F（x）在（x0，2m）上有且仅有一个x1，使得F（x1）=0.
综上：m的取值范围为（1，+∞）.
20. （1）因为数列{bn}是等差数列，且公差d1=b1=1，bn=an+2-an，
所以an+2-an=n，
所以an+3-an+1=n+1，a3=2，c1=8，
因为cn+1-cn=an+1+3an+2+2an+3-（an+3an+1+2an+2）
=2（an+3-an+1）+an+2-an=3n+2，
所以c2-c1=3×1+2
c3-c2=3×2+2
…
cn-cn-1=3×（n-1）+2，（n≥2）
上面n-1式子相加得：
cn-c1=3×（1+2+…+n-1）+2（n-1）
=3× n（n-1） 2 +2n-2，
所以cn= 3 2 n2+ 1 2 n+6（n≥2）.
當n=1时也满足上面{cn}的通项.
综上：数列{cn}的通项公式cn= 3 2 n2+ 1 2 n+6.
（2）因为{cn}是等差数列，且数列{cn}的公差d=19，
所以cn=an+3an+1+2an+2=6n+13①，
cn+1=an+1+3an+2+2an+3=6n+19②，
②-①得：2（an+3-an+1）+an+2-an=6，
即2bn+1+bn=6，
所以2b2+b1=6，2b3+b2=6，
因为{bn}是等差数列，等差数列{bn}的公差为d′，
所以3b1+2d′=6，3b1+5d′=6，由此解得：b1=2，d′=0，
所以bn=2，满足2bn+1+bn=6，即an+2-an=2.
因为c1=a1+3a2+2a3=19，
所以2+3a2+2（2+2）=19，所以a2=3，
1°当n=2k-1（k∈ N *）时，a2k-1=2+2（k-1）=2k，所以an=n+1.
2°当n=2k（k∈ N *）时，a2k=3+2（k-1）=2k+1，所以an=n+1.
综上：数列{an}的通项公式an=n+1.
数学Ⅱ附加题
21. 解：因为向量 α 是矩阵 A 的属于特征值λ的一个特征向量，
所以 1 x0 2 11 =λ 11 ，
得： 1+x=λ2=λ ，所以x=1，
若 A = a bc d ，且| A |≠0，
则 A -1= d | A | - b | A | - c | A | a | A | ，
所以 A -1= 1 - 1 2 0 1 2 .
22. 因为直线l的参数方程为 x=1+ 2 2 ty= 2 2 t ， 所以直线l的直角坐标方程为x-y-1=0，
因为曲线C的极坐标方程是ρ=2 2 sin（θ+ π 4 ），所以ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，
因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以（x-1）2+（y-1）2=2，
所以曲线C的直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=2.
曲线C的圆心到直线l的距离
d= |1-1-1| 2 = 2 2 ，
所以直线l被曲线C截得弦长为
2 R2-d2 =2 2- 1 2 = 6 .
23. （1）因为AC=3，BC=4，AB=5，
所以AB2=AC2+BC2，所以AC⊥BC，
以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
则A（3，0，0），C1（0，0，4），B1（0，4，4），B（0，4，0），E（0，2，2），设D（x0，y0，z0），
因为AD = 2 5 AB ，
所以（x0-3，y0，z0）= 2 5 （-3，4，0），
所以D（ 9 5 ， 8 5 ，0），
所以AC1 =（-3，0，4），DB1 =（- 9 5 ， 12 5 ，4）.
设异面直线AC1与DB1所成角为θ，θ∈（0， π 2 ]，
所以cosθ=|cos<AC1 ，DB1 >|
=| AC1 ·DB1 |AC1 |·|DB1 | |=| 27 5 +16 5 （ 9 5 ）2+（ 12 5 ）2+16 |= 107 125 ，
所以异面直线AC1与DB1所成角的余弦值为 107 125 .
（2）设平面ADE的一个法向量为 n 1=（x1，y1，z1）， 平面A1DE的一个法向量为 n 2=（x2，y2，z2）.
AD =（- 6 5 ， 8 5 ，0），AE =（-3，2，2），
所以 - 6 5 x1+ 8 5 y1=0-3x1+2y1+2z1=0 ，
令y1=3，得：x1=4，z1=3，
所以 n 1=（4，3，3），同理可得： n 2=（2，4，1），
所以cos< n 1， n 2>= n 1· n 2 | n 1|×| n 1| = 23 34 × 21 = 23 714 714 ，
由圖可知二面角ADEA1的平面角为锐角，
所以二面角ADEA1的余弦值为 23 714 714 .
