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压缩感知(Compressed Sensing, CS)技术是一种新兴的压缩采样技术，由于其具有对未知信号边采样边压缩的特性，所以该技术在许多领域特别是图像处理领域具有广阔的应用前景。该技术中的核心问题是信号的稀疏性表示/近似问题、压缩采样(投影)问题和重构问题，而通过求解非线性优化问题从少量非自适应、线性的观测中重构出稀疏信号的CS重构问题又起着举足轻重的作用；如何构造稳定、对观测数据要求少(反映了压缩比高)、计算复杂度低、收敛速度快的重构算法，一直是CS理论重构技术研究的主要内容和追求的目标。此外，在实际的应用中，噪声难以避免，所以研究压缩感知重构技术的鲁棒性，以改善重构信号质量，并将CS的重构技术应用于图像处理领域的多聚焦图像融合，是十分重要和很有意义的课题。本论文正是对此开展深入研究，本文的主要创新工作如下：(1)针对压缩感知中信号重构的经典模型1-正则化模型中的1-正则项非光滑，求解比较困难，提出了交替方向外点持续法(Alternating Direction Exterior Point Continuation Method,ADEPCM)。该算法通过引入罚函数，对罚函数中的变量交替进行最小化，并采用持续的方式更新惩罚参数。此外，将ADEPCM用于理想无噪声环境下和含噪声环境下的图像重构，并对实验结果进行了分析。实验结果表明：ADEPCM与内点法、稀疏重构梯度投影算法、两步迭代收缩阈值算法、分裂增广拉格朗日收缩算法等经典的CS信号重构算法相比，具有更快速的收敛速度、更高的重构峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio, PSNR)和更强的抗噪声鲁棒性；(2)针对压缩感知中信号重构的0-正则化问题为非凸优化问题，求解比较困难，提出了快速交替方向乘子法(Fast Alternating Direction Method of Multipliers, FADMM)。该算法首先将信号的稀疏域的0-正则化问题通过变量分裂技术转化为与之等价的约束优化问题；然后引入乘子函数，采用一步Gauss-Seidel思想，对乘子函数中的变量交替进行最小化；此外，为了加快算法的收敛速度，对变量进行了二次更新，并更新了乘子；最后进行反正交变换，实现了对原始信号的重构。并将FADMM应用于理想无噪声环境下和含噪声环境下的重构，进行了仿真实验及对实验结果进行了分析。实验结果表明：与现有的CS信号重构的分裂增广拉格朗日收缩算法、加速迭代硬阈值算法、迭代硬阈值算法、两步迭代收缩阈值算法相比，FADMM具有更高的重构峰值信噪比(PSNR)、更快速的收敛速度和更强的抗噪声鲁棒性；(3)从欠定系统中重构出稀疏信号是压缩感知领域研究的一大热点，这个NP-hard问题在一定条件下可以转化为求解1-正则化问题这样一个凸松弛问题。但是该凸松弛问题具有非光滑性，因此一般不容易求解；另外，现有的一些求解该类问题的CS信号重构算法大都收敛速度较慢。针对这些问题，根据快速的思想和线性化的思想提出了快速线性交替方向乘子法(Fast Linearized Alternating Direction Method of Multipliers, FLADMM)来解决该问题的拉格朗日对偶问题。此外，为了更广泛的应用，将1-正则化模型进行推广提出了增广1-正则化模型，并用FLADMM算法对该新模型进行了求解。并将FLADMM算法用于理想无噪声环境和含噪声环境下的图像重构。仿真实验结果表明，与CS信号重构的一些经典算法例如交替方向乘子法、加速线性Bregman法、基追踪算法、正交匹配追踪算法等相比，FLADMM具有更高的重构峰值信噪比(PSNR)，更快速的收敛速度和更强的抗噪声鲁棒性；(4)将本文研究的压缩感知重构技术应用于图像处理领域的多聚焦图像融合，提出了一种有效的基于压缩感知的小波域多聚焦图像融合与重构系统。该系统由三部分组成：首先，将两幅源图像用离散小波变换(Discrete Wavelet Transform, DWT)分别进行稀疏表示，得到它们的稀疏系数；然后，分别用高斯随机矩阵对得到的稀疏系数进行观测得到两个观测向量，提出自适应局部能量测度(Adaptive Local Energy Metrics, ALEM)融合准则对这两个观测向量进行融合；最后提出快速持续线性增广拉格朗日法(Fast Continuous Linearized AugmentedLagrangian Method, FCLALM)来重构出融合稀疏系数，并通过反离散小波变换(InverseDiscrete Wavelet Transform, IDWT)重构出融合图像。进行了仿真实验并对实验结果进行了分析。实验结果表明：与最大值选取、标准差加权平均等其他基于CS的多聚焦图像融合准则相比，ALEM融合准则具有更高的融合质量；此外，与现有的不动点持续算法、快速迭代收缩阈值算法、正交匹配追踪算法等CS信号重构的算法相比，FCLALM具有更高的重构峰值信噪比(PSNR)和更快速的收敛速度。