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本文研究的问题是:如何判定一个有限群在任意一个有限域上的对称模和辛模何时恰为双曲模,得到了三个主要结果.
第一个主要结果是给出了奇数阶群的双曲模判别方法,不仅将其约化为循环子群,而且得到了一个特征多项式判据.
定理A.设G为奇数阶群,F为有限域且|F|=q.如果V是一个辛FG-模,或者是一个对称FG-模但存在一个自正交的F-子空间,则下述条件彼此等价:
(1)V是双曲模.
(2)Vc是双曲模,其中C取遍G的所有循环子群.
(3)对任意i≥1,G的每个∏i(q)-元在V上的特征多项式恰为完全平方.
本文第二个主要结果是:解决了偶数阶可解群在特征2域上的双曲模判别,将其归结为奇数阶循环子群和“拟二面体子群”,还可进一步约化为所谓的“F-特殊的元素”.定理B.设G为可解群,F为特征2的有限域,V是一个对称或辛FG-模,则下述条件等价:
(1)V是双曲模.
(2)VD是双曲模,其中D取遍G的所有奇数阶循环子群和拟二面体子群.
(3)G中所有F-特殊的元素在V上的特征多项式均为完全平方.
本文第三个主要结果是:确定了半单对称模和半单辛模的等距型及其双曲性.定理C.设V是一个半单的对称FG-模,或半单的辛FG-模,其合成长为n.再设U是一个单FG-模,使得V的每个单子模均同构于U或U*.则V的等距型和双曲性可如下确定:
(1)如果U不是自对偶模,则V≡(U(⊙)U*)k⊥为k个对称偶或辛偶的正交直和,并且V自动是双曲模.
(2)如果U是自对偶模但不是绝对自对偶的,则V≡(U,f)n⊥,其中f∈(B)G(U)为等距唯一的对称型或辛型.此时V是双曲模当且仅当2|n.
(3)如果U是绝对自对偶单模且charF=2,则V≡(U(⊙)U*)k⊥或(U,f)n⊥,其中f∈(B)G(U)为等距唯一的对称型或辛型.此时V是双曲模当且仅当2|n.
(4)如果U是绝对自对偶单模,char F≠2,并且当V为对称模时U为辛模,当V为辛模时U为对称模,则V≡(U(⊙)U-)k⊥,自动为双曲模.
(5)如果U是绝对自对偶单模,char F≠2,并且当V为对称模或辛模时,相应地U亦为对称模或辛模,则V≡(U,f)n或(U,f)n-1(U,f)其中f,f∈(B)G(U)不等距;进而,前者为双曲模当且仅当2|n且(-1)n/2∈E2,后者为双曲模当且仅当2|n礼且(-1)n/2(∈)E2,其中E=EndFG(U).
我们的结果,其辛模版本将为研究特征标的完全分歧理论、Glauberman-Isaacs对应、以及M-群等问题,提供新的约化技术;而其对称模版本则可用来研究代数编码中的自对偶码.