随机游动作为随机过程的一个重要分支一直受到人们的关注，随机游动是研究图论、组合论、随机算法以及生物、经济等问题的重要工具.对于各种模型上随机游动问题的研究是目前概率论中的热点问题，近年来，随机游动问题与其它概率模型及其它方向的交叉研究出现了随机环境中的随机游动，群上的随机游动，图上的随机游动等.这些问题由于其重要的理论价值和应用前景受到人们的广泛关注. 本文我们主要研究了两个方面的问题，首先是对半直线上随机环境中可逗留随机游动的研究.直线可以视为一种简单的图，我们主要研究了在独立但不同分布环境下，半直线上随机环境中可逗留的随机游动的常返性和非常返性，给出了一个常返性的判别准则.进一步研究了正常返性和零常返性，给出了正常返和零常返的充要条件.这一部分作为第三章的内容出现在文中. 第二部分是对由有限群生成的图上的随机游动问题的研究.我们研究了一类由有限群生成的多割点有限图上的随机游动问题，我们利用概率论、群表示论、图论的理论的方法，得出了由有限群生成的多割点有限图上随机游动的首达时间的概率母函数的明确表达式，进而得出其平均首达时间的解析表达式，推广了前人研究的由有限群生成的单割点有限图上的随机游动问题的结果.这一部分作为第四章的内容出现在文中. 文中的第一章是绪论部分，主要介绍研究课题的背景、特点、历史发展和本文的主要结构. 第二章主要是一些预备知识，介绍了随机游动和随机环境的基本知识，以及所要用到的图论和群表示论的知识. 第五章是本文的总结和未来的研究展望.