本文主要研究了含有脉冲控制方程的最优控制问题以及带有有界位势的热方程在全空间上的能观性不等式.首先,我们考虑了一类含有脉冲控制的线性发展方程的时间最优控制问题,得到了时间最优控制的存在性、bang-bang性和时间最优函数对参数的连续依赖性.然后,研究了一类具有脉冲控制的半线性热方程的范数最优控制问题,得到了最优控制的存在性,建立了最优控制问题的Pontryagin最大值原理.最后,我们建立了带有有界位势的热方程在全空间上的能观性不等式.本文共分六章.第一章主要陈述了本文所研究问题的背景与现状.包括发展方程的时间最优控制问题,热方程的范数最优控制问题以及抛物方程的能观性不等式.第二章介绍了文中所需的预备知识.第三章研究了一类具有脉冲控制的线性发展方程的时间最优控制问题.它的目的是在给定的控制约束集中找到一个最优脉冲控制,使该方程从给定的初始状态最快达到给定的目标集合.首先,我们研究了该问题最优控制的存在性;其次,再利用Hahn-Banach定理的几何形式证明了最优控制的bang–bang性质,从而得到最优控制具有唯一性;最后,建立了该问题的时间最优函数对两个参数（控制约束的上界和脉冲时刻）的连续依赖性,并讨论了最优控制与上述两个参数的收敛关系.第四章研究了一类具有脉冲控制的半线性热方程的范数最优控制问题.该问题的目的是在控制约束集中找到一个范数最小的脉冲控制,使得方程的解在一个给定的时间从初始状态达到事先给定的目标集.我们先证明最优控制的存在性,然后建立了该问题的Pontryagin最大值原理.在第五章中,我们建立了具有有界位势的热方程在全空间上的能观性不等式.简单地说,该能观性不等式说明了解的总能量可以由在全空间上均匀分布的子集合上的能量来控制.能观性不等式的证明主要采用抛物型频率函数法,该方法对证明抛物型方程解的唯一延拓性起着重要作用.利用抛物型频率函数法,我们得到了方程解的局部插值不等式.然后推导出全空间的插值不等式,从而获得全空间上的能观性不等式.作为能观性不等式的应用,可知在全空间上具有有界位势的热方程是零能控的.第六章,我们给出了本文的总结以及未来展望.