【摘 要】
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对称图广泛的应用性使其一直是代数图论研究中的热门话题.本文研究的是有向对称图的刻画与分类,主要包括确定点本原s-弧传递有向图的s的上界和非交换单群7度无向对称Cayley图的分类两个问题.W.T.Tutte[40]在1947年证明了:有限3度s-弧传递无向图的s ≤5.R.Wiss[41]在1981年将该结果推广到任意度数:s≤7.一个自然的问题得到了广泛关注:对于有向s-弧传递图的s是否有上界?
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对称图广泛的应用性使其一直是代数图论研究中的热门话题.本文研究的是有向对称图的刻画与分类,主要包括确定点本原s-弧传递有向图的s的上界和非交换单群7度无向对称Cayley图的分类两个问题.W.T.Tutte[40]在1947年证明了:有限3度s-弧传递无向图的s ≤5.R.Wiss[41]在1981年将该结果推广到任意度数:s≤7.一个自然的问题得到了广泛关注:对于有向s-弧传递图的s是否有上界?与无向图情形不同,答案是否定的.那么,加上点本原的条件后又该如何呢?M.Giudici和夏彬(?)[22]将该条件下s的上界问题归结到了图自同构群为几乎单群的情况.2019年,M.Giudici,李才恒和夏彬(?)[21]证明了:当图自同构群为线性几乎单群时,s≤2.潘江敏等人[38]在2020年证明了图自同构群为交错几乎单群时也有s ≤2.本文的有向图部分主要研究图自同构群为李型例外几乎单群的情况,首先研究了两个最小的群Suzuki群和Ree群.通过判断两群的点稳定子群是否有非平凡的齐次因式分解,最终证明了:图自同构群为Suzuki几乎单群或Ree几乎单群的点本原s-弧传递有向图的s ≤2.李才恒[27]于1996年给出了非交换单群3度对称Cayley图的分类.方新贵等人[12]在2011年给出了非交换单群5度对称Cayley图的分类.一个自然的问题:对于7度甚至是一般素数度的该类图是否也可以给出一个分类呢?本文无向图部分的主要工作就是给出非交换单群7度对称Cayley图的分类.通过对图自同构群在图上作用是否拟本原的两种情况分别讨论分析,首先将作用拟本原的情况归结到几乎单群的情况,其次,非拟本原情况通过考虑其商图,亦归结到几乎单的情形,并最终给出了该类图的完全分类.
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