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随机有限元法(SFEM)是不确定性定量化的一种重要工具,目前主要研究内容包括随机介质建模和方程求解两部分。随机介质建模方面,形态函数(线性路径函数和两点簇函数)的引入可以显著改善重构样本的精度,但是形态函数对微结构的区分程度尚缺乏理论依据。SFEM方程解法方面,目前还缺少计算效率高、兼具收敛判据和误差估计的解法。本文针对SFEM中的这两大问题,意图发展出高效、准确的解法,建立形态函数的理论表达式。论文的主要工作包括:一、提出了一种基于Neumann展开的精度可控、高效的SFEM方程解法——广义Neumann展开(GNE)法。GNE解法的计算效率高、与摄动法相当,具备充要的后验收敛判据、充分非必要的先验收敛判据,以及后验误差估计。得到了高斯随机变量情况下前三阶解答的期望与协方差的直接计算式,分析了GNE解法的计算量与存储量,给出了当前可能求解的问题规模。研究表明,对于确定性载荷线性SFEM方程,GNE、摄动法和Neumann展开法三者在数学上等价;对于一般的SFEM方程,GNE与Neumann展开等价,两者与摄动法不等价。GNE法兼具摄动法和Neumann展开法的优点,在很大程度上克服了两者的缺点。二、建立了SFEM方程摄动类解法(GNE、Neumann展开、摄动法)的先验误差估计体系。定义了一种新的相容的向量范数和矩阵范数,提出了关于矩阵之和以及随机矩阵的特征值的两个数学定理与五个数学推论,提出了随机迭代矩阵谱半径定理和随机刚度矩阵谱半径定理,进而建立了五个先验误差估计式,解决了弹性模量为随机场时SFEM方程摄动类解法的先验误差估计问题。误差估计式可先验地估计各阶展开的解向量、解向量期望与协方差的误差上限,也可以根据精度需求判断所需的展开阶数。研究表明,非均匀材料均匀化引起的解向量的相对误差不大于弹性模量的最大扰动幅值;三阶展开对于变化幅度达50%的弹性模量随机场,解向量的相对误差不超过6.25%。三、给出了凸形颗粒形态函数的一般计算方法,得到了正三角形、正四边形、正六边形、圆形、球形颗粒的不同尺寸分布、不同取向分布时的线性路径函数和两点簇函数的理论表达式,为随机介质的微结构重构提供了理论参考。提出了一种针对周期性材料样本的线性路径函数的数值提取算法,可以同时无偏、高效地提取颗粒和母材在任意方向上的线性路径函数。