计算机辅助设计(Computer Ai ded Design, CAD)技术的应用已经深入到各行各业,覆盖了产品设计和生产的全过程,并且有力地推动了全球性的生产合作。它的发展和应用水平已成为衡量一个国家科技现代化和工业现代化的标志之一。计算机辅助几何设计(Computer Aided Geog Design, CAGD)则是研究CAD技术中涉及到的有关理论问题。曲线曲面造型是CAGD和计算机图形学(Computer Graphics, CG)中的一项重要内容,主要研究在计算机图象系统的环境下对曲线曲面的表示、设计、显示和分析。它是CAGD中最为活跃、同时也是最关键的学科分支之一,它随着CAD／计算机辅助制造(Computer Aided Made, CAM)技术应用的深入而不断发展、日趋完善,其中非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Spline, NURBS)方法以它突出的优点已成为产品结构形状定义的工业标准,广泛应用于工业产品设计中,以解决自由曲线曲面的造型问题。在曲线曲面造型中,构造曲线曲面的方法能够提供尽可能大的灵活性是十分重要的。提供灵活性的设计方法方便设计人员的设计,从而提高的设计效率,使设计的模型更具有设计人员所希望的形状。然而,目前广泛应用的三次样条方法没有额外的自由度,因此在曲线曲面设计过程中不具有灵活性,很不适合设计人员的要求。随着测量设备精度的提高,图形快速生成技术成为许多实际应用的基本要求。由于在CG和几何造型(Geometric Design, GD)中,采用不同算法,其精度、效率、可靠性存在很大差异,对造型结果有直接甚至是决定性的影响。如何使所绘制的图形更加准确,具有一定的自由度,便于局部修改,以及如何减少绘制时间等成为摆在CAD研究工作者面前的课题,除了利用图形硬件本身的功能外,就是通过恰当地减少计算中的数量以减少几何处理阶段的时间耗费,也可以通过改进理论方法和实现算法等来提高效率,因此研究几何造型中曲线曲面设计与最短距离计算问题十分重要,这有助于工作人员根据精度的要求提高计算效率、减少计算时间、最终提高绘制图形的质量和速度,对实际应用具有十分重要意义。针对几何造型中曲线曲面设计等方面的问题,本文研究问题的主要创新点有三个。(1)给出了一种局部可调整C2参数四次样条曲线的构造方法；(2)给出了一种C2连续的四次样条插值曲面构造的方法；(3)给出了NURBS曲线、曲面之间的计算最短距离的一种算法。在许多情况下,用样条函数方法所构造的三次曲线曲面的形状是不理想的。如对本文使用的有代表性的数据点,由三次样条函数方法构造的插值曲线是不可接受的。四次样条函数由于本身的两个缺点而被人们忽视了其重要的应用价值,人们普遍认为偶数次样条曲线曲面不适合曲线曲面插值问题。四次样条函数的两个缺点：一是连续性方程对应的不是三对角矩阵；二是样条函数的断点不在数据点处。第一个缺点使构造样条函数所花费的计算大,在插值点多的情况下计算不稳定,而第二个缺点使所构造的样条曲线曲面在使用上很不方便。但我们的研究结果表明,现有四次样条曲线曲面插值中存在的问题主要是由于构造曲线曲面的方法而不是由于四次样条函数本身,因为在某些情况下,四次样条插值确实给出更好结果。在实际应用中,C2连续的曲线曲面可满足大多数应用的要求,极少有要求构造的曲线曲面是C2连续的情况。如果四次样条函数的连续性降为C2,则可去掉本身的两个缺点,并提供额外的自由度。无论在数值计算还是在外形设计中,自由度都是十分有用的。对科学计算,自由度可用来提高曲线曲面的插值精度。对外形设计,自由度可用来增加设计和构造的灵活性,控制曲线曲面的形状,例如,通过能量、长度极小化等方法确定自由度以使曲线曲面具有更合理的形状。从而使四次样条函数成为比三次样条函数更为有效的曲线曲面构造方法。本文首先研究讨论了局部可调整C2参数四次样条曲线的构造问题。样条函数以其构造简单、易于计算又有很好的力学背景等特点而得到了广泛的应用,成为最重要的曲线曲面构造方法之一。在样条函数的应用中,三次样条函数由于具有极小模性质、最佳逼近性质和很强的收敛性等而成为最主要的方法应用于构造插值曲线曲面。