界面问题广泛存在于实际应用中,如流体力学,电磁波的传播、材料科学和生物科学。它通常涉及求解耦合的偏微分方程组。本文致力于研究界面问题的有限元方法。根据网格单元和界面之间的拓扑关系,界面问题的有限元方法（FEMs）可分为两大类,即界面匹配网格方法和界面非匹配网格方法。界面匹配网格方法的优点在于误差分析简单,并且收敛阶是最优的。然而,在界面随时间演变的情况下,让网格匹配界面需要重新剖分网格。当界面拓扑结构变化时,例如破裂或者合并,生成匹配界面的网格是很困难的。因此,界面非匹配网格方法成了一个重要的研究方向。界面非匹配网格方法主要有两种,扩展有限元法（XFEMs）和浸入界面有限元方法（IFEMs）。两种方法都是对有限元空间进行修正,以得到最优的插值误差估计。但是,这两种方法都有各自的一些缺点。扩展有限元方法有许多不同的种类,其中只有尼采-扩展有限元方法有严格的理论分析。对于尼采-扩展有限元方法,它破坏了解的连续性,因此需要在离散的弱形式加额外的惩罚项。对于浸入界面有限元方法,它的基函数构造依赖于界面跳跃条件并且误差分析相对困难。为了克服这些缺点,我们提出了一种新的界面非匹配网格方法,即协调增扩有限元方法。我们从最简单的二阶椭圆界面问题开始,给出了协调增扩有限元空间的构造方法。并且这种构造不像浸入界面有限元那样依赖于界面跳跃条件。尽管界面问题的正则性低,我们依然得到了最优收敛结果。此外,由于增扩有限元空间中的函数在界面处连续,离散的变分形式里不需要加额外的惩罚项。增扩有限元方法的另一个优点是我们可以很容易地处理变系数问题。然后,我们将协调增扩有限元方法应用到了斯托克斯界面问题中。斯托克斯界面问题的协调增扩有限元空间是基于MINI元构造的。在标准离散弱形式中,我们加入了一个鬼罚项作为稳定项,导出了一个与网格尺寸无关的稳定性结果。并且有限元误差被证明是最优的。最后,协调增扩有限元方法被推广到斯托克斯-椭圆界面问题。斯托克斯-椭圆界面问题可视为线性化的静态流固耦合问题。相比浸入界面有限元法只能处理界面两侧控制方程相同的情况,我们的方法打破了该限制。并且我们证明了该方法的适定性和最优收敛性。