矩问题是数学优化领域中一类经典问题,其广泛应用于概率不等式、分布式鲁棒优化、期权定价和库存管理等众多领域。矩问题是一个半无限规划,对于多项式类型的矩问题,可以通过对偶理论和平方和技术将其转化成半正定规划,而半正定规划可以利用内点法多项式时间求解。然而,半正定规划方法只能提供数值解,难以获取解的显示表达式,而解的显示表达式在算法设计和实际应用中均具有非常重要的作用,此外对于非多项式类型的广义矩问题,无法通过平方和技术转化半正定规划,因此目前仍缺乏有效的求解算法处理非多项式类型的广义矩问题。为解决上述问题,本文研究了广义矩问题的理论、算法和应用。首先提出了求解矩问题的新的算法框架,如果矩问题存在最优解的显示表达式,通过新的算法框架就可以有效获取,更重要的是该算法框架还可以处理非多项式类型的广义矩问题;其次本文进一步分析了广义矩问题最优解的支撑集,获得了新的支撑集稀疏性的结论,该结果还降低了新的算法框架的求解复杂度;最后本文研究了该矩问题在概率不等式和报童问题上的应用,利用新的算法框架解决了之前无法求解的广义矩问题,并给出最优解的显示表达式（或半参数表达式）,此外,本文提出了新的分布式鲁棒报童模型,在某些情况下具有更好的数值表现,是对前人工作的一个重要补充和拓展。本文具体的工作和创新总结如下:·算法:针对一维广义矩问题,本文提出一个新的算法框架,不仅可以求解非多项式类型的广义矩问题,还可以获取解的显示表达式,此外,本文还将新的算法框架推广到带有分布结构（单峰,对称,凸）约束的广义矩问题。新的算法框架结合原始可行条件,互补松弛条件和对偶一阶条件,将广义矩问题的求解转化成确定性方程系统的求解,不仅降低了求解广义矩问题的难度,还提供了新的视角重新认识广义矩问题的原始-对偶问题之间的关系。·理论:本文研究了广义矩问题的最优解（离散分布）支撑集的稀疏性,本文从对偶问题角度,利用互补松弛条件,建立原始问题支撑点和对偶约束函数之间的关系,并发现在某些条件下,原问题最优解的支撑点大约只有2n+1个,此外上述最优支撑集的稀疏性可有效降低本文提出的新算法框架的求解难度。·应用1:本文将新的算法框架应用到分布式鲁棒报童问题,对带均值和t阶矩约束的报童问题,本文利用新的算法框架给出了最优值的显示表达式（部分结果不存在显示表达式,本文给出半参数表达式）;本文提出了新的带均值和指数矩约束的报童模型,这是一个非多项式类型的矩问题,之前算法无法求解,本文利用新的算法框架给出该问题的最优解。此外,从库存管理角度,由于新模型能够更好地利用了分布的轻尾信息,因此在高临界比情况下得到的最优订单数量更接近真实最优,降低了分布鲁棒报童模型的保守性。·应用2:本文将新的算法框架应用到概率不等式,本文提出了一个新的概率不等式,该不等式包含分布的均值、方差和半方差信息,本文证明了该不等式上、下界是紧的,并给出最优分布的显示表达式。由于半方差统计量利用了分布的非对称信息,因此新的概率不等式在处理非对称分布具有更好的估计效果;对带有均值和几何均值信息的鲁棒定价问题,这是一个非多项式类型的矩问题,由于已有算法无法有效处理非多项式类型矩问题,本文利用新的算法框架获取了该问题的最优解。