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自由不连续问题（Free Discontinuity Problem）的提出和研究开始于1990年前后。由De Giorgi把这些涉及到自由不连续集的变分问题，统一称为自由不连续问题。这类问题在信息科学中的图像处理（image analysis），数学物理中的液晶理论（liquid crystal theory）和断裂力学（fracture mechanics）等方面都有重要的应用。在理论上，自由不连续问题涉及到现代偏微分方程、变分学和几何测度论等方面的内容，是现代偏微分方程、变分学和几何测度论等领域的新课题。本论文主要有三方面内容：一是讨论SBV框架下的自由不连续问题的部分正则性；二是讨论SBD框架下的自由不连续问题的存在性；三是讨论SBH框架下的自由不连续问题的存在性。第一章简要概述了自由不连续问题研究的背景、进展以及本文所研究的问题、运用的方法和获得的若干结果。第二章引入本文所需要的基本知识、符号和相关的引理。第三章首先讨论了Mumford-Shah泛函极小的一个正则性质。我们运用Excision方法得到了Mumford-Shah泛函极小的一个Lipschlitz性质。其次讨论了自由不连续问题的极小函数的奇异集的奇异部分的Hausdorff维数估计，给出了Mumford-Shah泛函中的不连续集的奇异部分Σ（u）的几个表示。我们去掉了梯度的高级可积性的假设，即|▽u|∈Llocp（Ω），证明了H-dim（Σ）≤N-2，给出了De Giorgi猜想的一个部分回答。第四章讨论了SBH（Ω）空间中自由不连续问题极小的存在性。首先给出了SBH（Ω）空间的一个紧性定理，然后利用这个定理讨论了两个不同泛函的变分问题。第五章讨论BD函数空间积分泛函的下半连续问题和松弛结果。首先我们考虑LD空间满足线性增长的积分泛函的下半连续性；其次在SBD函数空间讨论了被积函数为Carathéodory函数时的积分泛函在满足对称拟凸条件时的下半连续性，主要利用SBD函数空间的紧性定理和blow-up方法以及Morrey定理等给出了积分泛函关于L1-强收敛的下半连续性；然后利用BD函数的一维截断方法和结构定理，讨论了在BD全空间上的积分泛函的下半连续性。最后讨论SBD（Ω）空间中密度函数与x和u以及εu都相关的积分泛函关于L1-强收敛的松弛结果。利用被积函数f（x，u（x），εu（x））类似SBV情形下关于f（x，u（x），▽u（x））的一个条件、对称拟凸性质、，Lusin定理和全局方法（global method）等得到了积分泛函的松弛泛函的一个积分表示。第六章给出了BD函数的链式法则（chain rule）的几个特殊结果。我们首先给出在BD函数的均匀化理论中一个有用的结果；然后给出散度形式的一些链式结果。但对一般情形的链式法则还没有结果。第七章讨论了SBD（Ω）空间的自由不连续问题极小的存在性。首先讨论了一般形式的自由不连续问题：我们考虑了两类不同泛函的变分问题。主要利用SBD函数空间的紧性定理，BD函数的Poincaré不等式等给出了变分问题的存在性。这里我们没有考虑u的有界性限制。然后我们给出了SBD函数空间一种特殊的自由不连续问题（即分片刚体情形）极小的存在性。主要利用Borel分解的紧性、SBD函数和有限周长集的性质，通过变分的直接方法给出证明。