组合地图是图在曲面上的2-胞腔嵌入。作为联系组合结构与经典数学的纽带，地图研究已经日益引起了人们的普遍的兴趣，其作用与重要性也逐渐得到了显现。　　上个世纪，人们对地图的研究主要集中在对其自身组合性质的研究。以加拿大著名数学家Tutte为代表的地图计数，特别是标根地图的计数，一时间曾成为研究的主流，这方面的论文至今在学术刊物上还不时能够见到。这些在刘彦佩的专著[28]中有着详细的记载。而研究图在曲面上的嵌入性质，包括地图在曲面上着色的研究，则是地图理论研究的另一个主要方向，其目的是希望能够采用组合的方法对曲面进行刻画，一些零散的研究可以在Gross和Tucker的[20],Mohar和Thomassen的[48]以及White的[61]中见到，尤其是文献[48]，可以作为这方面的一个代表。而那些在学术期刊中见到的一些零散的研究群与图的论文，进而构造对称地图的文献，则形成了地图理论与其他数学学科交叉的闪光点。　　实际上，地图作为曲面的一种理想的划分，更多地应显现其对曲面研究，如Riemann面Klein面的贡献。我们知道，Riemann面作为代数几何的一个简单情形，为数学创造及应用提供了直觉思考的源泉。而地图与Riemann面的关系则是早已为人们所知的。那么如何在组合地图的基础上去构建Riemann面，直至Riemann几何理论，则是应当深入思考的问题。本文除包含一般组合地图计数问题外，更多地，则是采用组合地图去研究Riemann面Klein面中一些结论的组合推广。这种研究虽然是初步的，但其作用则已经得到体现，是值得从事组合学研究，特别是想从组合学角度去研究其他数学领域的人去深入探索的一个方向。　　以下介绍一下各章的主要内容。　　第一章是预备知识。虽说是预备知识，但实际上许多结论、内容也是新的。该章首先介绍了Klein面、地图等基本概念、关系。引入了图的半边自同构群的概念，进而建立了计数不标根地图的统一框架。最后一节研究了图在可定向、不可定向曲面上的嵌入分布与标根地图分布之间的关系，建立了图的全嵌入多项式与标根地图多项式之间的一个关系，导出了一个一般性的方程。　　第二章则以地图作为Klein面的一种组合模型，研究其自同构的性质。首先结合地图的代数定义，给出了电压地图的代数定义，得到了地图自同构群的一个条件，由此实现了对Riemann面上的Hurwitz定理得组合推广，并得到了Klein面上类似的结果。最后，研究了Klein面上循环自同构群阶的估界，这是从事Klein面研究的人普遍感兴趣的一个问题。令人惊奇的是，采用组合地图方法得到的估界远较采用组合群论方法得到的要好。　　第三章则研究图的自同构群何时为地图的自同构群。这里得到了图的自同构群为地图自同构群的一个充分必要条件。这一章还给出了完全地图、半正则地图及单面地图自同构群的具体表写。要知道，这在一般Klein面的研究中是做不到的。　　第四章主要是运用第一章和第三章的结果对不标根地图进行计数，这公认是地图计数问题中比较困难的问题。这一章给出了不标根的完全地图、半正则地图和单点地图的计数推导和公式。　　最后一章则是站在组合学与其他数学学科协调发展的角度，提出组合学，特别是组合地图与Riemann面、Riemann几何的相互促进、发展中应着重思考、研究的几个问题。虽然标题写的是未解决的公开问题，但实际上，其中每个问题的解决均需要建立一套完整的理论体系，进而才能实现组合学对经典数学的贡献。这是作者的期望，同时也是作者本人在今后十年、二十年的主攻方向。