1937年,意大利物理学家埃托雷·马约拉纳提出了狄拉克方程的一个对称的解。这个解描述了一种自身为其反粒子的费米子,也被称为马约拉纳费米子。马约拉纳的工作对基本粒子物理产生了深远的影响,尤其是中微子物理。现在对于是否存在马约拉纳费米子作为基本粒子至今仍没有定论。最近10多年,马约拉纳费米子的概念已经不仅停留在基本粒子物理领域。他推导得出的方程很自然地出现在描述处在超导态金属的电子态。当考虑一维或者二维超导体系时,超导体系可能产生具有马约拉纳费米子性质的零能准粒子激发态,也被称为马约拉纳束缚态或者马约拉纳费米子。同时,因为其具有非阿贝尔统计的性质,使得它们在量子计算中具有巨大的潜在应用价值。本论文着眼于研究目前实验上广泛采用的拓扑超导纳米线中马约拉纳束缚态的解。该模型利用具有较强电子自旋轨道耦合的半导体纳米线置于外加磁场下,并通过临近耦合到s-波超导体的方式诱导产生超导项,调节塞曼场和化学势能等参数,实现纳米线的拓扑相变,从而得到马约拉纳束缚态。我们主要利用试探波函数的方法。试探波函数的方法,比一般用变分方法求解零能附近能量本征值更加具有优势,它理论上可以给出系统所具有的所有能量本征值和本征波函数。本文的内容安排如下:1.采用试探波函数方法,我们分析了单段有限长度纳米线的BdG方程的解。结合数值计算,得到了马约拉纳束缚态能量的劈裂随外加塞曼场和化学势的变化性质。我们还求解了马约拉纳束缚态波函数的概率密度、不同自旋部分波函数的概率密度、所具有的电荷密度在各种参数下在纳米线中分布。文章还着重地解析和数值地分析了马约拉纳束缚态能量劈裂随体系的长度的变化关系。最后我们简单地将试探波函数方法应用到了具有时间反演不变性并实现马约拉纳克拉默对的超导体系。2.利用波函数在连接处的连续条件,试探波函数的方法还可以应用到求解两段具有不同化学势的非均匀拓扑纳米线中的马约拉纳束缚态。我们得到了能量本征值随较短一段纳米线化学势变化的性质。利用求解得到的波函数,文章中给出了不同化学势下波函数的概率密度以及所带电荷密度在纳米线上的分布。最后我们得到波函数分布在短的一段纳米线的总概率随该段纳米线化学势的变化。