本文主要研究了一类非线性椭圆方程Neumann边值问题多重解的 存在性和相应的抛物方程的平衡解的稳定性。 首先我们讨论了Neumann边值问题多重解的存在性问题 设Ω Rn是具有光滑边界Ω的有界区域.考虑Neumann边值问 题 这里α＞0，f∈C~1（Ω,R）,满足f（0）=0． 设σ（－Δ）:=（λi|0=λ1＜λ2≤…≤λk≤…}是带Neumann边值条 件的线性特征问题 的特征值．记 假设以下条件成立： （i） 存在常数C1，C2＞0，使得 （ii） 存在θ＞2，M＞0使得 （iv）存在 M＞0，N＞0使得 f（-N）=f（M）=0； （v）存在m＞0，使得 g（u）+mu。单调递增． b 我们得到在上述条件下，问题问至少有七个非平凡解，其中有两 个正解，两个负解，三个变号解． 其次我们讨论了相应于间题川的抛物型方程 【绘二么。＋g（X k，八 E Q＿：＝n x阻＋coX （u＝0，（x，t） E S。：＝off x（0，＋co），（11） 】a＿一号＼一I”／—－——·—。。””＼一gi—一／〕 I。（，0）＝W（I，IE fi 的平衡解的稳定性问题．众所周知，问题（11）的平衡解是瞩的解．我 们证明了若函数f满足条件（i＊州以及条件 卜）u＝M是f（…在原点右端的第一个零点，。。一N是f（。。）在 原点左端的第一个零点； …1）f…）在区间队州上严格上凸，在区间卜N，0）上严格下凸， 则问题瞩的一对正负解是局部渐近稳定的，平凡解。＝0是不稳定 的． 对于间题厂）的研究，我们应用了变分方法和临界点理论．根据临 界点理论，问题瞩的解是定义在Hilbert空间E－W‘，川1）上的相应 泛函的临界点·设。mm。空间。：－扣。。‘历)．瓮。－叶是。的子 空间，卜N；州：二卜EX！－NS叫)三MIE川是x中的序区间． 应用上下解方法，序区间上的山路定理（Mountain najss Theorem in Order IntervalSU］），Leray－Schauder拓扑度理论和下降流的不变性理论，我们证 明了厂)在序区间卜N；M］中有四个非零解，其中一个正解，一个负解 和两个变号解，在序区间卜N，州外还存在三个非零解，其中一个正 解，一个负解，一个变号解。 对间题厂)的研究建立在厂)的基础上．应用上下解方法和线性 化理论，我们证明了在序区间卜N，州内部，问题厂)的一对正负平 衡解具有局部渐近稳定性．同时，通过把（11）化归为线性近似方程确 定稳定性的方法证明了O)的平凡平衡解。＝0是不稳定的．