近年来,偏微分方程特征值问题在前沿科技和工程领域越来越受到关注[51].在偏微分方程特征值问题中,椭圆型偏微分方程特征值问题是一类非常重要的研究课题.例如Laplacian特征值问题可用于求区域的Poincare常数[68,112],并且在复杂非线性方程谱理论中有着重要作用[107].在物理领域,特征值问题通常和振动现象,特别是共振现象有着密切的联系.大多数弹性体都以某种特定的频率进行振动,当外界振动频率与其自身振动频率相近时即会引起共振现象[2,18,41].关于偏微分方程特征值问题的应用可参见[51].除了上述应用之外,特征值在其它工程领域也有着广泛应用,例如融合实验中的等离子物理学,天体物理学,石油储层模拟,流体流动的线性稳定性力学和电子能带结构计算等等,具体工程应用参见[51].目前为止已经有许多种数值方法用于求解特征值问题,例如有限差分法[71,89],有限元方法[5,7,92,106,25,49,35,29],谱方法[93,69,109,87,4,11],以及间断有限元方法[40,141,12]等.然而,对于数值求解特征值问题仍然有两个困难.一个困难是特征值问题作为非线性问题,其数值求解的计算量很大.利用迭代法直接求解非线性问题时,往往需要多次重复求解高维线性方程组,需要大量的运算和存储空间.因此迫切需要设计合适的算法来减少计算复杂度.另一个困难是如何得到特征值的下界估计.根据极小极大原理,协调有限元方法只能得到特征值的上界.为了精确得到特征值所在的区间,我们还需要计算出特征值的下界.在本文中,我们将利用弱有限元方法来得到偏微分方程特征值问题的渐近下界,并通过加速算法来提高计算效率.弱有限元方法最早是在2011年被用于在多边形或多面体网格上求解二阶椭圆方程[120].弱有限元方法的主要思想是以间断的分片多项式作为基底,并用特殊定义的弱微分算子来代替传统意义的微分算子.由于弱有限元方法的有限元空间由间断的分片多项式构成,因此弱有限元空间在构造时不需要考虑单元基函数的连续性,即弱有限元空间的基函数可在每个单元上分片定义,且不同单元之间互不影响.这给弱有限元方法带来了很强的灵活性.由于不需要连续性条件,弱有限元方法可适用于一般多边形,并且易于拓展到三维情形.对于间断的分片多项式,使用按分部积分定义的弱微分算子是弱有限元方法的另一重要特点.弱微分算子可以更好的刻画单元内部和边界函数值对导数值的共同影响作用,使得数值方法具有更好的逼近性.弱有限元方法可应用于很多种不同类型的偏微分方程,如重调和方程[98,101,146],Stokes 方程[122,143],Brinkman 方程[97,123,142],以及 Maxwell 方程[102]等.本文中利用的加速算法包括两网格方法,及其派生出的两空间方法和位移反幂法等.两网格方法在[131]首先被用于求解半线性二阶椭圆方程,随后被应用于其它类型的非线性偏微分方程[132]和特征值问题中[133].两网格方法的主要思想是将原先细网格上的大规模特征值问题转化为一个粗网格上的特征值和一个细网格上的线性问题进行求解,同时通过合理选取粗网格步长H和细网格步长h来保持同样的精度.例如对于Laplacian特征值问题,网格比可选为H=(?),从而大大减少计算量.两网格方法还被用于其它类型的特征值问题[134,136],并且进一步发展出了多重网格法[36,64,128].本文主要分为两部分.第一部分中,我们将弱有限元方法应用于椭圆型偏微分方程特征值问题中,并给出收敛性分析.我们将探讨在特征值问题中弱有限元方法的性质,给出一般的渐近下界估计的分析框架,并针对Laplacian特征值问题和重调和特征值问题给出具体理论分析.在渐近下界分析的基础上我们还将研究利用插值后处理技巧,在不求解额外线性方程组的条件下得到特征值上界的方法.第二部分中我们主要关注对弱有限元方法的加速算法.我们将分别利用两网格方法,两空间方法和位移反幂法对特征值问题的弱有限元方法进行加速.