滤波器组是一种将信号分解为一组子信号的结构,已经在数字信号处理领域研究了很多年.完全重构滤波器组能确保信息的无损传输.由于在信号与图像处理,数据挖掘,数据特征提取,压缩感知等领域有着广泛的应用,近年来发展迅速.完全重构滤波器组的构造是滤波器组理论的基本问题,高效简洁的构造方法一直是研究的重点.多分辨分析和小波分析理论的建立为此提供了统一的框架.本文基于小波分析理论研究了完全重构滤波器组的构造问题,建立了多对称中心仿酉多相位矩阵的完全分解理论,得到了构造完全重构滤波器组的矩阵扩充Euclid算法.全文分为五个章节.第一章介绍了本文所涉及的滤波器组理论的基本概念和性质,概述了多分辨分析理论,阐释了构造滤波器组的两种不同途径:仿酉多相位矩阵晶格分解和Laurent多项式矩阵扩充,阐述了本文研究背景和意义.第二章通过研究-带对称尺度滤波器的分解形式,基于平衡向量和正交矩阵得到了构造对称尺度滤波器的两种简单方法.作为应用,首先构造了滤波器长度均为4的结构优美的小波系统,整个系统的自由变量数不超过4,从而有效降低了计算复杂度.然后参数化了长度为16的一类对称小波系统,整个系统由三个角参数,,确定,这有利于我们设计性能优良的滤波器组.最后给出两个数值算例来说明这种构造方法.仿酉多相位矩阵晶格分解是构造滤波器组的有效方法,但是这种方法构造的滤波器组往往只有一个对称中心,具有多个对称中心的滤波器组通常也有良好的性能,鉴于此,第三章研究具有多个对称中心的滤波器组的构造方法.我们首先研究了一种基于正交投影矩阵的空间分解,这个分解在新的完备分解理论中起着关键的作用.然后提出了最小起始块矩阵的概念,基于此建立了多对称中心的28)-带仿酉多相位矩阵的新的分解理论.这个分解是完备的,选择最小起始块矩阵的不同形式就得到不同类型的滤波器组.理论上,通过最小起始块矩阵可能形式与正交投影矩阵的组合得到了28)-带仿酉多相位矩阵的一般解.作为应用,我们详细讨论了4-带完全重构线性相位滤波器组,给出了它的一般解.对于不同的情形,通过添加正则性条件,给出了具体的数值算例,计算了这些滤波器组的编码增益.根据多分辨分析理论,小波基(框架)的构造和完全重构滤波器组的构造是一致的,构造小波系统归结为求解满足完全重构条件的矩阵,从而矩阵扩充原则成为构造完全重构滤波器组的主要数学方法.第四章我们通过研究Laurent多项式环上除法,建立了Laurent多项式矩阵扩充的Euclid算法.通过添加不同的唯一性条件,我们建立了Laurent多项式环上的几种Euclid除法理论,基于此理论我们首先给出2-带滤波器组的矩阵扩充算法,然后加以推广,得到了构造-带完全重构滤波器组的Laurent多项式矩阵扩充算法.最后我们给出几个数值算例来说明我们的构造方法,相较于已有的矩阵扩充算法,这种算法易于理解和使用,并且通过运用不同的Laurent多项式除法能得到不同的种类众多的滤波器组.第五章总结了全文的结论和创新点,指出了论文研究的不足,展望了今后需要进一步研究的问题.