本文分为三个部分,分别对应于三章.第一章,我们研究了复Finsler流形到Hermite流形之间的调和映射.通过计算-6-能量的第一和第二变分公式,我们得到了一些存在性定理和同伦不变定理.在第二章中,我们给出了Finsler流形全测地映射的能量密度的上界估计,由此可以推得Finsler流形到黎曼流形间的广义Schwarz引理.第三章,我们讨论了Asanov度量为局部射影平坦的充分必要条件以及为Douglas度量的充分必要条件。 正如著名的国际几何学大师陈省身先生所说,Finsler度量是不受二次型限制的黎曼度量[13].早在1854年黎曼在就职演说中就已提到这种情形.Finsler几何就是研究具有Finsler度量的流形几何性质的学科.近年来,Finsler几何重新得到了重视和发展[11][44][45].伴随着基础理论的发展,Finsler几何被广泛应用于生物学、物理学、控制论、心理学等方面[1][3][4][8].至此Finsler几何已经成为微分几何一个重要的分支。 ·复Finsler流形的调和映照复几何是微分几何研究中的一个重要组成部分,随着量子物理的发展,人们对复结构的研究也越来越感兴趣.类似实Finsler度量的定义,G.Rizza[41]引入了复Finsler度量的定义.近年来,复Finsler度量的研究不断地受到重视和发展[1][5][6][12]。 在文[26]中,Kobayashi指出了至少有两个很好的理由来研究复Finsler结构。-是每一个双曲复流形都容有一个自然的复Finsler度量；二是可以作为微分几何的一个工具来研究复向量丛,因为Kobayashi在文[27]中证明了紧复流形上的全纯向量丛E是负的,即其对偶丛E*是正的,当且仅当E上容有一个负曲率的强伪凸的Finsler度量.自此之后,复Finsler度量在复几何的各个领域有了许多的应用。 调和映射是微分几何和数学物理的研究中一个重要而有趣的内容.文献[35]提出了Finsler几何的某些未解决的问题,其中之一就是研究Finsler流形间的调和映射.通过利用射影球丛上诱导的体积元,沈一兵教授和莫小欢教授等对实Finsler流形的调和映射进行了许多研究[22][23][33][34][42]。 复Finsler流形上的调和映射同样是一个有趣的问题.Nishikawa[38]通过考虑-6-能量研究了从紧致黎曼面到复Finsler流形的调和映射.当目标流形是复Finsler流形时,能量密度函数的定义会出现严重的奇性,因此我们仅讨论从复Finsler流形到Hermite流形,特别是到Kahler流形的光滑映射。 令(M,G)是一个具有强伪凸Finsler度量G的m维复Finsler流形,(N,H)是-n维Hermite流形.φ:M→N是从M到N的光滑映射。 调和映射自然地定义为能量泛函第一变分的临界点.注意到Vo(z)是M上的任意变分场,Qα(z,υ)是PM上的函数.为了给出调和映射的定义,令定义A.φ是调和映射当且仅当||Q||≡0.φ是强调和映射当且仅当Qα=0。 由定义A易知,全纯映射(或反全纯映射)显然是(强)调和映射.强调和映射显然是调和映射。 调和映射的存在性是调和映射研究中的一个基本问题.在文[34]中,莫小欢教授等人给出了从实Finsler流形到黎曼流形间调和映射的存在性定理.另一方面,为了研究Hermite流形-M到黎曼流形-N间的调和映射,J.Jost和Yau[25]引入了一个非线性椭圆系统,在局部坐标下该椭圆系统可表示为其中γα-β是流形-M的Hermite度量,Γijk是流形-N的Christoffel记号,α,β,…=1,…,dimM,i,j,…=1,…,dimN。满足(1)的映射称为是Hermite调和映射.一般而言,除非-M是Kahler流形,否则Hermite调和映射不一定是调和映射.