我们还研究了如何在使用加速算法提高求解效率的同时,保持弱有限元方法数值解的渐近下界性质.本文具体内容如下:第一部分主要包括本文的第二章和第三章.我们研究一般椭圆型偏微分方程特征值问题的弱有限元方法,并应用到Laplacian特征值问题和重调和特征值问题中.第二章,我们首先考虑如下形式的抽象特征值问题a(u,v)= λb(u,v),(?)v∈Vc,(1)aw(uh,vh)=λhb(uh,vh),(?)vh∈Vh,(2)其中Vc表示精确解所在的Hilbert空间,Vh表示数值解所在的有限维Hilbert空间.Vc和Vh均为某Hilbert空间V的子空间,但Vh(?)Vc.对于该抽象问题,我们提出了如下7条假设.假设(A1)a(.,.),aw(.,.)(.,.),b(.,.)是对称的双线性形式.且对任意v∈Vc和vh∈Vh,有其中γc和γ(h)均大于0.假设(A2)a(.,.)和(.,.)对应的解算子K和Kh为紧算子.假设(A3)存在有界线性算子Qh:V→ Vh满足假设(A4)当 h→时0时有eh,μ→0且δh,μγ(h)-1 → 0.假设(A5)当h→0时有eh,μ’→ 0且δhγ(h)-1 → 0.假设(A6)对任意μ∈σ(K)和u ∈R(Eμ(K)),当hh → 0时有εh,u→ 0.假设(A7)对于方程(1)的特征对(λ,u)和方程(2)的特征对(λh,uh),有εh,u≥ Ah||u-uh||X2.其中K,Kh,eh,μ,δh,μ,eh,μ,’δh,μ’,σ(K),R(Eμ(K)),εh,u等具体的符号定义请参见第二章第2节.在这些假设的基础上,利用算子谱理论和特征值展开式可以得到特征值的误差估计及其渐近下界估计.定理在假设(A1)-(A6)成立的前提下,设λ为方程(1)的m重特征值,{uj}j=1m为对应于λ的一组特征向量.当h充分小时,弱有限元方法存在相应的m个特征值{λh,j}j=1m使得对j= 1,...,m有定理在假设(A1),(A3),(A7)成立的前提下,设(λ,u)为方程(1)的特征对,(λh,uh)为弱有限元格式的特征对,则有λ ≥ λh.接下来我们将该理论框架分别应用于Laplacian特征值问题和重调和特征值问题中.对于Laplacian特征值问题利用上述理论框架建立相应的弱有限元格式,即可给出弱有限元方法求解Laplaican特征值问题的误差估计和渐近下界估计.定理设λ为Laplacian特征值问题的m重特征值,R(Eμ(K)(?)Hk+1(Ω 是相应的m维特征空间.假设{λh,j}j=1m为弱有限元格式的收敛到λ的特征值,{uh,j}j=1m为相应的特征空间R(Eμ,h(Kh))的一组基底.那么当h充分小时,对任意j = 1,...,m有定理假设(λ,u)是Laplacian特征值问题的一个特征对,(λh,uh)是弱有限元格式的一个收敛到(λ,u)的特征对.若γ(h)《1,则当h充分小时,有λ ≥ λh.该方法也可应用于重调和特征值问题利用类似的方法可以得到弱有限元方法的特征值误差估计和渐近下界估计.定理假设λ为重调和特征值问题的m重特征值,R(Eμ(K))(?)Hk+2(Ω)为相应的m维特征空间.假设{λh,j}j=1m为弱有限元格式的收敛到λ的特征值,{uh,j}j=1m为相应的特征空间R(Eμ,h(Kh)E的基底.则当h充分小时,对任意j = 1,…,m有定理假设(λ,u)为方程重调和特征值问题的特征对,(λh,uh)是弱有限元格式的一组收敛到(λ,u)的特征对.若γ(h)《1,则当h充分小时有λ ≥ λh.第三章,我们研究特征值上界问题.本章考虑Laplacian特征值问题.第二章中已证明弱有限元方法可以得到Laplacian特征值问题的渐近下界,第三章中,我们借助插值后处理方法,即可在不求解线性方程组的条件下得到特征值的上界估计.具体算法为算法1第一步.求∈R,uh∈Vh使得bw(uh,uh)=1且满足第二步.计算uh=Πuh.第三步.