用群论的方法逐一推导了二维准晶系列（包括五角、十角、八角和十二角晶系）的各个点群，得出了每个点群的全部对称操作、生成操作、群阶、直积群或半直积群关系式。全部对称操作确定了，点群也就确定了。由点群的生成操作，可以推导出该点群中其余所有的对称操作。由点群的群阶能够知道其最大子群的群阶。直积群或半直积群关系式直接给出了直积群或半直积群的最大不变子群。 用结晶学的理论，逐一推导并绘制出二维准晶系列的26个点群的极赤投影图。加上前人早已推导并绘制出的晶体学32个点群及二十面体两个点群的极赤投影图。本论文绘制出了准晶体学和晶体学总共60个点群的极赤投影图。这些极赤投影图不仅很清晰的反映了各点群的对称性，而且能用来进行各种对称操作，还被直接用于点群退化的推导。 分别填写出二维准晶系列中三个极大固有点群10 22、822和12 22的群乘表，运用这三个群乘表及旋转倒反操作万与相应的旋转操作n的关系，可以计算二维准晶系列任意一个点群中任意两个对称操作的乘积。这给各对称操作矩阵的推导带来很大的方便。 分别在三维直角坐标系和十角坐标系中，推导出五角和十角晶系全部（共40个）对称操作的两套矩阵，并算出了五角和十角晶系各对称操作矩阵的迹tr（W）与行列式det（W）。三维直角坐标系中矩阵的元有多达11种的可能取值：除了0和±1外，还出现了两对实二次域的无理数和两对实四次域的无理数。十角坐标系中矩阵的元只有五种可能取值：0，±1，±τ(τ=(5^1／2+1)／2是实二次域的无理数，是黄金分割比例值)。各10次和5次旋转及旋转倒反操作矩阵的迹tr（W），分别是±τ、±（τ+1）、±（τ-1）和±（τ-2），都是实二次域的无理数。可见τ就是反映五角和十角晶系准晶体所具有的准周期性的特殊无理数。由此也可以判定，五角和十角晶系的对称操作在本文定义的十角坐标系中的矩阵表示，是三维空间中形式最为简捷的一种矩阵表示。 分别在三维直角坐标系和八角坐标系中，推导出八角晶系全部（共32个）对称操作的两套矩阵，并算出了八角晶系各对称操作矩阵的迹tr（W）与行列式det（W）。三维直角坐标系中矩阵的元有五种可能取值：0、±1和±2^1／2／2。八角坐标系中矩阵的元也有五种可能取值：0，±1和±2^1／2。各8次旋转及旋转倒反操作矩阵的迹，分别是±(2^1／2-1)和±(2^1／2+1)，都是实二次域的无理数。可见2^1／2就是反映八角晶系准晶体所具有的准周期性