[摘要] 讨论了在一个时期内商品的订购价格有折扣，而且该商品的需求量是连续型随机变量的订购问题，得出了使利润最大化的最佳订购量的计算方法．
　　[关键词] 运筹学 连续型随机变量 折扣价格 期望
　　
　　一、引言
　　在日常生活中，人们经常会遇到一些时效性很强、更新很快、不易保存、较短时间内就会失去货物原有价值的商品，对于此类商品的零售商来讲，该怎样订购货物，才能使销售利润达到最大，同时又能尽可能地满足顾客的需求呢？本文将给出一种解决这个问题的计算方法。
　　一般地，购买数量越多，商品单价就越低，数量大的客户可享受各种批发价，即价格是定货量的递减函数，即
　　
　　其中。同时社会对商品的需求量r也是不确定的，它是一个随机变量。如果订货量过大，那么商品不能全部卖出会造成损失，如果订货量太小，那么销售商因缺货而失去了销售机会。所以对于销售商来说，确定一个合理的订购数量，使销售利润最大，是非常重要的。
　　在一个时间周期T内，订购数量为，。设每件商品的库存销售成本平均为C，每件商品零售价格为P，每售出一件商品利润为k=P-Pi-C，若未售完，则每件过期商品的处理价或退货价为，所以每件损失为。我们研究的目标是：订购量为多大时，销售商获取的利润的期望值最大？
　　二、连续型订购问题
　　下面我们考虑连续型订购和销售问题，即订购量和需求量r都取连续的非负实数。根据以往的销售数据，我们做统计分析得到r的概率密度，当r<0时=0，而且。当销售商的订购量为，实际需求量为r时，它的利润函数为
　　
　　于是所获得利润的期望值为
　　 （1）
　　其中， 。
　　由于订购价格是分段函数，当时，，所以利润的期望的最大值可能在处取得,也可能在区间内部的某驻点上取得。求导得
　　
　　令，得驻点满足 （2）
　　其中。
　　把满足(1)式的记作，则利润的期望的最大值只能在和中取得，对它们分别计算其对应的，其中的最大值对应的订购量就是最佳订购数量*。
　　三、实例分析
　　某季节性商品的销售价格为16元，过期后处理价为5元，而且一定可以全部处理掉。根据商店以往经验预测，该商品的销售量 服从正态分布，平均值为3000，标准差为800，每单位商品在一个周期内的订购、库存、销售等平均成本为1元，该商品的订购价格为
　　
　　问应进多少单位的该商品，才能使利润最大？
　　解 当时，由公式（2），得。但2908不在此区间内。
　　当时，由公式（2），得。
　　当时，由公式（2），得。但3484不在此区间内。
　　所以最大利润只能在处取得，由公式（1)分别求得对应的利润期望值为
　　
　　所以商店的最佳订购量为3280单位，能获得的最大盈利为63648元。
　　
　　参考文献：
　　[1]韩伯棠:管理运筹学[M].北京:高等教育出版社，2000
　　[2]常浩:有限计划期内带有折扣的库存系统的优化及其定价．天津工业大学学报，2007,26(1)