计算Rayleigh商利用插值算法得到的特征值λk即为精确解λ的上界,且λh和λh具有相同的逼近精度.对于插值算法有如下误差估计.定理假设Laplacian特征值问题的特征函数uj∈Hk+1()但不是kk次多项式.若λj,h是算法的第j个特征值,则存在真解的特征值λj使得当h充分小时,有以下估计成立在第二章和第三章中,我们还分别设计了数值实验对理论分析结果进行验证.第二部分包括第四章和第五章.这一部分中,我们将依次利用两网格方法,两空间方法和位移反幂法来对弱有限元方法进行加速,提高求解效率.第四章,研究两网格方法和两空间方法.两网格方法中需要在区域上建立两套网格,一套是网格步长较大的粗网格,一套是网格步长较小的细网格.两网格方法的目标是快速计算出细网格上特征值问题弱有限元方法的数值解.然而由于细网格步长较小,单元数较多,故相应自由度数量庞大.求解偏微分方程特征值问题往往需要求解矩阵的广义特征值.不同于求解线性方程组,求解矩阵的广义特征值是完全非线性问题,需要进行多次迭代.而细网格上自由度数量很大,矩阵维数很高,直接在细网格上求解特征值问题计算量过大,难以快速高效地求解特征值问题.两网格方法将细网格上的特征值问题转化为一个粗网格上的特征值问题和一个细网格上的线性方程组问题.粗网格上自由度数量较小,因此矩阵维数较小,所得广义特征值问题易于求解.在细网格上只需求解线性方程组问题,相对于细网格上的广义特征值间题计算量大大减少,因此可以有效提高求解速度.对于Laplacian特征值问题的弱有限元方法,两网格方法的具体算法如下:算法2第一步..在区域Ω上生成粗网格THH,并在粗网格TH上求解特征值问题:求(λH,uH)∈R×VH,使得第二步:对粗网格TH进行加密并得到细网格Th.在细网格Th上求解线性问题:求uh ∈ Vj使得第三步:计算uh的Rayleigh商最后,即可得到特征值和特征向量的逼近(λh,uh).通过合理选取粗网格和细网格的网格步长,即可在不损失精度的前提下提高求解效率,并且还能保持特征值渐近下界估计.定理假设(λh,uh)为两网格算法的解,h<H且Laplacian特征值问题的精确解具有Hk+1(Ω)正则性.那么存在精确特征值和特征向量(λ,u)使得下列估计成立其中k=min{2k-2ε,k+ γ-ε}.定理在上述定理的条件下,设k=min{2kk-kε+ γ-ε},δ为正数.若H2k≤Ch2k+δ,则有λ-λh≥0,其中H和h均充分小.第四章中我们还研究了两空间方法.两空间方法与两网格方法的主要思想类似,均为将大规模特征值问题转化为一个小规模特征值问题和一个大规模线性问题.不同之处在于两网格方法是通过对区域在不同网格步长下进行剖分,从而得到两个弱有限元空间.而两空间方法是在同一个部分下,给定不同的多项式次数来得到两个弱有限元空间.在次数较低空间上自由度较少,其特征值问题的计算量也相对较小,在次数高的空间上自由度较多,可达到较高的逼近精度.两空间方法中,通过求解低次空间上的特征值问题和高次空间上的线性问题,即可在不损失精度的前提下减少计算量,提高求解效率.第五章中我们通过位移反幂法对弱有限元方法进行进一步加速.与两网格方法类似,位移反幂法的主要思想也是将细网格上的特征值问题转化为粗网格上的特征值问题和细网格上的线性问题,从而实现对细网格特征值问题的加速.算法上的不同之处在于,两网格方法的算法第二步求解的细网格上线性问题为:求uh ∈ Vh使得而位移反幂法将该线性问题替换为:求uh∈Vh使得通过对算法的修改可以放宽对网格比的要求.以Laplacian特征值问题为例,若要求达到最优收敛阶,两网格方法需要H≤(?),而位移反幂法只需H≤(?).例如同样需要达到细网格h = 1/256的精度,两网格方法要求在H = 1/16网格上求解特征值问题,而位移反幂法只需在H = 1/4网格上求解特征值问题即可,从而进一步降低计算量,提高计算效率.第四章和第五章中我们分别给出了数值实验来验证算法的高效性.