格论作为抽象代数的一个分支,是定义在集合系统上的逻辑运算。它的成型标志是美国数学家Garrett Birkhoff在1937-1939年所撰巨著《Lattice Theory》。经过近80年的发展,格论已经发展成为一门独立的数学学科,在抽象代数、射影几何、拓扑学、点集论、数论、逻辑和概率论等诸多领域有着广泛应用。格论中有分配格,模格,半模格,原子格,代数格等许多类型,这些类型的格之间存在着包含关系,甚至存在着等价关系,而那些不存在等价关系的类型的格之间需要列举出相应的反例,通过对反例的研究能够深入学习理解格论。本文在对格论的研讨中引入格的上下集对格进行刻画,并对格论中的一些反例进行研究。第一章简述格论中反例的研究背景和意义,国内外研究现状及主要研究结果。第二章介绍本文在研究中需要用到的模律、原子格、有补性和理想及其相关条件下的定义、定理。第三章引入一类新的特殊子集——格的上集和下集,通过研究发现这一特殊子集对格有着相当好的刻画,因此给出一些格类基于上集和下集的刻画定理。同时,这些刻画定理对于格论的理解也有着较好的作用,并就上集和下集本身构造进行探讨。第四章对格论中原子格、模律、理想、有补性的一些具有代表性的反例进行研究探讨,且在已有的基础上结合相关理论添加适当的刻画使其等价并给出证明,同时对已知反例进行简化并给出最小性的证明。