24. 解：（1）若将1，2，3排成满足题意的排列，只需将1排中间即可，所以f（3）=2.
若将1，2，3，4排成满足题意的排列，可分成两类：
1）1排在首位或末位，此时2必须排在3、4之间，共有C12A22=4个;
2）1不排在首位也不在末端，共有C12A33=12个.
所以f（4）=16.
（2）一般地，
1）若1排在两端，1必不为“极小值”，则余下n-1个数中必须有且只有一个“极小值”，此时满足题意的排列共有C12f（n-1）个;
2）若1排在第i（i=2，…，n-1）号位，1必为极小值，则余下n-1个数中不得再有“极小值”出现，从余下n-1个数中抽取i-1个数排在1的左侧，这i-1个数中的最小数必须排在首位或紧靠1的左侧，否则它即为极小值，矛盾.依次类推，这i-1个数共有Ci-1n-12i-2种排法.
故，此时满足题意的排列共有Ci-1n-12i-2·2n-i-1=Ci-1n-12n-3个，
所以1不排在两端的排列个数为∑ n-1 i=2 Ci-1n-12n-3=2n-3（2n-1-2）.
所以f（n）=2f（n-1）+22n-4-2n-2
=22f（n-2）+22n-4+22n-5-2n-2-2n-2
=…=2n-3f（3）+（22n-4+…+2n）-2n-2（n-3）
=2n-2（2n-1-n）.（n≥4），
特别地，当n=3时，也适合.
所以f（n）=2n-2（2n-1-n）.
（作者：朱秋萍，江苏省如皋市第二中学）
一、填空题 （本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1. 已知（1-i）z=1+i（i为虚数单位），则复数z的模为__________.
2. 已知集合A={1，-2}，B={a，a2}，若A∩B={1}，则实数a的值为__________.
3. 已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样方法在各年级共抽取120名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取__________名学生.
4. 从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为__________.
5. 某程序框图如右图所示，当输入x=7时，输出的y=__________.
6. 已知双曲线 x2 3 - y2 b2 =1的两条渐近线与直线x= 3 围成正三角形，则双曲线的离心率为__________.
7. 已知变量x，y满足约束条件 x≥0，y≥0，x+y≤2， 则y-2x的最大值为__________.
8. 已知α为锐角，且cos（α+ π 6 ）= 1 3 ，则sinα=__________.
9. 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中AB=2，AA1=3，O为上底面中心.设正四棱柱ABCDA1B1C1D1与正四棱锥OA1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则 S2 S1 =__________.
10. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4=2S3+1，2a4=2a3+3a2+2，則a1=__________.
11. 已知圆C：x2+y2-4x-2y=0，过点P（6，0）的直线l与圆C在x轴上方交于A，B两点，且PA=3PB，则直线l的斜率为__________.
12. 若x>2，y>0，且 2 x + 1 y =1，则 1 x-2 + 1 y-1 最小值为__________.
13. 已知△ABC中，AB=2，AC=1，平面ABC上一点D满足BC ·AD =-3，则BC ·（BD +CD ）=__________.
14. 已知f（x）=x3-3a2x-a，若存在x∈[-1，1]，使得f（x）≥0成立，则实数a的取值范围为 .
二、解答题 （本大题共6小题，共计90分）
15. （本小题满分14分）
已知f（x）=4sinxsin2（ π 4 + x 2 ）+cos2x.
（1）求函数的最小正周期;
（2） 求函数g（x）=f（2x- π 6 ），x∈[0， π 2 ]的值域.
16. （本小题满分14分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，面PAD⊥面ABCD，三角形PAD为正三角形.
（1） 若E，F分别为PB，CD中点，证明：EF∥面PAD;
（2）若∠PAB=90°，证明：面PAD⊥面PAB.
17. （本小题满分14分）
过椭圆 x2 8 + y2 2 =1上一点P（-2，-1）作两条直线l1，l2与椭圆另交于A，B点，设它们的斜率分别为k1，k2.
