跳跃非线性问题源于物理学中光波和电磁波的研究,反映了振荡和共振现象,在物理学和经济学等领域都有广泛应用.正因如此,使之成为研究者广泛关注和重视的课题之一.目前,对于此类问题的研究已有大量结果,然而,大部分跳跃非线性问题局限于研究非线性项渐近极限与特征值之间的关系,与更广义的谱-Fucík谱曲线的关系更能说明实际现象.所以,考虑非线性项的渐近极限落在Fucík谱区域中的问题可以有助于人们更深入理解实际现象,具有极为重要的实际意义.　　在本文中,主要以Fucík谱理论为背景,基于非线性泛函分析的基本理论,利用非线性项渐近极限与Fucík谱曲线的相交关系,综合运用上下解方法、临界点理论、拓扑度理论、序区间上的山路定理,研究了以下四类跳跃非线性问题的解:　　1.对一类具有跳跃非线性项和Neumann边值条件的Laplace方程解的研究.考虑非线性项的渐近极限落在由Laplace算子Fucík谱曲线所构成的Il(l>2)型和IIl(l≥1)型区域中的情况.首先,选取由两对严格常数上下解构成的序区间,利用截断函数技巧,序区间上的山路定理,得到至少一个山路型临界点的存在性.注意此时无法确定山路解是否是常数解,利用Fucík谱集中临界群计算结果克服了这个困难,证明了山路解的非常数性.然后,通过计算Morse指数并结合拓扑度理论,在选取的序区间上得到至少两个非常数解的存在性.最后,通过拓扑度理论和上下解迭代方法,得到了变号解的多重性;利用山路定理得到了一列能量值趋于负无穷的临界点.　　2.对一类具有跳跃非线性项和Robin边值条件的Laplace方程解的研究.首先,基于方程存在一个正上解和一个负下解的条件,通过序区间上的山路定理和临界点理论,得到一个非平凡临界点,并结合拓扑度理论,得到了至少四个非平凡解的存在性.由于边值条件是Robin边值,无法构造多个不连续序区间,为了克服这个局限性,最后,通过半序区间上的山路定理(上解情况),得到了相应振荡方程非平凡解的多重性.　　3.对一类具有跳跃非线性项和Dirichlet边值条件的拟线性问题解的研究.由于p-Laplace算子较之Laplace算子具有更复杂的非线性性质. p-Laplace算子于空间W1,p0(Ω)中的谱及其性质,目前人们了解的还不太多.为了克服算子谱的局限性,利用Z2-上同调指数所构造的谱序列{λk}k≥1,考虑其系数λk