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抛物线是一种重要的圆锥曲线，与许多实际问题都有联系，又与物理知识又有结合点，常以应用题或学科综合型试题的形式命题，用以考查该内容的掌握情况. 以下以具体例题加以分析．
一、求轨迹及轨迹方程
例1 求满足下列条件的抛物线的标准方程．
（1）过点[-3,2]；
（2）焦点在直线[x-2y-4=0]上；
（3）过定点[F0,2]，且与直线[y=-2]相切的动圆圆心[M]的轨迹方程．
解析 （1）设所求的抛物线方程为[y2=-2px]或[x2=2py][(p>0)．]
∵抛物线过点[-3,2]，
∴[4=2p⋅(-3)]或[9=2p⋅2]，
∴[p=23]或[p=94]，
∴所求的抛物线的标准方程为[y2=-43x]或 [x2=92y]．
（2）令[x=0]，得[y=-2]，令[y=0]，得[x=4]，
∴抛物线焦点为[4,0]或[0,-2]．
当焦点为[4,0]时，[p2=4]，[p=8]．
此时抛物线方程为[y2=16x].
当焦点为[0,-2]时，[p=4]．
此时抛物线方程为[x2=-8y]．
（3）如图1，设圆[M]与直线[y=-2]相切于[N]，则[MN]是点[M]到直线[y=-2]的距离，且[MN|=MF|]，由抛物线定义可知，点[M]的轨迹是以[F]为焦点，以直线[y=-2]为准线的抛物线．
∴[p=4]， ∴抛物线方程为[x2=8y]．
[图1]
点评 （1）从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数[p]，一个独立条件即可. 然而从实际情况看，一般需确定开口方向和[p]这两个条件，否则，应该画图分类讨论：
（2）求焦点在已知轨迹（直线）上的抛物线标准方程，必须确定焦点位置，焦点一定是已知轨迹与[x]轴或[y]轴的交点；
（3）对于不知道是什么轨迹类型的问题，可以根据题目条件采用不同方法，如坐标法、定义法、相关点法等．此题采用定义法最为简捷．
二、与距离最近有关的问题
例2 如图2，[AB]为抛物线[y=x2]上的动弦，且[AB|=a]（[a]为常数，且[a≥1]）. 求弦[AB]的中点[M]离[x]轴的最近距离．
[图2]
解析 方法1 巧用定义，采用几何法.
设[A,M,B]点的纵坐标分别为[y1,y2,y3．][A,M,B]三点在该抛物线的准线上的射影分别为[A′,M′,B′]．
由抛物线的定义，知[|AF|=|AA′|=y1+14]，
[|BF|=|BB′|=y3+14]，
∴[y1=|AF|-14]，[y3=|BF|-14]．
又[M]是线段[AB]的中点，
∴[y2=12y1+y3=12(|AF|+|BF|-12)]
[≥12(|AB|-12)=142a-1]．
等号在[AB]过焦点[F]时成立，即当定长为[a]的弦[AB]过焦点[F]时，[M]点与[x]轴的距离最近．最近距离为[142a-1]．
方法2 代数法，采用函数思想.
设直线[AB]的方程为[y=kx+b，] [A(x1，y1)，] [B(x1，y2) ]．
联立方程得 [y=kx+b,y=x2.]
消去[y]，得[x2-kx-b=0．]
由根与系数关系，得[x1+x2=k，x1x2=-b．]
由弦长公式，得[(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=a]，
化简得[b=a2-k2-k44(1+k2)]．
显然点[M]到[x]轴的距离为该点纵坐标的绝对值.
由于[y>0，]
故[|y|=y=y1+y22]=[kx1+b+kx2+b2=2b+k22]
[=a2+k2+k44(1+k2)]=[14a21+k2+(1+k2)-1≥]
[14][2[a21+k2(1+k2)-1]]=[14(2a-1)．]
当且仅当[a21+k2=1+k2]，
即[k=±a2-1(a≥1)] 时等号成立．
当[a∈0,1]时，
[y=y1+y22]=[14a21+k2+(1+k2)-1]，可以证明[a21+k2+(1+k2)]在[k∈0,+∞)]上是增函数，故当[k=0]时，[ymin=14(a2+1-1)=a24]．
点评 此题解法很多，难点是求最小值．一般用几何思想方法（方法1）或函数思想方法（方法2）来处理．方法1最为简洁，可见熟练运用定义，并注意挖掘题目隐含的几何性质，可使解题过程简明快捷，少走弯路；同时题中条件[a≥1]不可忽视，否则只能用其它方法，如方法2.