将四次样条曲线降为C2连续可提供自由度用于控制曲线的形状。在外形设计中,自由度可用来增加设计和构造的灵活性，控制曲线曲面的形状，从而使曲线曲面具有更合理的形状。提供额外的自由度对用户来说有时是一个负担,解决这个问题的方法是提出一个计算自由度的一般方法。本文给出一个确定自由度的局部化的一般方法。首先用二次样条函数方法局部化地在每个数据点处确定一个切矢量,数据点和切矢量大致决定了四次样条曲线的形状。每段曲线上的自由度由极小化该段样条曲线的变化率确定。对样条曲线上不理想的部分,我们为其重新定义理想运动矢量,若曲线沿理想运动矢量方向变化可形成理想轨迹,用曲线导矢量和运动矢量的向量叉乘平方的积分定义目标函数,曲线的不理想的部分通过极小化目标函数进行修改。最后,用实例对新方法和和三、四次样条函数方法的插值曲线形状进行了比较,并给出了对曲线采用向量叉乘技术定义目标函数做局部调整的效果。该方法具有样条函数的优点,同时提供额外的自由度,用于提高曲线的插值精度和调整其形状,即曲线是局部可调整的。由一般方法构造的曲线上可能存在不理想的部分,这些部分可通过调整相应的自由度进行修改,从而使构造的曲线具有数据点所建议的形状。本文又讨论了构造C2续的四次样条插值曲面问题。使四次样条函数为C2连续可提供额外的自由度,用于提高曲面的插值精度和控制曲面的形状。讨论了C2连续的四次样条曲线需满足的连续性方程,提出了构造C2连续的四次样条插值曲面的新方法。方法的优点是曲面须满足的连续性方程是三对角占优势的,曲面的不连续点在给定的数据点处。所构造的曲面具有四次多项式插值精度。最后以具体实例对新方法和现有三、四次样条函数方法的插值精度做了比较。我们知道几何形状间最短距离的计算是几何设计中的个基本问题,在机器人规划、计算机仿真、与虚拟现实等的应用中具有重要意义。通常方法是将曲线曲面用简单几何体包围,把几何体之间的最短距离近似的看做曲线曲面间的最短距离。但这种算法需要大量的多边形检测,在某些情况下,对于计算机图形学和计算机辅助几何设计研究者来说,这样计算出的最短距离不够精确。计算两个自由曲线曲面之间的最短距离已有很多算法。Johnson & Cohen给出了计算两个复杂曲面之间最短距离的方法。刘浩等给出了利用双二次Bezier曲面为非负的充要条件计算双二次NURBS曲面间最短距离的算法。Turnbull & Cameron给出了计算MURBS定义的凸包模型间最短距离的方法。Ma等提出了快速计算两条NURBS曲线间最短距离的鲁棒算法,还有一些其他相关的方法等。本文进一步研究NURBS表示的曲线与曲线、曲线与曲面和曲面与曲面之间的最短距离计算问题。给出了计算两个NURBS曲线曲面间的最短距离的一种新算法。该算法首先将两个NURBS形状分解成分段Bezier表示的两个集合。给出了一个简单快速算法计算两集合的边界包围球,然后分别在两个集合中选择包含最短距离的Bezier表示对,形成候选集。算法采用边界包围球和“四点条件”约束提高计算效率,用多维的Newton-Raphson迭代计算所有候选对间的局部最短距离,由此求出全局的最短距离。文中算法具有速度快、精度高和鲁棒性好的特点,可实时计算两个NURBS曲线曲面间的最短距离。NURBS曲线和曲面在形状定义和设计方面有很大的灵活性,而且还具有统一、通用、有效的标准算法和强有力的配套技术,这些优点使得它在工业方面得到了广泛的应用。在CAGD中,人们经常遇到对两个NURBS曲线或曲面的最短距离计算的问题,实验结果表明,该算法具有很高的稳定性,特别是在处理复杂NURBS曲线曲面时表现更为有效,算法易于并行实现。该算法可直接应用到所有由Bezier或B样条所表示的几何形状上,也可以进一步扩展应用到细分曲线曲面,因为细分曲线和NURBS曲线有很多相同的性质。因此,该方法可实时求解两个自由形状间的最短距离,是一种快速通用算法。本文研究的局部可调整C2参数四次插值曲线构造、C2连续的四次样条曲面构造及NURBS曲线曲面间最短距离的计算等问题,为计算机辅助几何设计、计算机图形学和科学计算等领域提供了一些新的理论和方法,以满足实际应用的需要。