本文主要讨论如下形式的Kirchhoff型椭圆方程-(a+b∫R3|▽u|2dx)△u+V(x)u=μu+|u|p-1u,x∈R3,u∈H1(R3),(0-1)其中常数a,b>0,μ为正参数,p∈(3,5),位势V(x)∈C(R3,R+)并且满足条件:(V1)当|x|→∞时,V(x)→∞.方程(0-1)的解可以通过寻找带权Sobolev空间H={u∈W1,2(R3):∫R3V(x)u2dx<∞}上的如下能量泛函Iμ(u):H→R的临界点得到Iμ(u)=1/2∫R3a|▽u|2+V(x)u2dx+b/4(∫R3|▽u|2dx)2-μ/2∫R3u2dx-1/p+1∫R3|u|p+1dx.令μ1是Schrodinger算子-△+V的第一特征值,当0<μ<μ1时,对任意的p∈(3,5)以及满足条件(V1)的位势函数V(x),用Nehari流形约束方法很容易证明方程(0-1)存在最低能量解,但是,当μ≥μ1时,对上述问题该方法将不再适合.本文主要利用现代变分法中的山路引理、Ekeland变分原理以及对称山路引理等方法并结合一些分析技巧得到了方程(0-1)在μ≥μ1时非平凡解的存在性、最低能量解的存在性以及无穷多解的存在性.首先,我们利用山路引理证明了对任意给定的b>0,一定存在某个δ(b)>0使得对任意的μ∈[μ1,μ1+δ(b)),方程(O-1)总有非平凡解uμ∈H并且Iμ(uμ)>0.在此基础上,我们进一步讨论了这些非平凡解对参数μ的依赖性,并证明了任意序列{μn}(?)[μ1,μ1+δ(b)):μn→nμ1,则μn相对应的方程非平凡解uμn在H中强收敛到uμ1,uμ1为μ1所对应的方程(0-1)的解且I’μ1(uμ1)=O和Iμ1(uμ1)>0.在这个过程中,由于所研究的问题含有带梯度的非局部项,通常的方法不能直接用来验证相应的能量泛函满足P-S条件,本文通过具体分析P-S序列相关子列的极限性质最终克服了这一困难,这也是本文的主要难点之一.为了寻找最低能量解,我们通过研究合适的极小化问题并利用Ekeland变分原理,证明了对于任意给定的b>0,存在更小的δ1(b)∈(0,δ(b)),使得当μ∈(μ1,μ1+δ1(b))时,方程(0-1)存在非负最低能量解uμ∈H且Iμ(uμ)<0.此时,对于序列{μn}(?)(μ1,μ1+δ1(b)),μn→nμ1,则μn对应的方程最低能量解uμn在H中强收敛到0.最后,我们还利用对称山路引理证明了对任意给定的μ∈R,方程(0-1)存在无穷多个非平凡解.