例3 若定点[A（3，2）]，[F]为抛物线[y2=2x]的焦点，点[P]在抛物线上移动，为使[|PA|+|PF|]的值最小，求点[P]的坐标．
解析 如图3，过[A]作[AN]垂直于抛物线的准线，垂足为[N]，交抛物线于[P]，则[P]为所求的点．证明如下：
在抛物线上任取一点[P′]，作[P′N′]垂直抛物线的准线于[N′]，连结[P′F,PF]， 则
[PF=PN]， [|P′F|=|P′N|]，
∴[|P′F|+|P′A|=|P′N′|+|P′A|≥|AN′|≥|AN|]
[=|PA|+|PN|=|PA|+|PF|]，
即[|PA|+|PF|]最小．
由[y=2,y2=2x,]得[P(2，2)]．
点评 确定抛物线上的点到两定点的距离之和最短的问题（其中有一点是焦点），通常有两种情况：（1）当两定点在曲线两侧时，连接两定点的线段与曲线的交点即为所求的点；（2）当两定点在曲线的同侧时，由圆锥曲线的定义作线段的等量长度，转化为本题解法情形即可．
三、巧用一元二次方程的判别式及根与系数的关系解题
例4 抛物线[y=ax2-1]上存在关于直线[x+y=0]对称的不同两点，求[a]的取值范围．
解析 如图4，设[A,B]两点是关于直线[x+y=0]对称的不同两点，设直线[AB]方程为[y=x+b]，联立[y=x+b]与[y=ax2-1]，得[ax2-x-b+1=0]， （1）
设[Ax1,y1,Bx2,y2]，[AB]的中点为[M(x0，y0)].由根与系数的关系得[x1+x2=1a]．
∴[x0=12x1+x2=12a,y0=x0+b=12a+b]．
又[M]在[y=-x]上，
∴[12a+b=-12a]，∴[b=-1a]．
代入（1），得[ax2-x+1a-1=0]，
由Δ[>0]，得[1-4a1a-1>0]，即[a>34]．
点评 解此类问题的关键是要抓住“对称”，得到“垂直”，“过[A,B]两点的直线与抛物线[y=ax2-1]相交于不同两点”，利用一元二次方程的判别式大于零和根与系数的关系及中点坐标公式，达到设参数而不求参数的目的．
例5 如图5，已知抛物线[y2=2px][(p>0)]的焦点为[F]，[A(x1，y1)，B(x2，y2)]是过[F]的直线与抛物线的
（1）[y1y2=-p2,x1x2=p24]；
（2）[|AB|=x1+x2+p=2psin2θ]；
（3）[S△AOB=p22sinθ]；
（4）[1|AF|+1|BF|]为定值；
（5）以[AB]为直径的圆与抛物线的准线相切．
证明 （1）由已知条件得抛物线的焦点坐标为（[p2]，0），设直线方程为[x=my+p2]，代入[y2=2px]，得[y2=2pmy+p2]，即[y2-2pmy-p2=0.] (*)
设[y1，y2]是方程(*)的两个实数根，则[y1y2=-p2].
因为[y12=2px1]，[y22=2px2]，
所以[y12y22=4p2x1x2]，
∴[x1x2=p24]．
（2）由抛物线的定义，容易得到[|AB|+|BF|]=[x1+p2][+x2+p2=x1+x2+p]．
由方程(*)，得[y1+y2=2pm]．
∴[x1+x2=m(y1+y2)+p=2pm2+p]，
∴[|AB|=2pm2+2p]．
[∵θ]为直线[AB]的倾斜角，[∴m=1tanθ=cosθsinθ]，
所以[|AB|=2p(1tanθ+1)=2psin2θ]．
（3）[S△AOB=S△AOF+S△FOB]
[=12|OF|⋅sinθ⋅(|AF|+|BF|)]
[=12|OF|⋅|AB|⋅sinθ=12⋅p2⋅2psin2θsinθ=p22sinθ]．
（4）[1|AF|+1|BF|]=[1x1+p2+1x2+p2]
[=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p22]，
因为[x1x2=p24]，[x1+x2=|AB|-p]，代入上式，得[1|AF|+1|BF|]=[|AB|p24+p2(|AB|-p)+p24][=2p]，为定值．
（5）设[AB]的中点为[Mx0,y0]，分别过[A，B]作抛物线准线的垂线，垂足分别为[C， D]，过[M]作准线的垂线，垂足为[N]，
则[|MN|=12(|AC|+|DB|)=12(|AF|+|BF|)][=12|AB|.]
