障碍问题是典型的第一类变分不等式,它出现在物理学、金融管理科学和工程应用等领域.该问题因其内在的数学理论及广泛的应用而倍受学者们关注.经过几十年的研究发展,形成了系统的数学理论分析和很多高效的数值算法.与之相关的问题,如受障碍问题约束的最优控制问题也受到了广泛的关注.本文围绕“障碍问题”这一主题,对单边障碍问题、双边障碍问题以及受障碍问题约束的最优控制问题的数值方法进行研究,同时提出一类新的障碍问题并进行相应的理论和数值分析.主要内容归纳如下:（1）近年来,越来越多的证据表明二阶时间耗散系统具有显著的优点.在本文的第二章,我们应用与之相关的动态泛函粒子方法计算单边障碍问题.首先,我们构造障碍问题的一个等价格式,把问题转化为一个非线性方程.然后,应用动态泛函粒子方法数值求解该非线性方程.实验结果表明,在更灵活的参数选择方式下,本文算法收敛速度稍快于罚方法,而且几乎不依赖于初始值和与网格尺寸相关的自由度数目.（2）在第三章中考虑双边障碍问题的一类新的数值解法.首先通过引入一个参数,将离散双边障碍问题的互补形式等价改写为更易于求解的不可微非线性方程组.然后,把方程的非光滑项正则化处理,再利用牛顿迭代法数值求解所得的非线性方程组.实验结果显示该算法能快速计算出数值解,而且算法的收敛速度不依赖于与网格尺寸相关的自由度数目.（3）在第四章中,继续运用动态泛函粒子方法计算受障碍问题约束的最优控制问题.首先,应用罚方法将原始不可微问题正则化处理,提出一类近似优化问题,并推导出相应的一阶最优系统.原问题与近似问题之间的联系通过一些收敛结果建立起来.然后,推导出一个充分条件来判断一阶最优系统的解是否是全局最优解.最后,利用动态泛函粒子方法求解一阶最优系统.实验结果说明了本文算法是有效的,收敛速度快且不依赖于初始数据.（4）据作者所知,目前已有的相关参考文献中考虑的障碍物几乎都是严格刚性的.在第五章中,我们考虑弹性膜与可变形障碍物之间的接触,研究一类新的弹性-刚性障碍问题.在该问题中,弹性膜被限制在由刚性主体制成但表面覆盖有一层可变形并允许穿透的软材料的障碍物上方.在一定的假设下,我们推导出该问题的三个等价描述,并证明解的存在性和唯一性.随后,基于问题的变分不等式形式,我们在适当的解的正则性假设下,推导出有限元近似解的最优阶误差估计.最后,结合罚方法进行数值计算,仿真结果与理论分析吻合良好.