【摘 要】
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谱方法在求解微分方程过程中扮演着重要的角色,目前它普遍被应用到工程及其他实际问题中.谱方法的显著特点是精度高,即”无穷阶”的收敛性,也就说其收敛速度会随着真解光滑性的提高而增加.分数阶积分微分的记忆性质在多个分支领域均有体现,例如粘弹性、控制、电化学和电磁等,针对这一普适性越来越多的学者投入到对分数阶积分微分理论的研究使其日趋完善.因此本文主要是研究分数阶积分微分方程的分片Jacobi谱配置法.本
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谱方法在求解微分方程过程中扮演着重要的角色,目前它普遍被应用到工程及其他实际问题中.谱方法的显著特点是精度高,即”无穷阶”的收敛性,也就说其收敛速度会随着真解光滑性的提高而增加.分数阶积分微分的记忆性质在多个分支领域均有体现,例如粘弹性、控制、电化学和电磁等,针对这一普适性越来越多的学者投入到对分数阶积分微分理论的研究使其日趋完善.因此本文主要是研究分数阶积分微分方程的分片Jacobi谱配置法.本文首先根据Riemann-Liouville分数阶积分的和Caputo分数阶导数的性质将原方程转化为带有奇异核的分数阶积分微分方程组,为了采用正交性理论,利用相关变换将积分区间转换到[-1,1]上;其次将区间[-1,1]划分为+1个小区间,选择标准区间[-1,1]上的N+1个Legendre-Gauss-Lobatto点作为配置点代入方程组;最后利用Jacobi-Guass求积公式逼近方程组中带奇异核的积分项,同时利用LegendreGauss求积公式逼近带非奇异核的积分项,进而得到分数阶积分微分方程的分片Jac-obi谱配置格式.运用同样的方法我们也可以得到非线性分数阶积分微分方程的数值离散格式.文中对分片Jacobi谱配置法进行误差分析,结果表明分数阶积分微分方程在该方法下所得的数值解和精确解之间的误差呈指数收敛.此外,我们可以利用网格加密和增加多项式的次数来提高该数值解的精度.文章最后利用数值算例证实了该方法的有效性,并对分片Jacobi谱配置法和Jacobi谱配置法下的误差进行比较可知,分片Jacobi谱配置法具有更好的收敛性.
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