∴以[AB]为直径的圆与抛物线的准线相切．
点评 本题考查抛物线的定义、直线方程、一元二次方程的根与系数的关系等知识的综合应用，同时考查数形结合及化归等数学思想．记住本题的所有结论，在处理客观题时，可以提高思维起点，以求迅速求解．这里要注意形如[x=my+p2]的直线方程，不能表示斜率为0的直线．
总之，圆锥曲线问题的解题规律可以概括为：联立方程求交点，韦达定理（一元二次方程的根与系数）求弦长，根的分布求范围，曲线定义不要忘，引参、用参巧解题，理清关系思路畅，数形结合关系明，选好选准突破口，一点破全局活．
【练习】
1. 抛物线[y2=2px]上一点[M4,a]到焦点的距离等于6，则[a2p=] ．
2. 一动点到[y]轴的距离比到点[A2,0]的距离小2，该动点的轨迹方程是 ．
3. 若点[A]的坐标为[A4,2]，[F]为抛物线[y2=2x]的焦点，点[M]在这条抛物线上移动时，使[|AM|+|MF|]取最小值的[M]点的坐标为（ ）
A. （0，0） B. （2，2）
C. （[12]，1） D. （1，[2]）
4. 求抛物线[y2=x]和[(x-3)2+y2=1]上最近两点间的距离．
5. 定长为3的线段[AB]的端点[A,B]在抛物线[y2=x]上移动，求[AB]的中点到[y]轴距离的最小值，并求此时[AB]的中点[M]的坐标．
6. 已知直线[y=(a+1)x-1]与曲线[y2=ax]恰有一个公共点，求实数[a]的值．
【参考答案】
1. 128 2. [y=0（x＜0）]或[y2=8x(x≥0)]
3. B 4. （[112-1]）
5. 最小值为[54]，[M]点坐标为（[54]，[±22]）
6. [a=-1]或[a=45]
一、求轨迹及轨迹方程
例1 求满足下列条件的抛物线的标准方程．
（1）过点[-3,2]；
（2）焦点在直线[x-2y-4=0]上；
（3）过定点[F0,2]，且与直线[y=-2]相切的动圆圆心[M]的轨迹方程．
解析 （1）设所求的抛物线方程为[y2=-2px]或[x2=2py][(p>0)．]
∵抛物线过点[-3,2]，
∴[4=2p⋅(-3)]或[9=2p⋅2]，
∴[p=23]或[p=94]，
∴所求的抛物线的标准方程为[y2=-43x]或 [x2=92y]．
（2）令[x=0]，得[y=-2]，令[y=0]，得[x=4]，
∴抛物线焦点为[4,0]或[0,-2]．
当焦点为[4,0]时，[p2=4]，[p=8]．
此时抛物线方程为[y2=16x].
当焦点为[0,-2]时，[p=4]．
此时抛物线方程为[x2=-8y]．
（3）如图1，设圆[M]与直线[y=-2]相切于[N]，则[MN]是点[M]到直线[y=-2]的距离，且[MN|=MF|]，由抛物线定义可知，点[M]的轨迹是以[F]为焦点，以直线[y=-2]为准线的抛物线．
∴[p=4]， ∴抛物线方程为[x2=8y]．
[图1]
点评 （1）从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数[p]，一个独立条件即可. 然而从实际情况看，一般需确定开口方向和[p]这两个条件，否则，应该画图分类讨论：
（2）求焦点在已知轨迹（直线）上的抛物线标准方程，必须确定焦点位置，焦点一定是已知轨迹与[x]轴或[y]轴的交点；
（3）对于不知道是什么轨迹类型的问题，可以根据题目条件采用不同方法，如坐标法、定义法、相关点法等．此题采用定义法最为简捷．
二、与距离最近有关的问题
例2 如图2，[AB]为抛物线[y=x2]上的动弦，且[AB|=a]（[a]为常数，且[a≥1]）. 求弦[AB]的中点[M]离[x]轴的最近距离．
[图2]
解析 方法1 巧用定义，采用几何法.