（1）若k1=1，k2=-1，求△PAB的面积S△PAB;
（2）若OA=OB，PA=PB，求直线AB的方程.
18. （本小题满分16分）
从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币.如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设∠OAB=θ，五个正方形的面积和为S.
（1） 求面积S关于θ的函数表达式，并求tanθ的范围;
（2）求面积S最小值.
19. （本小题满分16分）
若函数y=f（x）的图象上存在两个不同的点关于y轴对称，则称函数y=f（x）图象上存在一对“偶点”.
（1） 写出函数f（x）=sinx图象上一对“偶点”的坐标;（不需写出过程）
（2）证明：函数g（x）=ln（x+2）-x+2图象上有且只有一对“偶点”;
（3）若函数h（x）=ex-mx-2（m∈ R ）图象上有且只有一对“偶点”，求m的取值范围.
20. （本小题满分16分）
已知数列{an}，{bn}，{cn}满足：bn=an+2-an，cn=an+3an+1+2an+2.
（1） 若数列{bn}是等差数列，且公差d1=b1=a1=a2=1，求数列{cn}的通项公式cn; （2）若数列{bn}、{cn}均是等差数列，且数列{cn}的公差d=3a1=6，c1=19，求数列{an}的通项公式.
数学Ⅱ（附加题）
21. （本小题满分10分）
已知x∈ R ，向量 α = 11 是矩阵 A = 1 x0 2 的属于特征值λ的一个特征向量，求 A -1.
22. （本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.直线l的参数方程为 x=1+ 2 2 t，y= 2 2 t （t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2 2 sin（θ+ π 4 ），求直线l被曲线C所截的弦长.
23. （本小题满分10分）
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC=3，BC=4，AB=5， AA1=4，AD = 2 5 AB ，BC1与B1C交于点E.
（1） 求异面直线AC1与DB1所成角的余弦值;
（2）求二面角ADEA1的余弦值.
24. （本小题满分10分）
若排列a1，a2，…，an中存在ai使得ai-1>ai<ai+1（i=2，…，n-1），则称ai为排列a1，a2，…，an的一个“极小值”，例如：排列2，1，4，3，5中有两个极小值1和3.记正整数1，2，…，n的所有排列中有且仅有一个“极小值”的排列的个数为f（n）（n≥3，n∈ N *）.
（1）求f（3），f（4）;
（2）求f（n）.
參考答案
一、填空题
1. 1
2. -1
3. 50
4. 1 3
5. 5
6. 2 3 3
7. 2
8. 2 6 -1 6
9. 10 6
10. 1
11. - 8 15
12. 2
13. -3
14. （-∞， 13 -1 6 ]∪[ 2 2 ，+∞）
二、解答题
15. 解：（1）f（x）=4sinx 1-cos（ π 2 +x） 2 +cos2x
=2sinx（1+sinx）+1-2sin2x=2sinx+1，
所以函数y=f（x）的最小正周期为2π.
（2）g（x）=f（2x- π 6 ）=2sin（2x- π 6 ）+1，x∈[0， π 2 ]，
因为x∈[0， π 2 ]，所以2x- π 6 ∈[- π 6 ， 5π 6 ]，
所以sin（2x- π 6 ）∈[- 1 2 ，1]，
所以函数y=g（x）的值域为[0，3].
16. 证明：（1）取PA的中点G，连接GD，GE.
在△PAB中，因为E，G分别为PB，PA中点，
所以GE∥AB且GE= 1 2 AB，
因为底面ABCD为平行四边形，所以DC∥AB，
F为DC的中点，所以DF= 1 2 AB，
所以GE∥DF且GE=DF，
所以四边形GEFD为平行四边形，所以GD∥EF，
因为EF平面PAD，GD平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
（2）取AD的中点H，连接PH.
因为侧面PAD为正三角形，所以PH⊥AD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，PH平面PAD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PH⊥平面ABCD，
因为AB平面ABCD，所以PH⊥AB，
因为∠PAB=90°，所以AB⊥AP，
因为PH∩PA=P，PA，PH平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
因为AB平面PAB，所以平面PAD⊥平面PAB.
