当前,上至国民经济建设,下至人民的生产生活,均离不开准确的天气预报作保障。天气预报的准确率、时效性和精细化程度反映在数值模式的应用性能上,而计算方法是影响数值模式应用性能的重要因素。因此关于数值模式高效计算方法的研究变得十分重要。由于谱模式具有精度高、稳定性好和能够避免非线性不稳定问题等优点,因而成为世界各国广泛业务化的全球数值天气预报模式。然而谱模式依然面临以下两个主要问题:(1)由于基函数的全局性,当函数不光滑或在局部区域内变化较剧烈时会出现所谓的“Gibbs现象”;(2)受限于“格谱变换”的计算复杂度,谱模式计算量随着模式水平分辨率的提高而迅速增大和难于并行。上述两个问题严重制约了数值预报谱模式的发展。基函数的选取对谱方法的应用性能提升至关重要。目前国际上很多学者建议使用分段多项式作为谱方法或者有限元方法的基函数来开发新的数值方法。由于具有正则化、空间局部性和多分辨率分析等优点,小波成为谱方法理想的基函数。小波能够精确表示各种函数和算子,更重要的是基于小波的多尺度结构可以构造快速变换算法。此外,由于小波基在物理空间和频谱空间均具有良好的紧支性,因此它不仅能削弱“Gibbs现象”,提高计算精度,而且可以大大降低模式的截断波数,从而减少计算开销[1,2]。在众多小波中,勒让德小波因构造简单、权函数为1和操作矩阵具有块对角稀疏性等优点,因而受到广泛关注。分数阶微分以函数积分的形式给出的,当前时刻的微分与过去所有时刻的函数值有关,因此具有全局性和记忆性。气象中的极端天气和异常气候过程具有随机性,而分数阶微分算子的记忆性恰好能够很好的用于刻画这种随机性,因此分数阶偏微分方程在气象中具有广大的应用前景。针对目前数值预报谱模式存在的问题,本文基于谱方法和勒让德小波方法,提出了使用勒让德小波作为谱方法基函数的勒让德小波谱方法。为了使勒让德小波谱方法适用于分数阶偏微分方程的求解,本文将整数阶勒让德小波推广到任意阶。数值实验结果表明勒让德小波谱方法在保持谱收敛特性的同时能够削弱“Gibbs现象”。更重要的是,得益于勒让德小波的多尺度结构特性,该方法还具有多级并行性。论文的工作主要集中在以下六个方面:(1)系统综述了国内外数值预报谱模式的发展现状,从而指出了勒让德小波在气象的应用前景,综述了气象中的谱方法和勒让德小波求解偏微分方程的研究进展。(2)证明了二维勒让德小波向量的积分和微分定理,给出了二维勒让德小波微分操作矩阵的构造方法。分析了多尺度勒让德小波展开、积分和微分的谱收敛特性。基于勒让德小波的多尺度结构特性,提出和实现了快速勒让德小波变换算法。(3)提出了基于方波脉冲函数的勒让德小波乘积项谱系数的计算方法,并进行了相应的算法设计、分析和应用研究。(4)提出了勒让德小波谱配置法(LWSCM),分析了其稳定性和收敛性。针对多尺度LWSCM在求解边值问题时面临的边值信息传递问题,给出了分点信息交换策略,最后将LWSCM应用于有限区域浅水波模式的求解。(5)提出了勒让德小波谱Tau方法(LWSTM),对LWSCM与LWSTM的进行比较研究,系统分析了勒让德小波谱Tau方法的稳定性和收敛性。最后将LWSTM应用于有限区域浅水波模式的求解。(6)定义了分数阶勒让德小波,将整数阶勒让德小波推广到任意阶,提出了求解分数阶微分方程的变分迭代与勒让德小波混合方法(FLWVIM)和求解分数阶偏微分方程的二维分数阶勒让德小波方法(2D-FLWs)。