设[A,M,B]点的纵坐标分别为[y1,y2,y3．][A,M,B]三点在该抛物线的准线上的射影分别为[A′,M′,B′]．
由抛物线的定义，知[|AF|=|AA′|=y1+14]，
[|BF|=|BB′|=y3+14]，
∴[y1=|AF|-14]，[y3=|BF|-14]．
又[M]是线段[AB]的中点，
∴[y2=12y1+y3=12(|AF|+|BF|-12)]
[≥12(|AB|-12)=142a-1]．
等号在[AB]过焦点[F]时成立，即当定长为[a]的弦[AB]过焦点[F]时，[M]点与[x]轴的距离最近．最近距离为[142a-1]．
方法2 代数法，采用函数思想.
设直线[AB]的方程为[y=kx+b，] [A(x1，y1)，] [B(x1，y2) ]．
联立方程得 [y=kx+b,y=x2.]
消去[y]，得[x2-kx-b=0．]
由根与系数关系，得[x1+x2=k，x1x2=-b．]
由弦长公式，得[(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=a]，
化简得[b=a2-k2-k44(1+k2)]．
显然点[M]到[x]轴的距离为该点纵坐标的绝对值.
由于[y>0，]
故[|y|=y=y1+y22]=[kx1+b+kx2+b2=2b+k22]
[=a2+k2+k44(1+k2)]=[14a21+k2+(1+k2)-1≥]
[14][2[a21+k2(1+k2)-1]]=[14(2a-1)．]
当且仅当[a21+k2=1+k2]，
即[k=±a2-1(a≥1)] 时等号成立．
当[a∈0,1]时，
[y=y1+y22]=[14a21+k2+(1+k2)-1]，可以证明[a21+k2+(1+k2)]在[k∈0,+∞)]上是增函数，故当[k=0]时，[ymin=14(a2+1-1)=a24]．
点评 此题解法很多，难点是求最小值．一般用几何思想方法（方法1）或函数思想方法（方法2）来处理．方法1最为简洁，可见熟练运用定义，并注意挖掘题目隐含的几何性质，可使解题过程简明快捷，少走弯路；同时题中条件[a≥1]不可忽视，否则只能用其它方法，如方法2.
例3 若定点[A（3，2）]，[F]为抛物线[y2=2x]的焦点，点[P]在抛物线上移动，为使[|PA|+|PF|]的值最小，求点[P]的坐标．
解析 如图3，过[A]作[AN]垂直于抛物线的准线，垂足为[N]，交抛物线于[P]，则[P]为所求的点．证明如下：
在抛物线上任取一点[P′]，作[P′N′]垂直抛物线的准线于[N′]，连结[P′F,PF]， 则
[PF=PN]， [|P′F|=|P′N|]，
∴[|P′F|+|P′A|=|P′N′|+|P′A|≥|AN′|≥|AN|]
[=|PA|+|PN|=|PA|+|PF|]，
即[|PA|+|PF|]最小．
由[y=2,y2=2x,]得[P(2，2)]．
点评 确定抛物线上的点到两定点的距离之和最短的问题（其中有一点是焦点），通常有两种情况：（1）当两定点在曲线两侧时，连接两定点的线段与曲线的交点即为所求的点；（2）当两定点在曲线的同侧时，由圆锥曲线的定义作线段的等量长度，转化为本题解法情形即可．
三、巧用一元二次方程的判别式及根与系数的关系解题
例4 抛物线[y=ax2-1]上存在关于直线[x+y=0]对称的不同两点，求[a]的取值范围．
解析 如图4，设[A,B]两点是关于直线[x+y=0]对称的不同两点，设直线[AB]方程为[y=x+b]，联立[y=x+b]与[y=ax2-1]，得[ax2-x-b+1=0]， （1）
设[Ax1,y1,Bx2,y2]，[AB]的中点为[M(x0，y0)].由根与系数的关系得[x1+x2=1a]．
∴[x0=12x1+x2=12a,y0=x0+b=12a+b]．
又[M]在[y=-x]上，
∴[12a+b=-12a]，∴[b=-1a]．
代入（1），得[ax2-x+1a-1=0]，
由Δ[>0]，得[1-4a1a-1>0]，即[a>34]．
点评 解此类问题的关键是要抓住“对称”，得到“垂直”，“过[A,B]两点的直线与抛物线[y=ax2-1]相交于不同两点”，利用一元二次方程的判别式大于零和根与系数的关系及中点坐标公式，达到设参数而不求参数的目的．
例5 如图5，已知抛物线[y2=2px][(p>0)]的焦点为[F]，[A(x1，y1)，B(x2，y2)]是过[F]的直线与抛物线的
（1）[y1y2=-p2,x1x2=p24]；
（2）[|AB|=x1+x2+p=2psin2θ]；
（3）[S△AOB=p22sinθ]；
（4）[1|AF|+1|BF|]为定值；
（5）以[AB]为直径的圆与抛物线的准线相切．
证明 （1）由已知条件得抛物线的焦点坐标为（[p2]，0），设直线方程为[x=my+p2]，代入[y2=2px]，得[y2=2pmy+p2]，即[y2-2pmy-p2=0.] (*)
设[y1，y2]是方程(*)的两个实数根，则[y1y2=-p2].