17. 解：（1）因为k1=1，k2=-1，
所以直线l1，l2方程分别为x-y+1=0，x+y+3=0，
由 x2 8 + y2 2 =1y=x+1 ，得：5x2+8x-4=0，
由此解得x= 2 5 ，所以y= 7 5 ，所以A（ 2 5 ， 7 5 ），
同理可得：B（- 14 5 ，- 1 5 ），
所以直线AB的方程为5x-10y+12=0，
所以S△PAB= 1 2 × （ 2 5 + 14 5 ）2+（ 7 5 + 1 5 ）2 × 12 52+102 = 48 25 .
（2）设AB的中点为H点.
①当直线AB过原点时，点H与点O重合. 因为PA=PB，所以PO⊥AB，
所以直线AB的方程为2x+y=0.
②当直线AB不过原点时.设H（x0，y0），
在△OAB中，因为OA=OB，所以OH⊥AB，
在△PAB中，因为PA=PB，所以PH⊥AB，
所以点P，H，O三点共线，
因为直线OP的斜率为 1 2 ，所以直线AB的斜率为-2，
设直线AB的方程为y=-2x+m（m≠0），
由 x2 8 + y2 2 =1y=-2x+m 得：17x2-16mx+4m2-8=0，
所以x0= 8m 17 ，y0= m 17 ，
所以直线OH斜率为 1 8 ，所以直线OP的斜率与直线OH斜率不相等，
点P，H，O三点不共线（与上面的结論矛盾）.
综上：所求直线AB的方程为2x+y=0.
18. 解：（1）过点O分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为E，F，
因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，
所以点E，F分别为小正方形和大正方形边的中点.
所以小正方形的边长为（ 1 2 sinθ）×2=sinθ，
大正方形的边长为
（ 1 2 cosθ-sinθ）×2=cosθ-2sinθ，
所以五个正方形的面积和为
S=4sin2θ+（cosθ-2sinθ）2
=8sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ，
因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，
所以sinθ<cosθ-2sinθ，所以tanθ< 1 3 ，
所以θ的取值范围为（0，θ0），
tanθ0= 1 3 ，θ0∈（0， π 2 ）.
答：面积S关于θ的函数表达式为
S=8sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ，
θ的取值范围为（0，θ0），tanθ0= 1 3 ，θ0∈（0， π 2 ）.
（2）法一：S=8sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ
=8 1-cos2θ 2 + 1+cos2θ 2 -2sin2θ
= 9 2 -（2sin2θ+ 7 2 cos2θ）
= 9 2 - 65 2 sin（2θ+φ），
其中tanφ= 7 4 ，φ∈（0， π 2 ），
所以Smin= 9- 65 2 ，此时sin（2θ+φ）=1，
因为θ∈（0，θ0），所以0<2θ+φ<2θ0+ π 2 < 3 2 π，
所以2θ+φ= π 2 ，
所以tan2θ=tan（ π 2 -φ）= 1 tanφ = 4 7 ，
2tanθ 1-tan2θ = 4 7 ，化简得：2tan2θ+7tanθ-2=0，
由此解得：tanθ= -7± 65 4 ，
因为0<tanθ< 1 3 ，所以tanθ= -7+ 65 4 .
答：面积S最小值为 9- 65 2 .
法二：S=8sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ
= 8sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ sin2θ+cos2θ
= 8tan2θ-4tanθ+1 tan2θ+1 .
令t=tanθ，则S= 8t2-4t+1 t2+1 ，
设f（t）= 8t2-4t+1 t2+1 ，t∈（0， 1 3 ），
令f′（t）= 2（2t2+7t-2） （t2+1）2 =0，
得：t= -7+ 65 4 < 1 3 ，
t （0， -7+ 65 4 ） -7+ 65 4 （ -7+ 65 4 ， 1 3 ）
f′（t） - 0 +
f（t） ↘ 极小值 ↗
所以t= -7+ 65 4 时，面积S最小值为 9- 65 2 .
答：面积S最小值为 9- 65 2 .
19. （1）函数f（x）=sinx图象上一对“偶点”的坐标为（π，0）（-π，0）.