在文[25]中,J.Jost和Yau通过研究椭圆系统(1)的解得到了一些存在性定理。 下面假设(M,G)是一紧致的强Kahler Finsler流形,(N,H)是紧致Kahler流形,φ:M→N是从M到N光滑映射.由定义A,φ是一调和映射当且仅当对任意的变分场V0都有其中1≤A,B,C,…≤2n.容易发现(1)与(4)是等价的,因此由J.Jost和S.T.Yau[25]的非线性椭圆系统方面的结果,我们得到下面的存在性定理：定理0.3.若(M,G)是一紧致的强Kahler Finsler流形,(N,H)是具有负截面曲率的紧致Kahle流形.假设ψ:M→N是一连续映射,并且与M到N上闭测地线的映射不同伦,则存在同伦于ψ的调和映射。定理0.4.若(M,G)是一紧致的强Kahler Finsler流形,(N,H)是具有非正截面曲率的紧致Kahler流形.假设ψ:M→N是一光滑映射并且ε(g*TN)≠0,其中ε是欧拉类,则存在同伦于ψ的调和映射f。注：我们同样可以得到类似文[25]中的其它存在性定理。利用射影化切丛PM上的体积测度,我们可以定义映射φ的δ-能量和-δ-能量： 定理0.5.若(M,G)是一紧致的强Kahler Finsler流形,(N,H)是Kahler流形。则K(φ)在C(M,N)的任一连通分支中是常值,即K(φ)是同伦不变量.其中C(M,N)是从M到的所有光滑映射组成的空间。注：当(M,G)是通常的Kahler流形时,这就是著名的Lichnerowicz定理([31])。由定理0.5,可以得到下面的推论：推论0.6.E-,E-和E-的临界点相同,进而,在一个给定的同伦类中E-,E-和E-具有相同的极小值。推论0.7.设φ0和φ1是从紧致强Kahler Finsler流形到-Kahler流形的同伦映射,若φ0是全纯的并且φ1是反全纯的,则φ0和φ1都是常值映射.特别地,任意同伦平凡的全纯(反全纯)映射是常值映射。最后,利用映射φ的第二变分公式,我们得到下面的稳定性结果：定理0.8.设(M,G)是一紧致的强Kahler Finsler流形,(N,H)是一曲率平坦的Kahler流形.则从(M,G)到(N,H)的任何调和映射都是稳定的。 注：最近,陈滨和沈一兵教授[54]证明了强Kahler Finsler度量和KablerFinsler度量的定义是等价的,因此上面出现的强Kahler Finsler流形都可以改为Kahler Finsler流形。 ·实Finsler流形间能量密度的上界估计在第二章中,我们给出了实Finsler流形间全测地映射能量密度的一个上界估计.利用该上界估计,可以推得Finsler流形到黎曼流形间的广义Schwarz引理。 设(M,F)和(M,F)分别是n维和m维的实Finsler流形.φ：(M,F)→(M,F)是非退化光滑映射.设{xi,yi}为TM上的局部坐标,(x,|y|)为射影球丛SM中的点,其中[y]={λy,λ>0}表示从原点出发沿y方向的射线。 令TM=TM{0},则标准投影映射π:TM→M诱导了射影化余切丛π*T*M→SM,其上存在一整体截面ω:=6F/6yidxi,称为Hilbert形式.它的对偶向量场是l=yi/F6/6x=li6/6xi,可看作π*TM上的整体截面.{ei)为拉回丛π*TM→SM中对应于基本张量g=gijdxi×dxj的一组幺正基,其中gij=1/2(F2)yiyj。 特别地,若M和M都是黎曼流形时,该定义已在文[19]给出.在具有k-伸缩的调和映射的条件下Schwarz引理的推广,最初由S.I.Goldberg,T.Ishihara和N.C.Petridis在文[19]中得到。 在第二章中,对于两个实Finsler间的全测地映射,我们给出了能量密度的一个上界估计。