因为[y12=2px1]，[y22=2px2]，
所以[y12y22=4p2x1x2]，
∴[x1x2=p24]．
（2）由抛物线的定义，容易得到[|AB|+|BF|]=[x1+p2][+x2+p2=x1+x2+p]．
由方程(*)，得[y1+y2=2pm]．
∴[x1+x2=m(y1+y2)+p=2pm2+p]，
∴[|AB|=2pm2+2p]．
[∵θ]为直线[AB]的倾斜角，[∴m=1tanθ=cosθsinθ]，
所以[|AB|=2p(1tanθ+1)=2psin2θ]．
（3）[S△AOB=S△AOF+S△FOB]
[=12|OF|⋅sinθ⋅(|AF|+|BF|)]
[=12|OF|⋅|AB|⋅sinθ=12⋅p2⋅2psin2θsinθ=p22sinθ]．
（4）[1|AF|+1|BF|]=[1x1+p2+1x2+p2]
[=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p22]，
因为[x1x2=p24]，[x1+x2=|AB|-p]，代入上式，得[1|AF|+1|BF|]=[|AB|p24+p2(|AB|-p)+p24][=2p]，为定值．
（5）设[AB]的中点为[Mx0,y0]，分别过[A，B]作抛物线准线的垂线，垂足分别为[C， D]，过[M]作准线的垂线，垂足为[N]，
则[|MN|=12(|AC|+|DB|)=12(|AF|+|BF|)][=12|AB|.]
∴以[AB]为直径的圆与抛物线的准线相切．
点评 本题考查抛物线的定义、直线方程、一元二次方程的根与系数的关系等知识的综合应用，同时考查数形结合及化归等数学思想．记住本题的所有结论，在处理客观题时，可以提高思维起点，以求迅速求解．这里要注意形如[x=my+p2]的直线方程，不能表示斜率为0的直线．
总之，圆锥曲线问题的解题规律可以概括为：联立方程求交点，韦达定理（一元二次方程的根与系数）求弦长，根的分布求范围，曲线定义不要忘，引参、用参巧解题，理清关系思路畅，数形结合关系明，选好选准突破口，一点破全局活．
【练习】
1. 抛物线[y2=2px]上一点[M4,a]到焦点的距离等于6，则[a2p=] ．
2. 一动点到[y]轴的距离比到点[A2,0]的距离小2，该动点的轨迹方程是 ．
3. 若点[A]的坐标为[A4,2]，[F]为抛物线[y2=2x]的焦点，点[M]在这条抛物线上移动时，使[|AM|+|MF|]取最小值的[M]点的坐标为（ ）
A. （0，0） B. （2，2）
C. （[12]，1） D. （1，[2]）
4. 求抛物线[y2=x]和[(x-3)2+y2=1]上最近两点间的距离．
5. 定长为3的线段[AB]的端点[A,B]在抛物线[y2=x]上移动，求[AB]的中点到[y]轴距离的最小值，并求此时[AB]的中点[M]的坐标．
6. 已知直线[y=(a+1)x-1]与曲线[y2=ax]恰有一个公共点，求实数[a]的值．
【参考答案】
1. 128 2. [y=0（x＜0）]或[y2=8x(x≥0)]
3. B 4. （[112-1]）
5. 最小值为[54]，[M]点坐标为（[54]，[±22]）
6. [a=-1]或[a=45]