本文主要对低维拓扑相与拓扑相变几个不同方面的性质进行了研究，包括隐藏对称性保护拓扑相、一维扩展SSH模型的拓扑性质，以及量子相变点的拓扑性质。　　在第一章中，我们首先对拓扑绝缘体的历史以及一些重要的相关背景进行了简单的介绍，包括对称性分类、拓扑不变量以及几个重要的拓扑模型。　　在论文的第二章，我们展示了一个受人造规范场作用的一维费米子格点模型，该模型具有非平庸的拓扑性质，但却超出了标准的拓扑绝缘体对称性分类(Altland-Zirnbauer分类)。这一模型的拓扑相可由简并零模边界态的出现或是被占据能带量子化的贝里相位进行刻画。通过进一步分析，我们解析的得到了该模型零模边界态出现的条件，并通过计算贝里相位和能带交叠条件得到了其相图。通过分析该模型的对称性，我们发现模型的拓扑相以及简并零模边界态受到两个隐藏对称性的保护，这两者分别为隐藏手征对称性与复共轭-空间反演联合对称性。最后，我们研究了一个破坏了隐藏对称性的扩展模型，以展示在这种对称性保护拓扑态中，隐藏对称性所起到的作用。通过分别破坏这两个隐藏对称性，我们发现破坏隐藏手征对称性会导致简并边界态本征能量的平移，但该模型仍具有量子化的贝里相位;而破坏复共轭-空间反演联合对称性则会破除边界态的简并，此时贝里相位会随参数变化而连续变化，系统不再具有本章所讨论的拓扑性质。　　在第三章，我们研究了扩展的Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型，即在SSH模型上加入次近邻跃迁项或在位化学势项，它们与近邻跃迁项都随参数改变进行周期变化。这类模型的边界态不再简并，而会随着调制参数的变化在能隙中移动，此时系统不具有量子化的贝里相位。但在动量与调制参数构成的二维参数空间中，我们可以计算系统能带的陈数，并通过这一拓扑不变量刻画其非平庸的拓扑性质。我们注意到这一模型具有与著名的霍尔丹模型非常类似的相图，且这两者的参数可建立一一对应的关系。最后，我们提出了通过光子晶体模拟该模型，并观察其拓扑性质的实验方案。通过弧形的波导管阵列，我们可以模拟该模型中复杂的参数变化。通过从波导管一端入射激光，并测量另一端的出射信号，我们可以观察到模型边界态泵浦的情况以及模型的拓扑性质。　　在论文的第四章，我们研究了拓扑量子相变点的拓扑性质。在由动量与相变参数构成的参数空间里，我们在围绕拓扑相变点的边界上定义了拓扑不变量，并通过此拓扑不变量刻画相变点的拓扑性质。我们发现对于一维拓扑绝缘体模型，如SSH模型，可在参数空间中定义贝里相位以刻画拓扑相变点的拓扑性质。而对于平庸的绝缘体模型，如在位化学势交替调制的一维链，其相变点贝里相位为一个连续的数，表明该点的量子相变不是拓扑相变。对于二维拓扑绝缘体模型，如经典霍尔丹模型和QWZ模型，可在类似的参数空间中定义陈数以刻画拓扑相变点的拓扑性质。我们发现拓扑相变前后系统拓扑不变量的变化，等于相变点布里渊区内所有能隙关闭点的拓扑不变量之和，因此相变点的拓扑性质可以通过该点参数空间中的拓扑不变量进行刻画。　　最后，我们简要的总结了本论文的内容，并展望了将来可能的研究方向。