（2）设Q（x）=g（x）-g（-x）
=ln（x+2）-ln（-x+2）-2x，
因为y=Q（x）的定义域为（-2，2），
且Q（-x）=-Q（x），
所以函数y=Q（x）为奇函数，
要证：函数g（x）=ln（x+2）-x+2图象上有且只有一对“偶点”，
只需证：y=Q（x）在（0，2）上有且只有一个零点，
令Q′（x）= 2（x2-2） 4-x2 =0，得x= 2 ，
所以，函数Q（x）在（0， 2 ）上为单调减函数，在（ 2 ，2）上为单调增函数，
Q（ 2 ）=ln（3+2 2 ）-2 2 <0，
Q（2- 1 e4 ）=ln（4- 1 e4 ）+ 2 e4 >0，
所以函数Q（x）在（ 2 ，2- 1 e4 ）上有且只有一个零点，
所以函数g（x）=ln（x+2）-x+2图象上有且只有一对“偶点”. （3）设F（x）=h（x）-h（-x）=ex-e-x-2mx，
F（0）=0，
因为y=F（x）的定义域为 R ，且F（-x）=-F（x），
所以函数y=F（x）为奇函数.
因为函数h（x）=ex-mx-2（m∈ R ）图象上有且只有一对“偶点”，
所以函数y=F（x）在（0，+∞）有且只有一个零点，
F′（x）=ex+ 1 ex -2m，x∈（0，+∞）.
1°当m≤1时，因为F′（x）>2-2m≥0，
所以函数y=F（x）在（0，+∞）上为单调增函数，所以F（x）>F（0）=0，
所以函数F（x）在（0，+∞）无零点.
2°当m>1时，
由F′（x）=ex+ 1 ex -2m= e2x-2mex+1 ex =0，
得：x0=ln（m+ m2-1 ），
所以函数y=F（x）在（0，x0）上为单调减函数，在（x0，+∞）上为单调增函数，
所以F（x0）<F（0）=0，设H（x）=lnx-x，
H′（x）= 1-x x ，所以函数H（x）在（0，1）上为单调增函数，在（1，+∞）上为单调减函数，
所以H（x）≤H（1）=-1<0，所以lnx<x，
所以ln（m+ m2-1 ）<ln2m<2m，
设m（x）=ex-x2-1（x>1），
设M（x）=m′（x）=ex-2x，
因为M′（x）=ex-2>e-2>0，所以函数M（x）在（1，+∞）上为单调增函数，
所以M（x）>M（1）=e-2>0，所以函数m（x）在（1，+∞）上为单调增函数，
所以m（x）>m（1）=e-2>0，所以当x>1时，ex>x2+1，
F（2m）=e2m- 1 e2m -4m2>e2m-1-4m2>0，
因为函数y=F（x）在（x0，+∞）上为单调增函数，
所以函数F（x）在（x0，2m）上有且仅有一个x1，使得F（x1）=0.
综上：m的取值范围为（1，+∞）.
20. （1）因为数列{bn}是等差数列，且公差d1=b1=1，bn=an+2-an，
所以an+2-an=n，
所以an+3-an+1=n+1，a3=2，c1=8，
因为cn+1-cn=an+1+3an+2+2an+3-（an+3an+1+2an+2）
=2（an+3-an+1）+an+2-an=3n+2，
所以c2-c1=3×1+2
c3-c2=3×2+2
…
cn-cn-1=3×（n-1）+2，（n≥2）
上面n-1式子相加得：
cn-c1=3×（1+2+…+n-1）+2（n-1）
=3× n（n-1） 2 +2n-2，
所以cn= 3 2 n2+ 1 2 n+6（n≥2）.
當n=1时也满足上面{cn}的通项.
综上：数列{cn}的通项公式cn= 3 2 n2+ 1 2 n+6.
（2）因为{cn}是等差数列，且数列{cn}的公差d=19，
所以cn=an+3an+1+2an+2=6n+13①，
cn+1=an+1+3an+2+2an+3=6n+19②，
②-①得：2（an+3-an+1）+an+2-an=6，
即2bn+1+bn=6，
所以2b2+b1=6，2b3+b2=6，
因为{bn}是等差数列，等差数列{bn}的公差为d′，
所以3b1+2d′=6，3b1+5d′=6，由此解得：b1=2，d′=0，
所以bn=2，满足2bn+1+bn=6，即an+2-an=2.
因为c1=a1+3a2+2a3=19，
所以2+3a2+2（2+2）=19，所以a2=3，
1°当n=2k-1（k∈ N *）时，a2k-1=2+2（k-1）=2k，所以an=n+1.
