论文部分内容阅读
积分几何是一门通过各种积分考察图形性质的学科,本质上属于微分几何的范畴.它起源于几何概率的研究,其发展也始终和几何概率联系着.积分几何的研究从欧氏平面和三维欧氏空间开始,逐步拓广到高维欧氏和非欧空间,然后概括到满足一定条件的齐性空间.中国较早从事积分几何研究的有吴大任,他第一次把欧氏空间积分几何的基本成果(包括主要公式在内)推广到三维椭圆空间.他还证明了关于2 E和3 E 里凸体弦幂积分的一系列不等式.中国学者还获得了其他若干成果,例如,任德麟推得了n维欧氏空间和非欧空间里含在一个凸体内的定长线段测度公式,把关于弦幂积分的不等式推广到n E,并且推广了Buffon投针问题.
本文主要研究的问题就是积分几何里的一个重要分支,讨论了一类特殊区域内定长线段的包含测度,利用广义支撑函数和限弦函数的概念,再利用测度的相关理论推导出此类区域的包含测度.并以此为基础得到了推广后的Buffon投针问题的一些结果.并且接着本文在经典的等周不等式的基础上,在引入的最小环的概念下,根据最下环的性质,在二维空间中已经有了最小环和面积以及周长的不等式的情况下,本文将维数上升到三维空间里进行研究,在三维空间里面积上升为体积,周长上升为面积,根据二维空间里类似的讨论得到了体积和面积与最小环的不等式,并且还讨论了等号成立的极限情况.因为空间维数的上升使得探讨过程变得复杂化.
全文共分四个章节:
第一章绪论:问题的提出,主要介绍了该课题的提出背景、国内外研究现状等;
第二章主要是对凸域内定长线段的包含测度的研究,利用包含测度的公式计算了半圆域内定长线段的包含测度.还讨论了此种情况下的Buffon 问题,或者说再讨论了此种情况的包含测度在几何概率中的应用问题.
第三章本章的主要内容是在平面上已经有了最小环和面积以及周长的不等式基础上去探讨三维空间中最小环和体积以及面积的的不等式.维数的增加使得探讨更加复杂.
第四章论文的发展和展望.