2°当n=2k（k∈ N *）时，a2k=3+2（k-1）=2k+1，所以an=n+1.
综上：数列{an}的通项公式an=n+1.
数学Ⅱ附加题
21. 解：因为向量 α 是矩阵 A 的属于特征值λ的一个特征向量，
所以 1 x0 2 11 =λ 11 ，
得： 1+x=λ2=λ ，所以x=1，
若 A = a bc d ，且| A |≠0，
则 A -1= d | A | - b | A | - c | A | a | A | ，
所以 A -1= 1 - 1 2 0 1 2 .
22. 因为直线l的参数方程为 x=1+ 2 2 ty= 2 2 t ， 所以直线l的直角坐标方程为x-y-1=0，
因为曲线C的极坐标方程是ρ=2 2 sin（θ+ π 4 ），所以ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，
因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以（x-1）2+（y-1）2=2，
所以曲线C的直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=2.
曲线C的圆心到直线l的距离
d= |1-1-1| 2 = 2 2 ，
所以直线l被曲线C截得弦长为
2 R2-d2 =2 2- 1 2 = 6 .
23. （1）因为AC=3，BC=4，AB=5，
所以AB2=AC2+BC2，所以AC⊥BC，
以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
则A（3，0，0），C1（0，0，4），B1（0，4，4），B（0，4，0），E（0，2，2），设D（x0，y0，z0），
因为AD = 2 5 AB ，
所以（x0-3，y0，z0）= 2 5 （-3，4，0），
所以D（ 9 5 ， 8 5 ，0），
所以AC1 =（-3，0，4），DB1 =（- 9 5 ， 12 5 ，4）.
设异面直线AC1与DB1所成角为θ，θ∈（0， π 2 ]，
所以cosθ=|cos<AC1 ，DB1 >|
=| AC1 ·DB1 |AC1 |·|DB1 | |=| 27 5 +16 5 （ 9 5 ）2+（ 12 5 ）2+16 |= 107 125 ，
所以异面直线AC1与DB1所成角的余弦值为 107 125 .
（2）设平面ADE的一个法向量为 n 1=（x1，y1，z1）， 平面A1DE的一个法向量为 n 2=（x2，y2，z2）.
AD =（- 6 5 ， 8 5 ，0），AE =（-3，2，2），
所以 - 6 5 x1+ 8 5 y1=0-3x1+2y1+2z1=0 ，
令y1=3，得：x1=4，z1=3，
所以 n 1=（4，3，3），同理可得： n 2=（2，4，1），
所以cos< n 1， n 2>= n 1· n 2 | n 1|×| n 1| = 23 34 × 21 = 23 714 714 ，
由圖可知二面角ADEA1的平面角为锐角，
所以二面角ADEA1的余弦值为 23 714 714 .
24. 解：（1）若将1，2，3排成满足题意的排列，只需将1排中间即可，所以f（3）=2.
若将1，2，3，4排成满足题意的排列，可分成两类：
1）1排在首位或末位，此时2必须排在3、4之间，共有C12A22=4个;
2）1不排在首位也不在末端，共有C12A33=12个.
所以f（4）=16.
（2）一般地，
1）若1排在两端，1必不为“极小值”，则余下n-1个数中必须有且只有一个“极小值”，此时满足题意的排列共有C12f（n-1）个;
2）若1排在第i（i=2，…，n-1）号位，1必为极小值，则余下n-1个数中不得再有“极小值”出现，从余下n-1个数中抽取i-1个数排在1的左侧，这i-1个数中的最小数必须排在首位或紧靠1的左侧，否则它即为极小值，矛盾.依次类推，这i-1个数共有Ci-1n-12i-2种排法.
故，此时满足题意的排列共有Ci-1n-12i-2·2n-i-1=Ci-1n-12n-3个，
所以1不排在两端的排列个数为∑ n-1 i=2 Ci-1n-12n-3=2n-3（2n-1-2）.
所以f（n）=2f（n-1）+22n-4-2n-2
=22f（n-2）+22n-4+22n-5-2n-2-2n-2
=…=2n-3f（3）+（22n-4+…+2n）-2n-2（n-3）
=2n-2（2n-1-n）.（n≥4），
特别地，当n=3时，也适合.
所以f（n）=2n-2（2n-1-n）.
（作者：朱秋萍，江苏省如皋市第二中学）